3 e année de Liene de Sienes de la planèteTerre

Mathématiques

appliquées et numériques

Liene 3, Dpt Géosienes

Année 2011-2012, 2e semestre

Présentation synthétique du ours

Janvier Juin 2012

Cours donné en

3 ^e

année de Liene de Sienes de la planèteTerre

par Mihael Ghilet Jean Roux

TD par Mohamadou Diallo

Cinquième ours

Équations diérentielles vetorielles. Théorème

fondamental d'existene et d'uniité. Introdution

aux méthodes numériques de résolution.

Soit lesystèmeautonome àrésoudre

˙

x = X(x), x ∈ R ^m

^(5.0.1)

La distintion entre salaire etvetorielle est un peu désuète. Dansune

terminologie plus ontemporaine on dit équations diérentielles en dimen-

sion

1

^{ou m. De même nous}introduisons(sans la dénir rigoureusement) lanotionde hampde veteursen usagehez lesdynamiiens ande famil-

iariser leleteurave levoabulaire.

La question de l'existene et de l'uniité de la solution des équations

diérentielles peut toujours s'étudier sur les équations diérentielles au-

tonomes du type (5.0.1). En dimension un, dimension dans laquelle nous

nousplaeronsgénéralement,on utiliseraaussilanotationusuelle

x ˙ = f (x)

^.

La notion entrale permettant de donner une réponse à ette question est

ellede lipshitzitéque nousallonsdévelopper.

5.1 Retour sur la notion de lipshitzité

Cettenotionadéjàétévueauoursno1. Étantdonnésonimportanenous

larepréisons.

On suppose que lehamp

X : R ^m → R ^m

^{vérie une ondition de Lips-}

hitz globalesur tout

R ^m

^,'est-à-direqu'il existe une onstante

L ≥ 0

^telle

que, pour toute norme de

R ^m

^{(on pourra prendre, par exemple, la norme}

eulidienne dans

R ^m

^{: on sait que toutes les normes sont} équivalentes dans unespae de dimension nie,en partiulier dans

R ^m

^{),onait :}

k X(y) − X(z) k ≤ L k y − z k , ∀ y, z ∈ R ^m ,

^(5.1.1)

oùlaonstante

L

^estindépendantedes

y

^et

z

^{. Onditque}

X

^estglobalement L-lipshitzien. Si

L < 1

^{on ditque}

X

^{est uneontration}lipshitzienne.

Cettenotion peut-être loale. Lehamp

X

^{est loalement} L-lipshitzien dans un voisinage

V (y)

^de

y ∈ R ^m

^{si on a}

k X(y) − X(z) k ≤ L k y − z k

^,

∀ z ∈ V (y)

^.

Unefontionlipshitzienneestontinue,etmêmeuniformémentontinue

(si

| y − z | ≤ η

^alors

| f (y) − f (z) | ≤ ε

^pour

η ≤ ε/L

^).

Unefontionontinuelinéaireparmoreaux(Figure5.1),aveunnombre

nidemoreaux, estlipshitzienne. Par exemple lafontion

f (x) = | x |

^non

dérivableà l'origine est lipshitzienne. La propriété d'êtrelipshitzienne ne

néessitedon pasquelafontion

f

^{soit dérivable(as}

m = 1

^{) partout.}

Figure 5.1: Exempledefontionlipshitziennenon dérivablepartout.

Remarque5.1.1. Cependantlorsqueladérivéeexiste surunintervalleréel,

il existe un ritère simple assurant la lipshitzité d'une fontion

f

^{. Soit}

m = 1

^{pour simplier, soit}

f

^{une appliation ontinue de}

[a, b]

^dans

R

^{. On}

supposequeladérivée

f ^′

^{existeetestbornée sur}

]a, b[

^{(ilsutqueladérivée à}

droiteexisteetsoitbornée sur

]a, b[

^{,equiestleasdel'exempledelaFigure}

5.1). Alors,parl'inégalitédesaroissementsnis,

f

^{satisfaitune ondition}

de Lipshitz sur

[a, b]

^{. À savoir que si}

| f ^′ (x) | ≤ L

^{pour tout}

x ∈ ]a, b[

^{, on a}

| f (y) − f (z) | ≤ L | y − z |

^{quelsque soient}

y

^,

z ∈ [a, b]

^. Réiproquementsi

f

^est

L-lipshitzienne,

| f (y) − f (z) | / | y − z |

^{est majorée par}

L

^pour

y

^et

z

^distints.

