3 e année de Liene de Sienes de la planèteTerre

Mathématiques

appliquées et numériques

Liene 3, Dpt Géosienes

Année 2011-2012, 2e semestre

Présentation synthétique du ours

Janvier Juin 2012

Cours donné en

3 ^e

année de Liene de Sienes de la planèteTerre

par Mihael Ghilet Jean Roux

TD par Mohamadou Diallo

Éole normalesupérieure, Paris

Quatrième ours

Algèbre linéaire I. Valeurs et veteurs propres

d'une matrie : théorie et méthodes numériques

C'estunourspartiulièrementutileàlarésolution dessystèmesd'équa-

tions diérentielleslinéaires.

Il est àpeine utile de noterque lealuldes valeurs etveteurspropres

se pose dans de nombreux problèmes de la physique et en partiulier dans

les Sienes de laTerre. Lesompliations qui se présentent sont bien plus

grandesquepourlarésolutiondessystèmeslinéaires. Toutd'abordiln'existe

pasde méthode direte : toutes les méthodes sont itératives ; ei est lair

puisqu'il s'agit, omme on va le voir, de aluler les zéros du polynme

aratéristique. Enraisondesgrandesdiultésattahéesàeproblème,e

hapitre nedoit êtreonsidéré queommeune introdution au sujet.

4.1 Valeurs propres et veteurs propres d'une ma-

trie

Degrande importane dans l'étudedes matries

A ∈ R ^n,n

sont les veteurs spéiaux(lesveteurspropresi-dessous)dontlesdiretionssontinhangées

lorsqu'ilssont multipliés par

A

^{. Unsalaire réel ou omplexe}

λ

^telque

Ax = λx, x 6= 0,

^(4.1.1)

estappeléune valeurpropre de

A

^et

x

^{unveteur propre(assoiéà}

λ

^{) de}

A

^.

Il sepeutévidemment qu'une matrie réelleait unevaleur propreomplexe

(voir l'exemple de la matrie

A

^{à la n de e} paragraphe). Notons aussi qu'enréalitélesvaleurspropresomplexesapparaissentparpairesomplexes

onjuguées,eseradémontreri-dessous. Si

λ

^{estomplexeleveteurpropre}

assoié

x

^{estomplexe, ars'ilétait réel, onaurait}

Ax

^{réel et}

λx

^omplexe,

e qui est impossible ; de plus si

Ax = λx

^ave

λ ∈ C

et néessairement

x

omplexe (onvient deledémontrer),on a(enprenant leonjuguédesdeux

membres)

Ax = λx

^{,soit, puisque}

A

^{estréelle par hypothèse,}

A x ¯ = ¯ λ¯ x

^{. Ce}

quisignie que

λ ¯

^{estaussivaleur proprede}

A

^{assoiée auveteur propre}

x ¯

^,

quiest leomplexe onjuguédu veteur propre

x

^assoiéà

λ

^.

Lorsqu'unevaleurpropreestonnue,ladéterminationduveteur propre

assoié revient à résoudre le système linéaire homogène

(A − λI)x = 0

^{. Il}

est évident que si

x

^{est veteur propre, alors}

αx

^{est aussi veteur propre}

pour tout salaire

α 6= 0

^{(le veteur propre est don déni à un salaire}

près non nul). On peut don hoisir

α

^{tel que}

||x|| = 1

^{. Il suit que}

λ

est une valeur propre si et seulement si le système linéaire homogène

(A −

λI)x = 0

^{a une solution non triviale}

x 6= 0

^{,ou, de façon} équivalente, si et seulement si la matrie

A − λI

^est singulière. Par onséquent les valeurs

propres satisfont à l'équation

p _A (λ) = det(A − λI) = 0

^{, où}

p _A (λ)

^{est un}

polynmearatéristiquededegré

n

^silamatrie

A

^estd'ordre

n

^{. Lesvaleurs}

propres

λ i = λ i (A)

^,

1 ≤ i ≤ n

^{, sont les}

n

^{raines, distintes ou onfondues,}

réelles et/ou imaginaires de

p _A (λ)

^{. Maintenant il est failede voir quesi}

λ

est une raine omplexe de

p _A (λ)

^où

A

^{est une matrie réelle, alors}

λ ¯

^est

aussiraine. Cepolynmes'érit évidemment

p _A (λ) = a ₀ + a ₁ λ + · · · + a _n λ ⁿ

où les oeients

a i

^{sont réels. Soit}

λ ₀ ∈ C

une raine de

p A (λ)

^{, on a :}

0 = p _A (λ 0 ) = a ₀ + a ₁ λ ₀ + · · · + a _n (λ 0 ) ⁿ

^{. Prenons leomplexe onjuguéde}

touslesmembres, ona :

¯ 0 = p _A (λ ₀ ) = a ₀ + a ₁ λ ₀ + · · · + a _n (λ ₀ ) ⁿ

^{,ou enore}

0 = a ₀ + a ₁ λ ¯ ₀ + · · · + a _n ( ¯ λ ₀ ) ⁿ

^{,e quiprouve que}

λ ¯ ₀

^{estaussiraine. Ce qui}

démontre l'assertion.

