TS TD algorithmique : Dichotomie 2012-2013
Méthode dite de « dichotomie »
1. Soitf la fonction définie surRparf(x) =x+ cosx.
(a) Étudier le sens de variation def surI= [−π/2;π/2].
(b) Déterminer le nombre de solutions de l’équationf(x) = 0 dansI
(c) Prouver que l’équationf(x) = 0 n’admet pas de solution dans ]π/2; +∞[. Qu’en est-il sur ]− ∞;−π/2[ ? (d) Conclure sur le nombre de solutions def(x) = 0 dansR.
2. Soitaetb deux nombres tels quea < b. On considère l’algorithme suivant : Variables a, b du type nombre
Lire a Lire b
Si f(a)×f(b)60 Alors
Tant que b−a>10−1 faire Début tant que
Si f a + b
2
×f(a)60
Alors b prend la valeur a + b 2 Sinon a prend la valeur a + b Fin si 2
Fin tant que Afficher a Afficher b
Sinon Afficher « On ne peut rien dire » Fin si
(a) Étude d’exemples : Tester l’algorithme « à la main » pour a= 0 etb= 1 dans un premier temps puis pour a=−1 etb= 0 dans un deuxième temps. (f est la fonction du 1.)
Utiliser un tableau de la forme :
a b condition 1 (test) condition 2 (tant que) entrée boucle condition 3 (test)
(b) Analyse de l’algorithme
i. Que peut-on dire de f(a) et def(b) lorsquef(a)×f(b)60 ? ii. Que représente a+b
2 par rapport àaet b? iii. Quel est le résultat de l’algorithme ?
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