Comme la limite de e quotient existe lorsque

y → z

^{, puisqu'on a supposé}

que

f ^′ (y)

^{existe pour tout}

y ∈ ]a, b[

^{, on en déduit que}

| f ^′ (y) | ≤ L

^{. Sous}

les hypothèses de ette remarque, la ondition

| f ^′ (y) | ≤ L

^{est une ondition}

néessaire etsusante deL-lipshitzité de

f

^.

Exemples simples de fontions lipshitzienne ou non :

1. Soit

f (y) = y ²

^{, la fontion}

f

^{a évidemment toute larégularité nées-}

saire. Pour tous

y, z

^{tels que}

0 ≤ y, z ≤ 2

^{,on a:}

| f (y) − f (z) | = | y ² − z ² | = | y − z || y + z | ≤ 4 | y − z | ,

f

^{est don loalement} lipshitzienne. Voyons-le en tenant ompte de laRemarque 5.1.1. On a

f ^′ (y) = 2y

^et

| f ^′ (y) | ≤ 4

(indépendamment de

y

^{) danslarégion onsidérée,e quionlut.}

Plus généralement toute fontion ontinûment dérivable sur un inter-

valle fermé et borné (i.e. un ompat de

R

^{) est} lipshitzienne. En eetsadérivéeest ontinue suretintervalle ompat etelle estdon

bornée. Lafontion

f

^estdonlipshitzienned'aprèslaremarque5.1.1.

2. La fontion

f : [0, 1] → R ⁺

^{dénie par}

f(x) = √

x

^{n'est paslipshitzi-}

ennesur

]0, 1]

^{. Eneetsarestritionà}l'intervallesemi-ouvert

]0, 1]

^est

dérivable maisà dérivée non bornée, elle n'est don paslipshitzienne

(voirremarque5.1.1): afortiorilafontion

f

^{nel'estpasnonplussur}

tout l'intervalle fermé

[0, 1]

^{. Par ontre sur tout intervalle de}

R ⁺

^du

type

[a, + ∞ [

^ave

a > 0

^lafontion

f

^est lipshitzienne. Cei montre

qu'une fontion ontinue n'est pas néessairement lipshitzienne sur

toutl'intervalle de dénitionde

f

^{,alors quelaréiproque estvraie.}

Pourmontrer l'importane del'hypothèsede lipshitzitédonnonsun ex-

empled'équationoù,siettehypothèsen'estpasassurée,l'uniitéestfausse.

Exemple élémentaire de non-uniité loale d'une solution d'une

équation diérentielle. Soit alors l'équation

x ˙ = √ x

^,

x ≥ 0

^{ave la}

ondition initiale

x(0) = 0

^{. Cette équation a la solution évidente}

x(t) = 0

^,

∀ t ∈ R

^{. On vérie aussi quela fontion}

x(t) = t ² /4

^pour

t ≥ 0

^et

x(t) = 0

pour

t ≤ 0

^{est solution. Il n'y a pas d'uniité sur un intervalle ontenant}

l'origine, bien que

f

^{soit ontinue. On sait aussi que la fontion}

√ x

^n'est

paslipshitziennedansunvoisinagede l'origine. Ces observationslaissent à

penser qu'ilpeutyavoir unlienentrelalipshizitéetl'existeneetl'uniité

de la solution. Cet exemple permet aussi de voir que la ontinuité de

f

n'assure pas l'uniité de la solution de l'équation diérentielle, en fait elle

n'enassurequel'existene.

Ilfautdondesonditionssur

f

^(ou

X

^{)plusfortesquelaontinuitépour}

avoir l'existene et l'uniité loales de la solution. Si

f

^{est non autonome,}

lalipshizitéde

f

^{uniquement par rapportaux variables} dépendantes, oula lipshizité de

X

^{(que l'on supposetoujours autonome - voir oursno 3), va}

sure. La preuve utilise un théorème de point xe, semblable au théorème

1.3.1 (ours no1) qui assurel'existeneetl'uniitéde e dernier.

5.2 Existene et uniité loales des trajetoires

5.2.1 Cas général des hamps de veteurs autonomes

Soit le problème

x ˙ = X(x)

^où

X

^{est un hamp de veteurs déni sur un}

ouvert

U

^de

R ^m

^{. Cet ouvertpeutêtretout}

R ^m

^.

Dénition 5.2.1. Une trajetoire de

X

^par

x ∈ U

^{est une ourbe dérivable}

ϕ : I → U,

^{dénie sur un intervalle ouvert}

I

^ontenant

0 ∈ R ,

^{telle que}

ϕ(0) = x

^{et que}

ϕ(t) = ˙ X(ϕ(t))

^pourtout

t ∈ I.