Le alulàlamain desvaleursetveteurspropres peut êtreparfoisun

peu pénible, même s'il s'agit toujours de trouver les raines d'unpolynme

(e n'est possible que pour

n

^{de l'ordre de 2 ou 3) et de résoudre un petit}

système linéaire algébrique. L'emploi d'algorithmes numériques est don

usuellement néessaire.

Nousavonsle

Théorème 4.1.1. Si

λ ₁

^et

λ ₂

^{sont des valeurs propres telles que}

λ ₁ 6= λ ₂

^,

alors les veteurs propres orrespondants sontlinéairementindépendants.

Démonstration : Soient

Av ₁ = λ ₁ v ₁

^et

Av ₂ = λ ₂ v ₂

^{. Raisonnons par}

l'absurde en supposant que

v ₁

^et

v ₂

^sont linéairement dépendants, 'est-à- dire qu'il existe une onstante

k 6= 0

^{telle que}

v ₂ = kv ₁

^{. Alors}

A(kv ₁ ) = λ ₂ (kv ₁ )

^soit

Av ₁ = λ ₂ v ₁

^{, en} soustrayant de la relation

Av ₁ = λ ₁ v ₁

^{il vient}

(λ 2 − λ ₁ )v 1 = 0

^ave

v ₁ 6= 0

^{,ona don}

λ ₁ = λ ₂

^{e qui estabsurde.}

Ilpeutexisterdeuxvaleurspropresidentiquessurladiagonaleassoiéesà

deuxveteurspropresindépendants. Parexemplesoitlamatrie

I ₂

^suivante

I ₂ =

1 0 0 1

,lenombre 1 estune valeurpropre doubleetonpeuthoisir

v ₁ = 1

0

et

v ₂ = 0

1

ommeveteurs propres indépendants. Ondis-

tinguelamultipliitéalgébriqued'unevaleurpropre-ii

λ = 1

^estunevaleur

propredemultipliité algèbrique

2

^-desamultipliitégéométriquequiestla dimension de l'espae propre assoié. Dans leas de lamatrie

I ₂

^{les deux}

multipliités sont les mêmes. Par ontre la matrie

B =

µ 1 0 µ

a pour

valeurpropre

µ

^demultipliitéalgébrique

2

^{,maissamultipliié}géométrique est

1

^(exerie).

Silamultipliitéalgébriqued'unevaleurpropre estégale àun,lavaleur

propreest ditesimple, elle estdite multiple dansleasontraire.

Si

λ ∈ C

est valeur propre, alors

λ ¯

^{est valeur propre. En dimension 2}

l'exempletypiqueest eluide lamatrie

A =

0 −1 1 0

. Ilestimpossible,

en dimension 2,quela matrie

D

^{seprésentesous laforme}

D =

i 0 0 i

,

ar

i

^{seraitrainedoubledupolynme}aratéristique

(λ− i) ² = λ ² − 2iλ −1

qui n'est pas à oeients réels omme on le suppose. Par ontre il peut

arriver(il estfailed'exhiberunexemplenaïf),parexempleendimension4,

que

D =



 

 i

−i 0 0 i

−i



 



, les valeurs propres doubles apparaissant par

pairesonjuguées.

4.2 Rédution d'une matrie

Soit un espae vetoriel

X

^{de dimension nie}

n

^{. Soit}

A : X → X

^un

opérateur linéaire représentépar la matrie

A

^{dans une base}

(e _i )

^de

X

^{. Si}

(f i )

^{est une autre base de}

X

^{, le même opérateur est représenté dans ette}

base

(f i )

^{par lamatrie}

A ^′ = F ⁻¹ AF

où

F

^{est la matrie régulière dont le}

j ^eme

^{veteur olonne représente le}

veteur

(f j )

^danslabase

(e i )

^{. Lamatrie}

F

^{estditelamatriedehangement}

debase. La matrie

A ^′

^{est ditesemblable à}

A

^.

Lemêmeopérateurlinéaire

A

^{estainsireprésentépardiérentesmatries}

selon la base hoisie. Le problème se pose don de trouver une base dans

laquellelamatriereprésentant l'opérateur

A

^soitpartiulièrement simple- on réduit lamatrie à sa forme laplus simple possible. Le meilleur desas

estelui oùilexiste unematrie régulière

P

^{(lamatrie dehangement de}

base)telle quelamatrie

P ⁻¹ AP

^{soit diagonale. On aalors}

P ⁻¹ AP =



 

  d ₁

d ₂ 0

0

^...

d _n



 

 

.

^(4.2.1)

Orilestévidentquesi

λ i

^{estunevaleurproprede}

A

^{,elleestaussi('est}

une vériation élémentaire) une valeur propre de

D = P ⁻¹ AP

^etréipro-

quement ;lespetre deette dernière matrieétant évidemment l'ensemble

des

d i

^{. Si don lamatrie}

A

^est diagonalisable, lamatrie

D

^{estonstituée}

quedesvaleurspropres de

A

^,'est-à-direque

D = diag(λ _i )

^{. Onvérieaussi}

quesi

y _i

^{est unveteurpropre de}

D

orrespondant à

λ _i

⁽

Dy _i = λ _i y _i

^),alors

P y _i

^{est un veteur propre de}

A

orrespondant à

λ _i

^{: en eet de l'égalité}

AP = P D

^ontire

A(P y _i ) = P (Dy _i ) = λ _i (P y _i )

^{,equi démontre} l'assertion.

