Correction du DST n

Correction du DST n

1

Exercice 1 : (Nouvelle Calédonie mars 2012)

1. (a)

A 1 6

B 1 4 3 B 4 5 A

6

B 2 5 3 B (b) D’après la loi des probabilités totales : 5

p(B)=p(A)×p_A(B)+p

³ A

´

×p_A(B)=1 6×1

4+5 6×2

5= 1 24+1

3= 1 24+ 8

24= 9 24= 3

8 . (c) pB(A)=p(A∩B)

p(B) =

16×¹₄

38

= 1 24×8

3= 1 9 .

2. (a) On a répétition d’épreuves identiques, indépendantes, à deux issues. La variableX suit donc une loi binomiale de paramètresn=10 etp=3

8.X ,→B^³_; ^´_. La probabilité de gagner exactement trois parties est égale à : p(X=3)=

Ã10 3

!µ3 8

¶3

× µ

1−3 8

¶10−3

= Ã10

3

!µ3 8

¶3

× µ5

8

¶7

≈0,235 7≈0,236 au millième près. (peut se calculer directement à la calculatrice).

Remarque : on peut aussi utiliser le tableau fourni en remarquant quep(X =3)=p(X <4)−p(X <

3).

(b) On ap(XÊ1)=1−p(X=0)=1− × µ3

8

¶₀

× µ5

8

¶₁₀

= 1− µ5

8

¶₁₀

≈0,990 9≈0,991 au millième près.

(c)P(X^k<k) 0,009 1¹ 0,063 7² 0,211 0³ 0,446 7⁴ 0,694 3⁵ 0,872 5⁶ 0,961 6⁷ 0,992 2⁸ 0,999 0⁹ 0,999 9¹⁰ P(X=k−1) 0,009 1 0,054 6 0,147 3 0,235 7 0,247 6 0,178 2 0,089 1 0,030 6 0,006 8 0,000 9

On a :p(X ÊN)=1−p(X <N) doncp(X ÊN)É 1

10⇔1−p(X <N)É 1

10⇔p(X <N)Ê 9

10=0,9.

Par lecture du tableau, on en en déduit que N=7

Exercice 2 : Nouvelle-Calédonie novembre 2017

Soit (un) la suite définie paru₀=3, u₁=6 et, pour tout entier natureln:u_n+2=5

4u_n+1−1 4u_n. Partie A :

1. • u₂=5 4u₁−1

4u₀=5

4×6−1

4×3= 27

4 =6,75

• u₃=5 4u₂−1

4u₁=5 4×27

4 −1

4×6= 111 16

2. Le tableau donne :

n 0 1 2 3 4 5

u_n 3 5 6,75 6,037 5 6,984 4 6,996 1

3. On peut conjecturer que la suite (un)converge vers le nombre 7.

Partie B : Étude de la suite

On considère les suites (v_n) et (wn) définies pour toutnpar :v_n=u_n+1−1

4u_netw_n=u_n−7.

1. (a) ∀n∈N, v_n+1=u_n+2−1

4u_n+1= 5

4u_n+1−1

4u_n−1

4u_n+1 =u_n+1−1

4u_n =v_n donc la suite (vn) est constante.

(b) La suite (vn) est constante, donc pour toutn,v_n=v₀=u₁−1

4u₀=6−3 4=21

4 . Donc, pour toutn,u_n+1−1

4u_n=21

4 doncu_n+1=1

4u_n+21 4 . 2. (a) Soit la propriété «u_n<u_n+1<15 ».

Effectuons une démonstration par récurrence :

• Initialisation

u₀=3 etu₁=6 doncu₀<u₁<15 ; la propriété est vraie pourn=0.

• Hérédité

On suppose que pournquelconque,un<un+1<15 (est l’hypothèse de récurrence).

u_n<u_n+1<15 =⇒ 1

4u_n<1

4u_n+1<15

4 =⇒ 1

4u_n+21 4 <1

4u_n+1+21 4 <15

4 +21

4 ce qui équivaut àun+1<un+2<36

4 =9<15.

On en déduit queu_n+1<u_n+2<15 donc que la propriété est vraie au rangn+1.

• Conclusion

On a vérifié que la propriété était vraie pourn=0 ; on a démontré qu’elle était héréditaire pour nÊ0. D’après le principe de récurrence, on peut dire que la propriété est vraie pour toutnÊ0.

On a donc démontré par récurrence que, pour tout entier natureln,un<un+1<15.

(b) • On a démontré que pour toutn,u_n<u_n+1donc la suite (un) est croissante.

• On a démontré que pour toutn,un<15 donc la suite (un) est majorée.

La suite (un) estcroissante et majoréedonc, d’après le théorème de la convergence monotone, la suite (un) est convergente.

3. (a) Pour toutn,w_n=u_n−7 doncu_n=w_n+7.