Une telletrajetoirepar

x

^{est souvent notée}

ϕ(t, x)

^.

Théorème5.2.1. (ThéorèmedeCauhyd'existeneetd'uniitéloalesdes

trajetoires dansle as"Lipshitz")

Soit

X

^{un hamp de veteurs sur un ouvert}

U ⊂ R ^m .

^{On suppose qu'il}

existe une onstante

K > 0

^{telleque :}

|| X(x) − X(y) || ≤ K || x − y || pour tout x, y ∈ U,

'est-à-dire que l'appliation

x → X(x)

^{est Lipshitz deonstante}

K.

^Alors

1. Existene loaledes trajetoires

Soit

A ⊂ U,

^{un ompat non vide. Alors il existe}

τ > 0,

^{dépendant de}

A

^{,une fontion}

ϕ : [ − τ, τ ] × A → U,

^{ontinueet dérivableparrapport}

à

t ∈ [ − τ, τ ],

^{telle que pour tout}

x ∈ A

^{, la ourbe}

ϕ( · , x) : t ∈ ] − τ, τ [ → ϕ(t, x) ∈ U

soitunetrajetoirepar

x.

^{Celasignieque}

ϕ(0, x) = x

^etque

^∂ϕ _∂t (t, x) = X(ϕ(t, x))

^{pour tout}

(t, x) ∈ [ − τ, τ ] × A.

2. Uniitéloale destrajetoires

Soient

ϕ 1 (., x) : I 1 → U

^et

ϕ 2 (., x) : I 2 → U

^{deux trajetoires}

par

x ∈ U.

^{Alors il existe un intervalle}

J

^de

0

^,

J ⊂ I 1 ∩ I 2

^{, tel que}

ϕ 1 | J ≡ ϕ 2 | J

^.

Preuve : Admise(voirlivre : Théorème 7.6).

Remarque5.2.1. LeThéorème 5.2.1permet d'avoirimmédiatementl'exis-

tene et l'uniité de la solution des systèmes linéaires

x ˙ = Ax

^où

A

^est

une matrie d'ordre

m

^{. En eet la ondition de Lipshitz est} trivialement vériée pour tout

x ∈ R ^m

^ave

L = k A k

^{puisque, par dénition dela norme}

matriielle,

k Ax − Ay k = k A(x − y) k ≤ k A kk x − y k

^{. Plus tard, dans le}

ours, on exhibera une expression expliite de la solution pour es systèmes

linéaires, montrant qu'elle existe et est unique quelque soit

t ∈ R

^{. Il est}

heureux que lethéorème général d'existene et d'uniité s'applique aumoins

pour les systèmes linéaires !

Remarque 5.2.2. Reprenons l'équation

x ˙ = √

x

^{que nous avons étudiée à}

la n du Paragraphe 5.1, on a vu qu'il existe deux solutions pour

t ≥ 0

^{, à}

savoir

x(t) = 0

^et

x(t) = t ² /4

^{. On sait que}

f (x) = √

x

^est lipshitzienne sur toutintervalle

[a, + ∞ [

^ave

a ≥ α > 0

^{. Or, par leThéorème 5.2.1, ave}

U =]0, + ∞ [

^{et un ompat}

A ⊂ U

^{, on a l'existene et l'uniité loales de la}

trajetoire passant par un point

x 0 ∈ A

^, 'est-à-dire pour

x 0 > 0

^{(voir gure}

7.11du livre pour l'illustration de es propriétés).

5.2.2 Appliation au as des systèmes non autonomes

Dansequisuitlavariable

t

^estgénéralementletemps. Soit

I 0 = [t 0 , t 0 +T ]

^,

T > 0

^{,un intervalle fermé borné de}

R

⁽

T

^{estsupposéni). Soit lesystème}

non-autonomed'équations diérentielles suivant :

y ^′ = f (t, y(t)), t ∈ I 0

y(t 0 ) = y 0 ∈ R ^m , y 0

^donné

(5.2.1)

où

f

^{estune fontion nonlinéaire de}

I 0 × R ^m

^dans

R ^m

^.

Théorème5.2.2. Supposonsl'appliation

(t, y) → f (t, y)

^{ontinue sur}

I 0 × R ^m

^{. La solutionde(5.2.1) existe et est unique pourtout}

t ∈ I 0

^et

y 0 ∈ R ^m

^,

sous l'hypothèse de lipshitzité

k f (t, y(t)) − f (t, z(t)) k ≤ K k y − z k , pour tout (t, y, z) ∈ I 0 × R ^m × R ^m ,

(5.2.2)

où

K > 0

^{est une onstante} indépendante du temps et des fontions

y

^et

z

^.