Si la matrie est diagonalisable les

λ _i

^{ne sont pas} néessairement tous diérents, mais il existe toujours

n

^{veteurs propres} linéairement indépen- dants. La réiproque est vraie : si une matrie possède

n

^{veteurs propres}

linéairementindépendants-equirevientàdirequelamatrie

P

^préédente

estrégulière -alors elle estdiagonalisable. Sitoutes lesvaleurspropres sont

distintesalorslamatrieestdiagonalisable,elasuitdufaitquelesveteurs

propres assoiés à des valeurs propres distintes sont linéairement indépen-

dants. Maisilsepeutque, lamatrie

A

^étant diagonalisable,onait

λ ₁ = λ ₂

ave

x ₁

indépendant de

x ₂

^{(prendre, par exemple, la matrie identité}

I ₂

^de

l'exemple duparagraphe préédent).

Toutematrien'est pasdiagonalisable,maisunelargelassedematries

possède lapropriétédediagonalisation. ellel'estlorsqu'elle estnormale,i.e.

lorsque la matrie réelle

A

^{permute ave satransposée :}

A(A ^T ) = (A ^T )A

^,

e qui est vérié si, par exemple, la matrie est symétriqueou orthogonale.

Alors il existe une matrie

C

^régulière (inversible) telle que

C ⁻¹ AC = D

^,

où la matrie

D

^{est diagonale et onstituée des valeurs propres de}

A

^{. En}

eet démontrons que les matries

A

^et

D

^{ont les mêmes valeurs propres.}

On a

det(D − λI) = det(C ⁻¹ AC − λI) = det(C ⁻¹ (A − λCIC ⁻¹ )C)

^{, soit}

det(D − λI) = det(C ⁻¹ ) det(A − λI) det(C)

^{. Comme le} déterminant de l'inverse d'une matrie est l'inverse du déterminant de la matrie, on a

det(D − λI) = det(A − λI)

^{, les matries}

A

^et

D

^{ont mêmes spetres.}

En eet démontrons que les matries

A

^et

D

^{ont les mêmes valeurs pro-}

pres. On a

det(D − λI) = det(C ⁻¹ AC − λI) = det(C ⁻¹ (A − λCIC ⁻¹ )C)

^,

soit

det(D − λI) = det(C ⁻¹ ) det(A − λI) det(C)

^{. Comme le} déterminant de l'inverse d'une matrie est l'inverse du déterminant de la matrie, on a

det(D − λI) = det(A − λI)

^,lesmatries

A

^et

D

^{ont mêmes spetres.}

Il existe desmatriesqui ne sont pasdiagonalisables, mais onpeuttou-

jours au moins réduire toute matrie

A

^{à sa forme de Jordan, qui est}

d'ailleurs diagonale si

A

^est diagonalisable. La mise sous forme de Jordan serautile au ours6.

Ona leremarquable résultatalgébrique suivant :

Théorème4.2.1. Théorème : Soit

A

^{une matrie}

n × n

^{quelonque. Il}

existe une matrie régulière

C

^{qui réduit}

A

^{à sa forme deJordan suivante:}

J = C ⁻¹ AC =



 

 

J ₁ 0

J ₂

.

.

.

0 J _r



 

 

(4.2.2)

où haque blo de Jordan

J _l

^{, d'ordre}

n _l

^{, est assoié à une valeur propre}

λ _l

^de multipliité algébrique

n _l

^{, pour}

1 ≤ l ≤ r

^{est assoié à, e que l'on}

appelle,unsous-espae propregénéralisé (ouenore unsous-espaeinvariant

irrédutible). Et où

J _l

^{est une matrie} triangulaire supérieure de la forme :

J _l = λ _l

^si

n _l = 1,

^ou

J _l =



 

 

 

 

 

λ _l 1 0 . . . . . . 0 λ _l 1 0 . . . 0

.

.

. .

.

. .

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

0

.

.

.

1 λ _l



 

 

 

 

 

si

n _l ≥ 2

(4.2.3)

on a

P r

l=1 n _l = n

^{. Chaque blo de Jordan est assoié à un veteur propre,}

mais aussi, si

n _l ≥ 2

^{, à un sous-espae propre} généralisé. Si

λ _k

^{est une}

valeurproprede

A

^demultipliitéalgébrique

n _k

^{on peut avoirplusieursblos}

de Jordan, par exemple

J _{l 1}

^et

J _{l 2}

^{assoiés à}

λ _k

^de multipliités algébriques respetives

n _{l 1}

^et

n _{l 2}

^ave

n _{l 1} + n _{l 2} = n _k

^{: dans e as}

λ _k

^{est assoiée à deux}

veteurs propres linéairement indépendants (la multipliité géométrique de

λ _k

^{est deux), les deux} sous-espaes propres généralisés orrespondants sont indépendants.

Commentaires : La matrie

A

^est diagonalisable si et seulement si les sous-matries

J _l

^{sontd'ordre 1}('est-à-dire que

n _l = 1

^,

1 ≤ l ≤ r = n

^).

