algorithmique
[ Dichotomie \
Énoncé
Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, et jus- tifier la réponse. Une réponse non justifiée n’est pas prise en compte. Une absence de réponse n’est pas pénalisée.
1. Affirmation 1 :....
2. Affirmation 2 :....
3. Affirmation 3 :....
4. On considère l’algorithme suivant :
a,bsont deux nombres réels tels quea<b VARIABLES xest un nombre réel
f est une fonction définie sur l’intervalle [a; b]
Lireaetb
Tant queb−a>0, 3
xprend la valeur a+b
TRAITEMENT Si f(x)f(a)>0, alors2 aprend la valeurx sinonbprend la valeurx Fin Si
Fin Tant que Afficher a+b
2
Affirmation 4 :si l’on entrea=1,b=2 et f(x)=x2−3, alors l’algorithme affiche en sortie le nombre 1,687 5.
Asie juin 2015
Dichotomie Page 1/2 Août 2015
algorithmique
Correction
1. Affirmation 1 :....
2. Affirmation 2 :....
3. Affirmation 3 :....
4. On fait tourner l’algorithme avec les valeurs dea, deb et l’expression de f données dans le texte, et on va décrire ce qui se passe à chaque étape en affichant l’état des variablesa,betx:
a b x
areçoit la valeur 1 1
breçoit la valeur 2 1 2
b−a=1>0, 3 donc on entre dans la boucle 1 2 xprend la valeur a+b
2 =1, 5 1 2 1,5
f(a)=12−3= −2 1 2 1,5
f(x)=1, 52−3= −0, 75 1 2 1,5
f(x)×f(a)>0 doncaprend la valeurx=1, 5 1,5 2 1,5
fin du tant que 1,5 2 1,5
b−a=0, 5>0, 3 donc on entre dans la boucle 1,5 2 1,5 xprend la valeur a+b
2 =1, 75 1,5 2 1,75
f(a)=1, 52−3= −0, 75 1,5 2 1,75
f(x)=1, 752−3=0,062 5 1,5 2 1,75
f(x)×f(a)<0 doncbprend la valeurx=1, 75 1,5 1,75 1,75
fin du tant que 1,5 1,75 1,75
b−a=0, 25<0, 3 donc on n’entre pas dans la boucle 1,5 1,75 1,75 On affiche a+b
2 =1, 5+1, 75
2 =1, 625 1,5 1,75 1,75
Affirmation 4 : FAUSSE
Il s’agit de l’algorithme de recherche par dichotomie de la solution positive de l’équation x2−3=0.
Dichotomie Page 2/2 Août 2015