Preuve : Admise(voirlivre : Théorème 7.10).

Exemple d'existene non globale d'une solution Soitl'équation

x ˙ = x ²

^{déni sur}

R

^{. Cette équation} diérentielle a déjà été vue au Paragraphe 3.3.5 (ours

n ^o 3

^{). La fontion}

f (x, t) = x ²

^{est loalement} lipshitzienne en

x ∈ R

^{pour tout}

t ∈ R

^{. L'existene et l'uniité de la solution ne peuvent}

êtredéidéespar lethéorème5.2.2. Soit

x 0

^{laonditioninitialeimposéeàla}

solutionpour

t = 0

^;si

x 0 = 0

^{alors lasolution}

ϕ(t)

^{estune onstante nulle}

(onvoitque

ϕ(t) = 0

^{estune solutiondel'équation}diérentielle satisfaisant à la ondition initiale

ϕ(0) = 0

^{et 'est la seule par l'uniité). Supposons}

maintenant

x 0 6 = 0

^;pour

t

^voisinde

0

^,

x = ϕ(t)

^{estnonnulleparontinuité}

dela solutionetdon l'équationdiérentielle peuts'érire

dx x ² = dt,

d'oùpar intégration

− 1 x + 1

x 0

= t.

Ona don lasolutionexpliite

x(t, x 0 ) = x 0

1 − x 0 t .

^(5.2.3)

La solution est partout nonnulle. Le Théorème 5.2.1 stipule l'existene

dela solutionsurun intervalle temporel

] − τ, τ [

^ontenant

0

^ar

τ > 0

^{. On}

onstate qu'elle est dénie partout sauf pour

t = 1/x 0

^ar

x(t, x 0 ) → ∞

lorsque

t → 1/x 0

^{. Alors si}

x 0 > 0,

^{on a que}

I x 0 =] − ∞ , 1/x 0 [

^{(on ne peut}

pas avoir alors

I x 0 =]1/x 0 , ∞ [

^{ar et intervalle ne ontient pas le temps}

initial

t = 0

^{). Cequijustielagure3.7duours}

n ^o 3

^où

x(0) = x 0 = 1

^{. De}

manièreanalogue,

I x 0 =]1/x 0 , ∞ [

^si

x 0 < 0

^.

5.3 Résolution numérique des équations diéren-

tielles : méthodes à un pas

Onsupposel'existeneetl'uniitédelasolutionsurunintervalle

I 0 = [t 0 , t 0 +

T ]

^,

T

^{ni. Si et intervalle est onnu, 'est sur elui-i que l'on alule}

5.4 Méthodes à un pas, idées de base

Remarquonsquelasolutionduproblème(5.2.1)vériel'équationintégrale:

y(t) = y 0 + Z t

t 0

f (s, y(s))ds, t ∈ I 0 .

^(5.4.1)

Évidemment, dans

R ^m

^{, ette équation est à lire omposante par om-}

posante.

Quelle estl'idée desméthodes numériques derésolution ?

Étant donné une subdivision de l'intervalle

I 0

^{, soit}

t 0 < t 1 < · · · <

t _n < · · · < t _N = t 0 + T

^{, on herhe à déterminer des valeurs approhées}

y 0 < y 1 < · · · < y n < · · · < y N

^{des valeurs}

y(t n )

^pour

n = 1, 2, . . . , N

prisespar lasolution exate

y(t)

^auxtemps

t n

^{. Onnotera lespasde temps}

suessifspar

h n = t n+1 − t n , 0 ≤ n ≤ N − 1,

etpar

h max = max(h n )

^{lemaximumdespasde temps.}

N.B. : Rienn'interdit évidemment de prendredespastous égaux.

Onappelle méthode à un pas une méthode permettant de aluler

y n +1

àpartirde laseule valeurantérieure

y n

^.

On appelle méthode à

r

^{pas une méthode qui néessite, pour aluler}

y _n +1

^,lamémorisationdesrésultatsobtenusauxétapes

n, n − 1, . . . , n − r +1

^.

Toutes es méthodes utilisent l'équation (5.4.1) pour leur onstrution,

maisl'utilisation del'intégraleesttrèsdiérenteselonquel'ononstruitdes

méthodes àun pasouà

r

^pas.

5.4.1 Méthode d'Euler-Cauhy

Cette méthode est également dénommée méthode d'Euler progressive, ou

forward Euler method en anglais.