NousmettonslemotThéorème entreguillemets,pourindiquerquenous

endonnons seulement l'idée (voir lelivrepour plusde préisions).

On montre que le nombre de sous-matries du type

J l

orrespondant à la même valeur propre oïnide ave le nombre de sous-espaes propres

généralisésdistintsassoiésàettemêmevaleurpropre,'est-à-direestégal

à la multipliité géométrique de la valeur propre. Cette matrie en forme

normalede Jordanest uniqueà l'ordre desblosde Jordanprès.

S'ilexisteunblodeJordanassoiéà

λ _i ∈ C

d'ordre

n _i

^{,ilexiste unblo}

de Jordan assoié à

λ ¯ i

^{de même ordre, etles blosde Jordan assoiés à}

λ i

et

λ ¯ _i

^seorrespondent 2à 2.

Ilestfailedevoirqu'iln'yaqu'unseulveteur propre(àuneonstante

multipliative près)attahé à unblode Jordan dénipar (4.2.3). Eneet

soit

u = (u ₁ , u ₂ , · · · , u _{n l} ) ^T

^{un veteur propre assoié à la valeur propre}

λ _l

^.

Posons

λ = λ _l

^{. Exprimons}

J _l u = λu

^{omposante par omposante, il vient}

λu ₁ + u ₂ = λu ₁ λu ₂ + u ₃ = λu ₂

.

.

.

λu _{n l} = λu _{n l}

. En partant de lapremière relation il vient

u ₂ = 0

^{, puis}

par la deuxième

u ₃ = 0

^{, ainsi de suite jusqu'à l'av}ant-dernière relation qui donne

u n _l −1 = 0

^{. La dernière équation est alors} néessairement satisfaite.

Finalement ona

u = (u ₁ , 0, · · · , 0) ^T

^ave

u ₁ 6= 0

^ar

u

^{estunveteur propre}

; omme toutveteur propre est déni à une onstante près on peut érire

u = αe ₁

^ave

α

^{onstante, où}

e ₁

^{estlepremierveteur de labaseanonique}

de

R ^{n l}

.

4.2.1 Valeur propre dominante simple ou multiple. Uniité

de la valeur propre dominante

Soitune matriediagonalisable ou non,onappelle valeur propredominante

lavaleurpropre laplusgrande enmodule.

Notons que, évidemment, la valeur propre dominante peut ne pas être

unique. Par exemple si deux valeurs propres dominantes sont réelles et op-

posées :

λ ₁ = −λ ₂ > 0

^,

λ ₁

^et

−λ ₂ > 0

^{sont deux valeurspropres distintes}

dominantes demêmemoduleetona

λ ₁ > |λ 3 | ≥ |λ 4 | ≥ · · ·

^;ouenoresion

aunepairedominante devaleurspropresomplexesonjuguées:

λ ₁ ∈ C

,

λ ₁

sont deuxvaleurspropres distintesdominantes et

|λ ₁ | = |λ ₁ | > |λ ₃ | ≥ · · ·

^.

La valeur propre dominante

λ ₁

^{est simple si}

|λ ₁ | > |λ ₂ | ≥ · · · ≥ |λ _n |

^,

autrement dit sisamultipliité algébriqueest égale à1, elle estmultiple si,

par exemple, dansleas d'unemultipliité algébriqueégale à 2,

λ ₁ = λ ₂

^et

|λ 1 | > |λ 3 | ≥ · · · ≥ |λ n |

^.

Ilfaut dondistinguerlesnotions demultipliitéalgébriqued'unevaleur

propre et d'uniité de la valeur propre dominante. Cette dominane peut

être unique pour une valeur propre algébriquement multiple. A ontrario,

des valeurs propres simples distintes peuvent être assoiées à une valeur

propredominantemultiple.

Nousallonsseulementonsidérer,danseours,leasoùlavaleurpropre

dominante est unique. Remarquons qu'elle est alors néessairement réelle,

arsi elle était omplexe, saomplexe onjuguée serait aussi valeur propre

dominante etelaontrediraitl'hypothèse d'uniité.

4.3 Calul numérique des valeurs et veteurs pro-

pres. Petit panorama des méthodes.

Ilestàpeineutiledenoterquelealuldesvaleursetveteurspropressepose

dansdenombreuxproblèmesdelaphysiqueetenpartiulierdanslesSienes

de laTerre. Lesompliations quise présentent sont bienplus grandes que

pour la résolution des systèmes linéaires. Tout d'abord il n'existe pas de

méthodedirete: touteslesméthodessontitératives;eiestlairpuisqu'il

s'agit, en quelque sorte, de aluler les zéros du polynme aratéristique.

Enraisondesgrandes diultésattahéesàe problème, equisuitne doit

êtreonsidéré queommeune introdution au sujet.

Dressons d'abord un atalogue non exhaustif desméthodes relativesau

alul: trouver

x ∈ C ⁿ

,

λ ∈ C

tels que

Ax = λx

^(4.3.1)

où

A ∈ L( R ⁿ , R ⁿ )

^{. On sait qu'une matrie réele peut avoir des valeurs}

propresomplexesauxquellesonassoienéessairement desveteurspropres

omplexes.