• w_n+1=u_n+1−7=1

4u_n+21

4 −7=1 4

¡w_n+7¢

−7 4=1

4w_n+7 4−7

4=1 4w_n

• w₀=u₀−7=3−7= −4

Donc la suite (wn) est géométrique de premier termew₀= −4 et de raisonq=1 4. (b) On en déduit que, pour toutn,w_n=w₀×qⁿ= −4×

µ1 4

¶n

= −4×1 4×

µ1 4

¶n−1

= − µ1

4

¶n−1

.

Oru_n=w_n+7 donc, pour toutn, u_n=7− µ1

4

¶n−1

.

(c) −1<1

4<1 donc, d’après les propriétés des limites des suites géométriques, lim

n→+∞

µ1 4

¶_n−1

=0.

On en déduit que lim

n→+∞u_n=7. (d) Complétons l’algorithme :

Initialisation :

u←3 n←0 Traitement :

Tant que|u_n−7| Ê10⁻⁴ n←n+1

u←1

4∗u+21 4 . . . Fin Tant que

Sortie :

Afficheru

(e) Pourn=7, on trouve|7−u_n| ≈0,000 24 et pourn=8,|7−u_n| ≈0,000061<10⁻⁴. L’algorithme affiche n=8

Exercice 3 : (d’après Polynésie juin 2018

Une grenouille se déplace sur un étang sur lequel se situent trois nénuphars, notés A,B etC. A chaque fois qu’elle est sur un nénuphar, la grenouille :

⋄ soit reste sur ce nénuphar;

⋄ soit change de nénuphar.

Cela constitue une étape.

Soitnun entier naturel.

On notea_nla probabilité de l’évènement : « la grenouille est sur le nénuphar A à l’étapen».

On noteb_nla probabilité de l’évènement : « la grenouille est sur le nénuphar B à l’étapen».

On notec_nla probabilité de l’évènement : « la grenouille est sur le nénuphar C à l’étapen».

À l’étapen=0, la grenouille est sur le nénuphar A.

Une étude antérieure des réactions de la grenouille face aux différents stimuli permet de modéliser ses déplacements par le système suivant :



















a_n+1 = 1 3an+1

4bn

b_n+1 = 2 3a_n+1

2b_n+2 3c_n cn+1 = 1

4bn+1 3cn

Partie A

À l’aide d’un tableur, on obtient le tableau de valeurs suivant :

A B C D

1 n a_n b_n c_n

2 0 1 0 0

3 1 0,333 0,667 0

4 2 0,278 0,556 0,167

5 3 0,231 0,574 0,194

6 4 0,221 0,571 0,208

7 5 0,216 0,572 0,212

8 6 0,215 0,571 0,214

9 7 0,215 0,571 0,214

10 8 0,214 0,571 0,214

11 9 0,214 0,571 0,214

12 10 0,214 0,571 0,214

1. La colonne C donne les différentes valeurs debn. Comme pour toutn,bn+1=2 3an+1

2bn+2

3cn, la formule à entrer dans la cellule C3 et à recopier vers le bas est :

=2

3∗B2+1

2∗C2+2 3∗D2 2. D’après ce tableau, on peut dire que

• la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar A est 0,214 ;

• la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar B est 0,571 ;

• la probabilité que la grenouille se retrouve à long terme sur le nénuphar C est 0,214.

On en déduit que la grenouille a la plus grande probabilité de se trouver sur le nénuphar B à long terme.

Partie B

1. On définit la suite (un), pour tout entier natureln, parun=an−cn. (a) Pour toutn, un+1=an+1−cn+1=

µ1 3an+1

4bn

¶

− µ1

4bn+1 3cn

¶

=1 3an+1

4bn−1 4bn−1

3cn

=1 3

¡a_n−c_n¢

=1 3u_n. u₀=a₀−c₀=1−0=1

Donc la suite (un) estgéométriquede raison q=1

3 et de premier termeu0=1.

(b) On déduit de la question précédente que, pour toutn,u_n=u₀×qⁿ=1× µ1

3

¶n

= µ1

3

¶n

. 2. On définit la suite (vn) parvn=bn−4

7pour tout entier natureln; doncbn=vn+4 7.

(a) Les nombresa_n,b_netc_nreprésentent à l’étapen, les probabilités que la grenouille se trouve res- pectivement sur le nénuphar A, sur le nénuphar B ou sur le nénuphar C. Il n’y a pas d’autre possi- bilité pour la grenouille donc la somme de ces trois probabilités doit être égale à la probabilité de l’événement certain, c’est-à-dire 1 : alors, pour toutn, a_n+b_n+c_n=1.

∀n,b_n+1=2 3a_n+1

2b_n+2 3c_n=2

3

¡a_n+c_n¢ +1

2b_n=2 3

¡1−b_n¢ +1

2b_n=2 3−2

3b_n+1 2b_n

=2 3−1

6b_n v_n+1=b_n+1−4

7= µ2

3−1 6b_n

¶

−4 7=

µ2 3−4

7

¶

−1 6 µ

v_n+4 7

¶

= 2 21−1

6v_n− 2

21= −1 6v_n

(b) D’après la question précédente, on peut dire que la suite (vn) estgéométriquede raison q= −1 6 et de premier termev₀=b₀−4

7=0−4 7= −4

7. On en déduit que pour toutn,v_n=v₀×qⁿ= −4

7× µ

−1 6

¶_n .