Supposonsdon

y n

^{onnue,omment aluler}

y n+1

^?

Onremarque que, d'après(5.4.1) ave

t 0 = t n

^{,on a :}

y(t) = y(t n ) + Z t

t n

f (s, y(s))ds, t n ≤ t ≤ t n+1 .

^(5.4.2)

Calulons numériquement l'intégrale par la méthode dite des retangles

à gauhe (voirours

n ^o 2

^{). Ona:}

Z t

t n

f (s, y(s))ds ≈ (t − t n )f (t n , y(t n )).

^(5.4.3)

Cetteintégrationnumérique(5.4.3)dutermeintégralede(5.4.2)implique

y(t) ≈ y(t n ) + (t − t n )f (t n , y(t n )),

^(5.4.4)

quiest l'équationde latangente àlaourbe intégrale solutionde (5.2.1)au

point

(t n , y(t n ))

^{. Onposealors,en supposant}

y n ≈ y(t n )

^,

y n +1 = y n + h n f (t n , y n ),

^(5.4.5)

'estlaméthoded'Euler-Cauhy.

L'algorithme est lesuivant : partant dela donnéeinitiale

y 0

^{,on alule}

y n

^{par réurreneen faisant}

y n +1 = y n + h n f (t n , y n )

t n+1 = t n + h n , 0 ≤ n ≤ N − 1.

^(5.4.6)

5.4.2 Dénition de la onvergene d'une méthode

Unequestionnaturelleestdesavoirsilasolutionalulée

y _n

^{paruneméthode}

donnée, représente une bonne approximation de

y(t n )

^{? C'est laquestion}

de la onvergene. De manière plus préise, pour

0 ≤ n ≤ N

^{, on dénit}

l'erreur de disrétisationpar :

e n = y(t n ) − y n ,

^(5.4.7)

etlaonvergene par :

Dénition 5.4.1. On ditque la méthode est onvergente si

h max lim →0 max

0≤n≤N k e n k = 0.

^(5.4.8)

Cettedénitionsupposequel'onprenne,trèsnaturellement,ommeon-

dition initiale

y 0

^{du shéma, laondition initiale}

y(t 0 )

^{de lasolution exate}

duproblème (attentionau faitque dans(5.2.1)on impose

y(t 0 ) = y 0

^{,e ne}

sont pas,strito sensu, lesmêmes

y 0

^).

La réponse à la question de la onvergene est réglée par les notions

d'erreurloaledetronature,deonsistaneetdestabilitéquenousdénirons,

dans un adre général au Paragraphe 5.5.1. Aux ns d'illustration, exam-

inonsd'embléelanotiond'erreurloaledetronature,etsonestimationpour

laméthode d'Euler-Cauhy qui,vusasimpliité, esttrès faileàétudier.

5.4.3 Erreur loale de tronature

Onditaussierreurloaledeonsistane oumêmeerreurdeohérene. Cette

notion est attahée au shéma onsidéré. Elle est dénie par l'erreur faite

lorsquel'onremplaedansleshémales

y n

^parles

y(t n )

^où

y(t)

^{estlasolution}

exatedu problème. Pour la méthode d'Euler-Cauhy, pour

0 ≤ n ≤ N − 1

ondénit don laquantité

ǫ _n = y(t _n +1 ) − y(t _n ) − h _n f (t _n , y(t _n )).

^(5.4.9)

Onremarque (subtilement !) eneet que:

y(t _n +1 ) = y(t _n ) + h _n f (t _n , y(t _n )) + ǫ _n

^(5.4.10)

sous ette forme on voit que la solution exate vérie le shéma d'Euler-

Cauhy(5.4.6)demanièreapprohéeà

ǫ n

^{près. Cettequantité}

ǫ n

^estappelée

erreur loale detronature pour laméthoded'Euler-Cauhy.

Estimons-la en utilisant une version plus élaborée de la formule de la

moyenne vueau oursno 2.

Proposition5.4.1. Soit

ω ≥ 0

^{unefontionintégrablesur}l'intervalle

]α, β[

^,

'est-à-dire supposons que l'intégrale

R β

α ω(x)dx

^{existe. Alors, pour toute}

fontion

f ∈ C ⁰ ([α, β])

^{, il existe}

ξ ∈ ]α, β[

^{tel que}

Z β

α

f (x)ω(x)dx = f (ξ) Z β

α

ω(x)dx.

^(5.4.11)

Supposonsque

y

^{soitunpeuplusrégulièreque}

C ¹

^,àsavoir

y ∈ C ² (I 0 ; R ^m )

^.