(A)Calul d'unepartie duspetre

•

^{Calulduplusgrand(resp. petit)module}

ρ(A) = max i |λ i |

^(resp.

min i |λ i |)

des valeurs propres (que la valeur propre soit simple ou non) par la

méthode de lapuissane(resp. puissaneinverse).

•

^{Estimation des valeurs propres par paquets : méthode de Lanzos,}

méthode desitérations d'unsousespae. C'est horsprogramme.

(B)Cas d'unematrie symétrique

On démontre que les valeurs propres d'une telle matrie sont réelles

(théorème 2.18page 47 dulivre).

•

^{Méthode de Jaobi. Onalule toutlespetreet lesveteurspropres}

assoiés. Elle s'applique, en partiulier, lorsque la matrie est pleine.

C'esthors programme.

•

^MéthodedeGivens-Householderpartiulièrement adaptéeaualulde valeurs propres séletionnées. Cette méthode alule le spetre mais

paslesveteurspropresqui,s'ilsdoiventêtrealulés,sontestiméspar

uneautreméthode. Cetteméthodedebissetionopèreendeuxétapes

1. Tridiagonalisation de la matrie

A

^{(par une méthode de House-}

holder- voir ours7),

2. Calul du spetre de la matrie symétrique tridiagonale obtenue

(semblable à

A

^{) en utilisant laméthode de Givensappelée aussi}

méthode de bissetion.

(C) Casd'une matrienon symétrique

•

^MéthodeLRdeRutishauser. Caluldetoutlespetre. Méthodebasée surladéomposition

A = LU

^{-voirours7. Cetteméthodeestétudiée}

danslesompléments dulivre.

Il estutile, avanttout aluldevaleurspropres,d'avoir une idéede leur

loalisationande validerles aluls. Celapeuts'estimer,par exemple,par

lethéorèmedeGershgorin-Hadamard-voirlivre. Onsaitaussiquelerayon

spetral

ρ(A)

^vérie

ρ(A) ≤ ||A||

^{pour toute normematriielle - voirlivre.}

4.4 Méthode de la puissane

4.4.1 Exemple

Soitlamatrie

A =

10 0

−9 1

devaleurspropres10et1auxquellessontassoiéesrespetivementlesveteurs

propres

u ₁ = (1, −1) ^T

^et

u ₂ = (0, 1) ^T

^.

Soit un veteur initial

x ₀ = (2, 1) ^T

^et suessivement la suite

x ₁ = Ax ₀ , x ₂ = Ax ₁ , · · · , x _k+1 = Ax _k , · · ·

^{. On obtient le tableau suivant où on}

indiqueles valeursdes deuxomposantes desitérés suessifs

x ₀ x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ 2 20 200 2000 20000 200000 1 −17 −197 −1997 −19997 −199997

Constats: i)Ladiretionde

x _k

^{tendverselleduveteurpropre}

(1, −1) ^T

assoié àlavaleur propredominante.

ii) On a presque

x _k+1 = 10x _k

^{; puisque}

x _k+1 = Ax _k

^ela

qualielavaleur 10omme valeur proprede lamatrie

A

^.

Expliation : On a

x _k = Ax _k−1 = · · · = A ^k x ₀

^{. Calulons}

A ^k

^{. On a}

A = SDS ⁻¹

^où

D =

10 0 0 1

, S =

1 0

−1 1

et

S ⁻¹ =

1 0 1 1

.

Dès lors

A ^k = SD ^k S ⁻¹

^où

D ^k =

10 ^k 0 0 1

;

ilvient don

A ^k =

10 ^k 0

−10 ^k + 1 1

,

^d'où

x _k =

2.10 ^k

−2.10 ^k + 3

= 2.10 ^k

1

−1 + _2.10 ³ k

.

Deette analyse ilressort que:

1.

x _k −→

k→∞ u ₁

2. lerapportdedeuxomposantessuessivesdemêmeindieduveteur

itéré

x k

^{tendvers lavaleurpropre deplus grandmodule, en eet:}

k→∞ lim

2.10 ^k

2.10 ^k−1 = lim

k→∞

−2.10 ^k + 3

−2.10 ^k−1 + 3 = 10,

onen déduit quepour toute norme

∀x ₀ , lim

k→∞

kx _k k

kx _k−1 k = 10.

Remarque 4.4.1. Sur et exemple les omposantes de

x _k

^{varient omme}

10 ^k

^{,equientraînelesrisquesde}dépassementdeapaité mahine! Comme un veteur propre est déni à un oeient de proportionnalité près, il est

naturel dele normaliser(à haque itérationpar exemple).

4.4.2 Algorithme de la puissane

Soit

A

^{une matrie réelle d'ordre}

n

^{. À haque itération préédente, on nor-}

malise

x _k

^{par une norme quelonque}

k.k

^de

C ⁿ

, il semble qu'il n'y ait pas d'inonvénient à hoisir a priori la norme eulidienne, plus faileà aluler

quelanorme dumaximum, arn'exigeant pasdesomparaisons.