3. On a vu que, pour toutn,b_n=v_n+4

7et quev_n= −4 7 µ

−1 6

¶n

. On en déduit que b_n=4 7−4

7 µ

−1 6

¶n

. On a vu précédemment quean+cn=1−bn.

On en déduit quea_n+c_n=1− µ4

7−4 7 µ

−1 6

¶n¶

=1−4 7+4

7 µ

−1 6

¶n

=3 7+4

7 µ

−1 6

¶n

. On a vu aussi que, pour toutn,un=an−cnet queun=

µ1 3

¶n

; on en déduit quean−cn= µ1

3

¶n

. On résout le système :











a_n+c_n = 3 7+4

7 µ

−1 6

¶n

a_n−c_n = µ1

3

¶n ⇐⇒











2an = 3 7+4

7 µ

−1 6

¶n

+ µ1

3

¶n

c_n = a_n− µ1

3

¶n

⇐⇒











a_n = 3 14+2

7 µ

−1 6

¶n

+1 2

µ1 3

¶n

cn = µ 3

14+2 7 µ

−1 6

¶n

+1 2

µ1 3

¶n¶

− µ1

3

¶n ⇐⇒











a_n = 3 14+1

2 µ1

3

¶n

+2 7 µ

−1 6

¶n

cn = 3 14−1

2 µ1

3

¶n

+2 7 µ

−1 6

¶n

4. La position de la grenouille après un très grand nombre d’étapes est donnée par les limites dea_n,b_net c_nquandntend vers l’infini.

−1<1

3<1 donc lim

n→+∞

µ1 3

¶n

=0 ;−1< −1

6<1 donc lim

n→+∞

µ

−1 6

¶n

=0.

On en déduit que lim

n→+∞an= 3 14, lim

n→+∞bn=4

7et lim

n→+∞cn= 3 14. La probabilité qu’après un très grand nombre d’étapes, la grenouille

• se trouve sur le nénuphar A tend vers 3 14;

• se trouve sur le nénuphar B tend vers4 7;

• se trouve sur le nénuphar C tend vers 3 14.

La grenouille a la plus grande probabilité de se trouver sur le nénuphar B long terme.

Exercice 4

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Existe-t-il des suites (un) et (vn) telles que lim

n→+∞u_n= +∞et lim

n→+∞v_n=0 et lim

n→+∞u_nv_n= +∞? Justifier soigneusement.

OUI: exemple :u_n=n²etv_n= 1 n=1. u_nv_n= n²

n+1= n² n¡

1+¹_n¢= n

1+_n¹ donc lim

n→+∞u_nv_n= +∞

2. Existe-t-il des suites (sn) et (tn) telles que lim

n→+∞s_n= +∞et lim

n→+∞t_n=0 et lim

n→+∞s_nt_n=3 ? Justifier soi- gneusement.

OUI: exemple :s_n=3n²;t_n= 1

3n²+1. On a bien lim

n→+∞s_n= +∞et lim

n→+∞t_n=0 s_nt_n= 3n²

n²+1= 3n² n²

³1+ ¹

n²

´= 3 1+ ¹

n²

qui tend vers 3 quandntend vers+∞.

3. Soit (wn) une suite convergente. La suite µ 1

w_n

¶

converge-t-elle? Justifier soigneusement.

FAUX : Si (wn) converge versℓ6=0, µ 1

w_n

¶

converge bien vers 1

ℓ mais si (wn) converge vers 0, la suite µ 1

w_n

¶

diverge!

Exemple :w_n= 1

n+1; lim

n→+∞w_n=0mais 1

w_n =n+1 qui tend vers+∞quandntend vers+∞.

4. Pour chacune des deux affirmations suivantes, indiquer si elle est VRAIE ou FAUSSE et justifier cette réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

a. Soit une suite (v_n).

Affirmation A :Si, pour tout entier naturelnsupérieur à 1,

−1−1

n Év_nÉ1+1 n alors la suite (vn) converge.

FAUX: contre-exemple :v_n=(−1)ⁿqui vaut alternativement -1 ou 1.

Pour toutnÊ1, on a alors bien−1−1

n É −1Éu_nÉ1É1+ 1

n mis la suite (vn) diverge!

b. Soit (wn) une suite convergente.

Affirmation B :Si, à partir d’un certain rang, tous les termes de la suite (w_n) sont strictement positifs, alors la limite de la suite (wn) est aussi strictement positive.

FAUX: contre-exemple :u_n = 1

n+1; pour toutn, u_n = 1

n+1 >0 mais la suite converge vers 0. La limite n’est donc pas forcémentstrictementpositive.