Undéveloppement deTaylorà l'ordre 2de lafontion

y

^{entraîne que}

y(t n+1 ) = y(t n ) + h n y(t ˙ n ) +

Z t n+1

t n

(t n+1 − s)¨ y(s) ds,

^(5.4.12)

etpuisque

y(t ˙ n ) = f (t n , y(t n ))

^ar

y(t)

^{est la solution exate du problème,}

ilvient d'après(5.4.9):

ǫ n = Z t n+1

t n

(t n+1 − s)¨ y(s) ds.

^(5.4.13)

La Proposition 5.4.1, ave

ω(s) = t n+1 − s

^{(notons que}

ω(s) ≥ 0

^pour

s ∈ [t n , t n +1 ]

^{),entraine l'existene d'un}

θ n

^{tel que:}

ǫ n = h ² _n

2 y(θ ¨ n ), t n < θ n < t n +1 .

^(5.4.14)

Introduisonslanotation usuelle suivante :

Notation de Landau :

f

^{est en}

O(ϕ)

^{ondit que}

f

^{esten grand}

O

^de

ϕ

^{,s'ilexiste une fontion}

g

^telleque

f (x) = g(x)ϕ(x)

^{où lafontion}

g

^est

bornée.

L'erreur loalede tronature estdon en

O(h ² _n )

^.

Remarque 5.4.1. Nous dénirons au Paragraphe 5.5.5 la notion d'ordre

p

^{quelonque d'une méthode. Nous verrons qu'une méthode est au moins}

d'ordre 1 sietseulement sielleest onsistante. Cesdeux notionsde onsis-

5.4.4 Une deuxième méthode d'intégration à un pas

Soittoujoursl'équation(5.4.2),onalulemaintenantl'intégraleparlaméth-

ode dite desretangles àdroite (voirours no 2),tout aussilégitimes que

euxà gauhe !,alors

Z t t n

f (s, y(s))ds ≈ (t − t n )f (t n+1 , y(t n+1 )).

^(5.4.15)

Dès lorson obtient leshéma

y n+1 = y n + h n f (t n+1 , y n+1 ), 0 ≤ n ≤ N − 1.

^(5.4.16)

C'estlaméthoded'Eulerimpliite,ouméthoded'Eulerrétrograde(bak-

ward Eulermethod). Cetteméthode présentedesdiérenesfondamentales

(etun peu inattendues malgréune apparente similitude d'ériture), ave la

méthoded'Euler-Cauhyexpliite. Dans(5.4.16),

y n+1

^{estdonnéeimpliite-}

ment ('est-à-dire non diretement, non expliitement). À haque pas de

temps lealulde

y n +1

^{dans(5.4.16), ne peutsefaire quepar l'usaged'une}

méthodede résolutiond'uneéquationnon-linéairedans

R ^N

^dutypeNewton

(voiroursno 1);elas'avèrebeauoupplusoûteuxquelealuldiretde

y n +1

^dans(5.4.6)!

L'erreur de tronature pour le shéma d'Euler rétrograde est toutà fait

semblable à elle du shéma d'Euler-Cauhy, elle est aussi en

O(h ² _n )

^(voir

livre).

5.5 Méthodes à un pas, formulation générale

5.5.1 Formulation générale des méthodes à un pas

Nousdénironstoutes les méthodes àun paspar :

y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n ; h n ),

y 0

^{donné dans}

R ^m ,

^(5.5.1)

où

Φ

^{estune fontionontinue de}

I 0 × R ^m × [0 , h 0 ]

^dans

R ^m

^{quine dépend}

quede

f

^.

Notons quepour laméthode d'Euler-Cauhy ona

Φ(t n , y n ; h n ) = f (t n , y n ),

lafontion

Φ

^estindépendantede

h n

^{. En}partiulier, eseraimportant pour lasuite,

Φ(t n , y n ; 0) = f (t n , y n )

^.

Remarque5.5.1. Comme

f

^{estsupposéeontinueen}

(t, y) ^T

^{(voirlethéorè-}

me d'existene et d'uniité), la ontinuité imposée à

Φ

^{est naturelle. La}

formulation proposée doit au moins être ohérente ave la méthoded'Euler-

Soit

y(t)

^{lasolutionduproblème(5.2.1). Remplaçonsdansleshémales}

y n

^{par les}

y(t n )

^,pour

0 ≤ n ≤ N − 1

^{onintroduit ainsilaquantité}

ǫ n = y(t n+1 ) − y(t n ) − h n Φ(t n , y(t n ) ; h n ),

^(5.5.2)

quel'onappelle(lanotionadéjàétéintroduitepourdesshémaspartiuliers

à la setion préédente) l'erreur loale de tronature (à l'instant

t n

^{) de la}

méthode (5.5.1). Cetteerreur dépend du

Φ

^hoisi.