Onhoisitdonlanormeeulidienneetononsidèrel'algorithmesuivant:

1. hoix de

q ₀ ∈ C ⁿ

telque

kq ₀ k = 1

^,

2. pour

k = 1, 2, · · ·

^aluler



 

 

 

 

• x _k = Aq _k−1

• λ ^k (j) = _q ^{x k (j)}

k − 1 (j) j = 1, 2, · · · , n

• γ _k = kx _k k

• q _k = ^x _γ ^k

k

;

^(4.4.1)

onnotepar

x _k (j)

^la

j ^e

^{omposanteduveteur}

x _k

^etpar

λ ^k (j)

^lavaleur

propreassoiéeà

x _k (j)

^.

Le ritère d'arrêt de l'algorithmeest fourni par lastabilisation de

λ ^k (j)

autourd'unemême valeur.

4.4.3 Théorème de onvergene

And'étudierlaonvergenedessuitesdéniesparl'algorithme,posonsune

dénition.

Dénition 4.4.1. Le fateur de onvergene d'une suite

(z _k )

^{qui onverge}

vers

z

^{est le nombre déni par}

k→∞ lim

kz _k+1 − zk kz k − zk .

Remarque 4.4.2. On voit que plus le fateur de onvergene est petit plus

la onvergene de la suite

(z _k )

^vers

z

^est asymptotiquement rapide.

Nous donnonsi-après unthéorème de onvergene de laméthode de la

puissanevalide dans leas où lamatrie est diagonalisable et oùla valeur

propredominanteestréelleetunique(equin'exlutpaslefaitqu'ellepuisse

êtremultiple algébriquement)

Voirle livreetses ompléments en ligne pour lesautres as.

Théorème4.4.1. Soitune matrie

A

^{arrée d'ordre}

n

^,diagonalisable, dont lavaleurpropre

λ ₁

^{deplusgrandmodule est réelleet unique}(éventuellement multiple).

Si le veteur

q ₀

^{n'est pas orthogonal au sous-espae propre à gauhe as-}

soié à

λ ₁

^{, alors la suite dénie par}

∗ q ₀ ∈ C ⁿ

^{tel que}

kq ₀ k = 1

^,

∗

^pour

k = 1, 2, · · · , x _k = Aq _k−1

^,

q _k = _kx ^{x k}

k k

^'estlanormalisation,

vérie

i)

lim _k→∞ ^|λ _λ ¹ k ^{| k} 1

q _k

^{estunveteur propre à droite denormeunitéassoiéà}

λ ₁

^,

ii)

lim _k→∞ kAq _k k = |λ ₁ |,

iii)

lim _k→∞ ^{x k+1} _q ^(j)

k (j) = λ ₁

^{, pour}

1 ≤ j ≤ n

^si

q _k (j) 6= 0

^.

Le fateur de onvergene de haune des suites est

| ^{λ p+1} _λ

1 |

^où

p

^{est la}

multipliité dela valeurpropre

λ ₁

^.

N.B. : Le veteur propre usuel est le veteur propre à droite. Le veteur

propre est toujours déni à un oeient multipliatif près, et on ne peut

parler de onvergene vers un veteur propre qu'à un fateur multipliatif

près.

Preuve : Voirlivre.

Remarque 4.4.3. Ce théorème est donné pour une matrie arrée quel-

onque - sinon le théorème serait trop restritif - ; e qui néessite, pour

la preuve mathématique, l'introdution dans l'hypothèse portant sur

q ₀

^{, de}

la notion de sous-espae propre à gauhe. Si la matrie est, par exemple,

symétrique (dans le as réel), un veteur propre à gauhe est un veteur

y

satisfaisant à l'équation

y ^T A = λy ^T

^{(voir livre pour des} ompléments) et 'est aussi un veteur propre à droite. Mais toutes les matries réelles ne

sontpas symétriques ! Évidemment, en pratique, un veteur initial

q ₀

^quel-

onque vériant

kq ₀ k = 1

^{vérie presque toujours d'être non orthogonal au}

veteur propre à gauhe

v ₁

^{assoiée à}

λ ₁

^{; i.e. que l'on a presque toujours,}

enpratique,

(q 0 , v ₁ ) 6= 0

^où

(., .)

^{est leproduit salaire de}

C ⁿ

.

4.5 Méthode de la puissane inverse

C'estlaméthodedelapuissaneappliquée,soitàlamatrie

A ⁻¹

^(onsuppose

évidemmentsonexistene)quipermetd'obtenirlavaleurpropredepluspetit

modulede

A

^{etun veteur propre assoié, soit àla matrie}

(A − µI ) ⁻¹

^qui

permet d'obtenir la valeur propre laplus prohe de

µ

^{etun veteur propre}

assoié.. On remarque que si on utilisait la méthode de la puissane à la

matrie

(A − µI)

^{, on} onvergerait vers la valeur propre

λ _i − µ

^{telle que}

|λ i − µ| = max j |λ j − µ|

^{,ettevaleurpropre}

λ _i

^{n'est évidemment paslaplus}

prohe de

µ

^!

4.5.1 Reherhe de la valeur propre de plus petit module

Soit

λ _i

^{unevaleurproprede}

A

^,alors

_λ ¹

i

estvaleurproprede

A ⁻¹

^{. Commela}

valeurpropredeplusgrandmodulede

A ⁻¹

^est

max _i | _λ ¹

i | = _min ¹

i |λ i |

^,lavaleur

propredepluspetitmodulede

A

^{estbienégaleàl'inversedelavaleurpropre}

deplus grandmodulede

A ⁻¹

^.

On applique alors laméthode de lapuissane à

A ⁻¹

^{,puis on inverse la}

valeurtrouvée pourobtenir lavaleurproprede

A

^{depluspetitmoduleainsi}

qu'unveteurpropre assoié.

Enreprenantl'algorithmede lapuissane, pouralulerlavaleur propre

de plus grand module de

A ⁻¹

^{, il faut faire} l'itération

x _k = A ⁻¹ q _k−1

^{; il}

semble don qu'il est néessaire de onnaître lamatrie

A ⁻¹

^{. Maisdans la}

pratique on ne alule pas

A ⁻¹

^{(ela oûte trop her !). En fait, on résout}

les systèmes

Ax _k = q _k−1

^{en fatorisant la matrie}

A

^{une fois pour toute}

sous la forme du produit de 2 matries triangulaires

A = LU

^{au départ}

de l'algorithme - voir le ours 6 pour ette fatorisation. L'intérêt est que

les résolutionsdes systèmes triangulaires sont très rapides, etqu'il sut de

hanger le seond membre à haque itération pour aluler

x k

^{. Dès lors la}

reherhe de lavaleurpropre deplus petit moduledevient rapide elle aussi.

4.5.2 Reherhede lavaleurproprelaplusprohe d'unnom-

bre donné

Soit

µ

^{un nombre donné quelonque. On applique} l'algorithme préédent à la matrie

(A − µI ) ⁻¹

^{. Le plus grand module des valeurs propres de}

(A − µI) ⁻¹

^est

_min ¹

i |λ i −µ|

^oùles

λ _i

^{sontlesvaleurspropresde}

A

^{. Enprenant}

donl'inverse dunombrealuléainsi, onobtient

min i |λ i − µ|

^{e quidonne}

lavaleur proprela plusprohe de

µ

^{- voir livre pour des} informationsom- plémentaires.

4.6 Méthode de bissetion ou méthode de Givens-

Householder

Elle opèredans leas où lamatrie

B

^est symétrique, rappelons que

B

^est

alors diagonalisable. La méthode de bissetionque nousallonsonsidérer a

pour objetflareherhe soitd'une valeur proprede rang

m

^{donné (lerang}

étant déni par l'ordre dans lequel elles sont rangées de façon déroissante

(ou roissante) par module), soit de tout le spetre, ei pour une matrie

symétriqued'ordre

n

^.

Notons enn que la méthode de bissetion permet d'être sûr, sans en

oublier, de aluler toutes les valeurs propres appartenant à un intervalle

donné.

4.6.1 Algorithme général

Elle semeten ÷uvreen deuxétapessuessives.

Premièreétape : Triangulation de la matrie. Étant donnéeune ma-

trie

B

symétrique,ondétermineparlaméthodedeHouseholder(voirours 7) unematrie orthogonale

P

^{tellequelamatrie}

P ^T BP = A

^{soit tridiago-}

nale. La matrie

A

^{ainsiobtenue seraaussi}néessairement symétrique.

On est ainsi ramené au problème du alul des valeurs propres d'une

matriesymétriquetridiagonale

A

^,semblableà

B

^{,donayantmêmespetre}

quelamatrie

B

^.

Nousallons maintenant dérire, dansune deuxièmeétape,une méthode

(dite debissetion) qui alulelespetre d'unetellematrie

A

^.

Deuxième étape : C'est la Méthode de bissetion proprement dite.

Soit don la matrie symétrique et tridiagonale obtenue après la première

étape

A =



 

 

 



c ₁ b ₁ 0 b ₁ c ₂ b ₂

.

.

. .

.

. .

.

.

.

.

. .

.

.

b _n−1

0 b _n−1 c n



 

 

 



(4.6.1)

Pour simplier on suppose tous les

b _i

^{non nuls. Ave les oeients de}

lamatrie

A

^{dénissonslasuite despolynmes}

p i (λ)

^,pour

i = 0, 1, 2, · · · , n

^,

par

p ₀ (λ) = 1 p ₁ (λ) = c ₁ − λ . . .

p i (λ) = (c i − λ)p _i−1 (λ) − b ² _i−1 p _i−2 (λ), 2 ≤ i ≤ n,

Onvériefailementque

p _n (λ) = det(A − λI)

^(polynmearatéristique de la matrie

A

^{). On démontre (voir livre) que le polynme}

p i

^a

i

^raines

distintes qui séparent stritement les raines du polynme

p _i+1 ,

^(pour

1 ≤ i ≤ (n − 1)

^{). Il en résulte que les zéros des polynmes suessifs ont}

l'allureindiquée surlagure4.1suivante

Pour

λ ∈ R

donnéetun indie

i

^,

1 ≤ i ≤ n

^,posons

sgn

p _i (λ) =

sgn

p _i (λ)

^si

p _i (λ) 6= 0

sgn

p _i−1 (λ)

^si

p _i (λ) = 0

^(4.6.2)

Considérons l'ensemble

E i (λ) = {+,

^sgn

p ₁ (λ),

^sgn

p ₂ (λ), · · · ,

^sgn

p _i−1 (λ),

^sgn

p i (λ)}

dénipourtout

i

^,

1 ≤ i ≤ n

^.