Onérit(enore subtilement !) (5.5.2)sous laforme:

y(t n+1 ) = y(t n ) + h n Φ(t n , y(t n ) ; h n ) + ǫ n ,

^(5.5.3)

qui montre que la solution exate

y(t)

^{apparait omme étant solution du}

shéma à un pas(5.5.1) perturbé. La quantité

ǫ n

représente, en un ertain sens,l'erreur quel'on fait, à l'instant

t _n

^{, en remplaçant l'équationdiéren-}

tielle par leshéma.

5.5.2 Dénition de la onsistane (globale)

Onintroduit lanotionfondamentale suivante :

Dénition 5.5.1. La méthode (5.5.1) est onsistante ave l'équation dié-

rentielle (5.2.1) si pour toute solution

y(t)

^{de l'équation}

P N −1

n =0 k ǫ _n k → 0

lorsque

h max → 0

^.

Cette dénition signie que la somme des mesures des erreurs loales

de tronature est négligeable dès que

h max

^{est assez petit. À première vue}

'est une propriété qui semble peu faile à vérier, ar il existe un onit

entre

h max

^et

N

^{: lorsque}

h max → 0

^,

N → ∞

^{etlasomme deserreurs peut}

augmenter indéniment a priori. La question est don de savoir quel est le

omportement prépondérant :

h max → 0

^ou

N → ∞

^?

5.5.3 Dénition de la stabilité

Une autrenotion fondamentale estla suivante

Dénition 5.5.2. La méthode (5.5.1) est stable s'il existe une onstante

M > 0

^,indépendantede

h _n

^{,telleque pourtoutessuites}

y _n

^,

z _n

^et

η _n

^vériant

y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n ; h n ),

etle shéma perturbé suivant:

z n+1 = z n + h n Φ(t n , z n ; h n ) + η n

^(5.5.4)

on ait:

0≤n≤N max k y n − z n k ≤ M( k y 0 − z 0 k +

N−1

X

n=0

k η n k ).

^(5.5.5)

La onstante

M

^{estdite laonstante de stabilité du shéma.}

Cette notion de stabilité implique qu'une petite perturbation sur les

donnéesn'entraîne qu'une petite perturbation surlasolution - ei même

lorsque

h max → 0

^{etqu'ainsileserreursd'arrondis'aumulent indéniment}

-. Enpratique,etteonditionestabsolumentessentielleenraisonjustement

deserreurs d'arrondiinhérents auxalulssur ordinateuret quiperturbent

inévitablementlaméthode. Unshémainstableneprésenteraitauunintérêt

pratique.

5.5.4 Théorème fondamental

Dèsque laméthode estonsistante etstableelle est onvergente

Théorème 5.5.1. Si une méthode est onsistante et stable elle est onver-

gente.

Preuve : Elleestpresqueimmédiate,ilsut d'érirelesdénitions. Soient

les notations préédentes. Posons dans (5.5.4), pour tout

n

^,

z n = y(t n )

^et

η n = ǫ n

^{. L'équation (5.5.4) devient l'ériture (5.5.3) de l'erreur loale de}

tronature pour tout temps

t n

^{! Si la méthode (5.5.1) est onsistante on}

a

P N−1

n=0 k ǫ n k → 0

^lorsque

h max → 0

^{. Reprenons maintenant la Dénition}

(5.4.7)de l'erreur

e n

^{,ilvient :}

0≤n≤N max k e n k = max

0≤n≤N k y(t n ) − y n k

^(5.5.6)

d'où,tenu ompte de ladénitionde lastabilitépar larelation (5.5.5),

0≤n≤N max k e n k≤ M( k y 0 − z 0 k +

N−1

X

n=0

k ǫ n k ).

^(5.5.7)

Si

y 0 = y(t 0 )

^{-'esttoujoursequel'onprend! -,letermedesommation}

tendant vers zéro lorsque

h max → 0

^{par la dénition de la onsistane, le}

seond membre de (5.5.7) tend don vers

0

^ave

h max

^{. La onvergene est}

démontrée d'aprèslaDénition 5.4.1.

5.5.5 Dénition de l'ordre d'une méthode

Pouromparerlapréisiondesméthodesentreelles,ilestnéessaired'introduire

lanotion d'ordre.