PSfragreplaements

p i

p _i+1 p _i−1

Figure4.1:

Appelons

σ i (λ)

^{le nombre de paires onséutives de même signe dans}

E _i (λ)

^{. Par exemple si}

E ₁₀ (λ) = {

1

z }| { +, +, −, +,

2

z }| {

−, −, +,

3 4

z }| {

−, −, −, +}

^{, on a}

σ ₁₀ (λ) = 4

^.

Ona alors lerésultat (surprenant !) suivant

Théorème 4.6.1. Pour

λ ∈ R

donné, le nombre

σ n (λ)

^{est égal au nombre}

deraines de

p _n (λ)

^{qui sont supérieures ou égales à}

λ

^.

Démonstration : Admise (voir livre). Elle utilise essentiellement la pro-

priétépréédente deséparation desraines.

4.6.2 Algorithme de bissetion

Onvaalulertouteslesvaleurspropresdelamatrietridiagonaleetsymétri-

que

A

^{grâe au théorème 4.6.1, en sahant, par les remarques préédentes}

surles raines, que les valeurs propres sont toutes distintes. Rangeons-les

dansl'ordredéroissant (on sait quelamatrie étant symétriquelesvaleurs

propres sont réelles,etl'on peutdon les ordonner)

λ ₁ > λ ₂ > · · · > λ _n−1 > λ _n .

Même plus, et algorithme va nous permettre de aluler une valeur

propred'ordre

i

^{donné danse rangement. Cherhons don àaluler}

λ _i

^.

Choix d'unintervalle deonane Onsait quepour toutenorme ma-

triielle on a

ρ(A) ≤ kAk

^{. Il est dès lors faile de se donner un intervalle}

de onane

[a ₀ , b ₀ ]

^{tel que}

λ _i ∈ [a ₀ , b ₀ ]

^pour

i

^{xémais quelonque tel que}

1 ≤ i ≤ n

^{. Il sut de hoisir}

b ₀ = kAk 1

^ou

b ₀ = kAk ∞

^{ares normessont}

failes à aluler, et de prendre

a ₀ = −b ₀

^{. Alors toutes les valeurs propres}

appartiennent à l'intervalle

[a ₀ , b ₀ ]

^.

Examend'unesuited'intervalles

[a _k , b _k ]

^telsque

λ _i ∈ [a _k , b _k ]

^Partons

del'intervalle

[a ₀ , b ₀ ]

^etsoit

c ₀

^{lemilieudeetintervalle(}

c ₀ = ^{a 0 +b} ₂ ⁰

^{). Onal-}

ulealors

σ n (c ₀ )

^{. Onremarque qu'ilfaut aluler lesvaleursdespolynmes}

p ₁ (λ), p ₂ (λ), · · · , p _n (λ)

^pour

λ = c ₀

^{pour pouvoir déterminerleurs signesen}

epoint: onpeut(ondoit!) utiliserlaformulederéurrenelesdénissant

pour aluler les

p _i (c ₀ )

^{. Alorsde deux hoses l'une :}

•

^i)si

σ _n (c ₀ ) ≥ i

^{,d'aprèslethéorème 4.6.1 ela signiequ'il existe plus}

de

i

^rainessupérieuresouégalesà

c ₀

^{. D'aprèslerangementdesvaleurs}

propres elasignie que

λ _i ∈ [c ₀ , b ₀ ]

^,

•

^ii)si

σ _n (c ₀ ) < i

^{alors, a ontrario,}

λ _i ∈ [a ₀ , c ₀ [⊂ [a ₀ , c ₀ ]

^.

Desorteque

λ _i ∈ [a ₁ , b ₁ ]

^ave

[a ₁ , b ₁ ] = [c ₀ , b ₀ ]

^dansleasi)et

[a ₁ , b ₁ ] = [a ₀ , c ₀ ]

^{dansleasii). Onreommene leproédéave lemilieu}

c ₁

^de

[a ₁ , b ₁ ]

etainsi desuite. Ononstruit ainsi une suite d'intervalles emboîtés

[a k , b _k ]

par division en deux des intervalles suessifs ('est de là que vient le mot

bissetiondonné àla méthode)tels que

λ _i ∈ [a _k , b _k ]

^{pour tout}

k

^ave

b _k − a _k = b ₀ − a ₀

2 ^k −−−→

k→∞ 0.

On arrête le proessus dèsque

b k − a k < ε

^,

ε > 0

^{donné (}

ε ≃ 10 ⁻⁴

^par

exemple),eton déide alors que

λ _i = c _k = ^{b k +a} ₂ ^k

^.

Calul du veteur propre assoié Une fois la valeur propre d'ordre

i

aluléepar la méthode de bissetion, onpeutdéterminerle veteur propre

assoié par laméthode de lapuissaneitérée inverse (voirlivre).