Alorson pose ladénitionsuivante :

Dénition 5.5.3. On appelle ordrede la méthode à un pas

y n+1 = y n + h n Φ(t n , y n ; h n ),

leplus grand entier

p

^{pour lequel,lorsque}

h → 0

y(t + h) − y(t) − hΦ(t , y(t) ; h) = O(h ^{p +1} ),

^(5.5.8)

eipourtoutefontion

f

^quiest

p

^{ontinûmentdérivablesi}

m = 1

^(diéren-

tiablesi

m > 1

^{)et toutesolution}

y

^{de(5.2.1). La méthode est onsistante si}

elle est d'ordre

p ≥ 1

^.

Ona vuque, pour laméthode d'Euler-Cauhy,on a

y(t n+1 ) − y(t n ) − h n Φ(t n , y(t n ) ; h n ) = O(h ² _n ),

laméthode d'Euler-Cauhy est d'ordre 1. Supposonsles pastous égaux,la

notiond'ordre1veutdirequesiondiviselepaspar2,l'erreurseraseulement

diviséepar 2 ;ela impliquede devoir utiliserdespas de temps petits pour

avoirunepréisionsatisfaisantedanslessimulationsnumériqueset,don,de

lesrendreoûteuses. Ilparaitdonutiled'utiliserdesméthodesd'ordreplus

élevé (les méthodes de Runge-Kutta répondent à et objetif) (voir livre).

Il faut bien noter quesi l'erreur loale de tronature est en

O(h ² _n )

^,l'erreur

dedisrétisationdelaméthodeen toutpointdedisrétisationde l'intervalle

I 0

^,esten

O(h max )

^{- onrappelle que}

h max = max(h n )

^.

5.6 Conditions de onsistane et de stabilité

Tousles théorèmes i-dessoussont démontrés danslelivre.

5.6.1 Condition néessaire et susante de onsistane

Soit

m = 1

^{. Uneonditionnéessaireetsusantedeonsistaneestdonnée}

par le

Théorème 5.6.1. Uneméthode à unpas est onsistante siet seulement si

∀ (t, y) ∈ I 0 × R Φ(t, y, 0) = f (t, y).

^(5.6.1)

Les deux méthodes à un pas déjà vues sont onsistantes. Par exemple,

omme nous l'avons noté, la méthode d'Euler-Cauhy vérie, par onstru-

tion, laondition

f (t, z(t)) = Φ(t, z(t) ; 0)

^{,elle est don} onsistante.

MaintenantonpeutrépondreàlaquestionposéeaprèslaDénition5.5.1.

Silaondition

Φ(t, y, 0) = f (t, y)

^estsatisfaite, alorslaonsistaneestvraie.

5.6.2 Condition susante de stabilité

On se plae toujours dans le adre

m = 1

^{. Le théorème d'existene et}

d'uniitéd'unesolutiondu problèmeontinuestvraisousunehypothèsede

lipshitzitésur

f

^{. Ilsemble} raisonnable,d'aprèslaonditionde onsistane,

d'imposeraussiuneonditiondelipshitzitéàlafontion

Φ

^{. Lefaitquipeut}

paraître surprenant 'est qu'une telle ondition suse à assurer la stabilité

dela méthode.

Ona lethéorèmede stabilité suivant :

Théorème 5.6.2. Pour qu'une méthode à un pas soit stable il sut que la

fontion

Φ

^soitlipshitzienneen

y

^,'est-à-direqu'ilexisteuneonstante

Λ >

0

(indépendantedupas,dutempsetdelasolution) telleque

∀ t ∈ [t 0 , t 0 +T ]

^,

∀ y 1 , y 2 ∈ R

^,

∀ h ∈ R

^{on ait}

| Φ(t, y 1 , h) − Φ(t, y 2 , h) | 6 Λ | y 1 − y 2 | .

^(5.6.2)

Onpeutonluremaintenant surlaonvergene delaméthode d'Euler-

Cauhy. Nous savons qu'elle est onsistante ar sa fontion

Φ

^{vérie la}

relation

Φ(t, y, 0) = f (t, y)

^{. Préisément on a}

Φ(t, y, h) = f (t, y)

^{pour tout}

h

^et

t

^;lafontion

f

^étant lipshitzienne en

y

^{pour tout}

t

^(voir l'hypothèse (5.2.2)) lafontion

Φ

^l'estaussi indépendamment de

h

^et

t

^,'est-à-direque larelation(5.6.2)estsatisfaite;laméthoded'Euler-Cauhyestdon stable.

Ononlut par leThéorème 5.5.1 :

Théorème 5.6.3. La méthode d'Euler-Cauhy est onvergente.