3 e année de Liene de Sienes de la planèteTerre

Mathématiques

appliquées et numériques

Liene 3, Dpt Géosienes

Année 2011-2012, 2e semestre

Présentation synthétique du ours

Janvier Juin 2012

Cours donné en

3 ^e

année de Liene de Sienes de la planèteTerre

par Mihael Ghilet Jean Roux

TD par Mohamadou Diallo

Éole normalesupérieure, Paris

3.1 Introdution

Les équations diérentielles ordinaires (EDO) permettent de dérire lelien

entre une fontion et ses dérivées, en partiulier la dérivée première qui

représente letaux dehangement ou enorelavéloité :

d

x

d

t = f (x), soit x(t) = Z t

t 0

f (ξ)

^d

ξ,

quiest uneprimitive de

f

^{qui s'annuleen}

t 0

^.

Quel quesoit

t ₀

^,lafontion

t → R t

t 0 f (ξ)

^d

ξ

^{,est uneprimitive de}

f

^{. Pour}

etteraisonondésigneparlesymbole

R f(ξ)

^d

ξ

^{uneprimitivequelonquede}

f

^{,qui s'appelle aussiune intégrale indénie de}

f

^.

Leséquationsdiérentiellesordinairespeuventêtrelinéairesounonselon

lanaturede

f

^{. Ellessontparfoisappeléeséquations}diérentiellesordinaires salaires (resp. vetorielles) pour indiquer que le seond membre

f (x)

^est

à valeursdans

R

^(resp.

R ⁿ

^{). L'ordre du système désigne l'ordre de la plus}

hautedérivée de l'équation. Ii on a aaireà une équationd'ordre un. On

peuttoujoursrameneruneéquationdiérentiellesalaired'ordre

n

^àunsys-

tèmed'équations(i.e. uneéquationvetorielle) d'ordreun-voirparagraphe

3.5.

La fontion

f

^{n'est pas forément donnée de façon analytique dans les}

appliations, elle peutn'être donnéequenumériquement en ertains points.

3.2 Exemples d'équations diérentielles ordinaires

Une telleEDOest une équationd'évolution eton note

d

x/

^d

t ≡ x. ˙

Onditqueletemps

t

^{estlavariable}indépendanteet leproblèmeàrésoudre estunproblèmeauxonditionsinitialessi

f ∈ R ⁿ

^{(voirlaFigure3.1si}

f

^est

une fontionsalaire).

Deux exemples simples sont donnés par les équations suivantes, munies

dela onditioninitiale

x(0) = 1

^:

˙

x = x ⇒ x(t) = e ^t

˙

x = ax ⇒ x(t) = e ^at

La solutionde lapremière équation estmontrée àla Figure3.2.

PSfragreplaements

x

t

Figure3.1: Problèmeauxonditions

initiales.

0 0.5 1 1.5 2

−2 −1 0 1 2

PSfragreplaements

t x

Figure 3.2: Fontion exponentielle

solutionde

x ˙ = x

^.

Defaçon plus générale,si onimpose

x(0) = x ₀

^{,ona :}

x(t) = x ₀ e ^at .

CetypedeproblèmeàvaleurinitialeestappeléproblèmedeCauhy,ave

uneéquationdiérentiellesalaire(resp. vetorielle)etuneonditioninitiale

salaire (resp. vetorielle). Pour le problème de Cauhy, les questions qui

seposent,pour unefontion

f

^{générale,onernent toutd'abord l'existene}

etl'uniité de lasolution. Par haque point

(t, x) = (t ₀ , x ₀ )

^{passe -t-il une}

et une seule solution ? Une autre question intéressante est la question de

la régularité des solutions et de la dépendane des solutions vis-à-vis des

paramètres.

Dans les as présentés i-dessus le temps n'entre pas de façon expliite

dans l'ériture du seond membre de l'équation. Ce sont des systèmes au-

tonomes. Si le temps rentre expliitement dans l'équation - dite alors non

autonome-,etque l'ona unparamètre

µ

^{,l'équationdevient:}

˙

x = f (x, t; µ).

Dans lasuite dee ours onva généraliserdansdeux diretions:

•

^{leasnon linéaire ;}

•

^{leasdessystèmes} d'équationsdiérentielles (

x ∈ R ⁿ

^).

3.3 Comportements des solutions

3.3.1 Stabilité

On présente ii de façon intuitive, sans donner de dénition, la notion de

stabilité.

Dans leasdeséquations préédentes, dutype

x ˙ = ax

^,pour

a > 0

^:

t → lim + ∞

x(t) = ±∞,

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 x

t 0

−5

−10

0

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5

x

t

−5

−10

Figure3.3: Comportementinstablepour

a > 0

^{(guregauhe)etstablepour}

a < 0

^{(gure droite). Les solutions pour}

x ₀ > 0

^{sont entraits pleins, elles}

pour

x ₀ < 0

^{sont en} pointillés.

selonque

x ₀ > 0

^ou

x ₀ < 0

^{. Le}omportement de ettesolutionestinstable.

Pour

a < 0

^{,que l'onait}

x 0 > 0

^ou

x 0 < 0

^,

t → lim + ∞

x(t) = 0;

leomportement deette solution eststable.

Si

x ₀

^{n'est pasonnuexatement, maisquel'on a}

x ˆ ₀ = x ₀ + ǫ

^,

x(t) = ˆ x 0 e ^at

x(t) = x ₀ e ^at + ǫe ^at .

Si

a > 0

^{alors, même ave}

ǫ

^{petit, on nira loin de la solution reherhée.}

Par ontresi

a < 0

^{on trouvera unesolution prohe. Ainsilastabilitéa des}

onséquenessurl'exatitude dessolutions. Ces deux assontdépeints àla

Figure3.3.

Enn dansle as présenté jusqu'ii les solutions existent, sont uniques,

lisses('est-à-direqu'elles sont dans

C ^∞

^),pourtout

t

^.

3.3.2 Osillations purement périodiques

Ave un système de deuxéquations desosillations peuvent apparaître. En

méanique 'estleasde l'osillateur harmonique. Dans e as

˙

y = x

˙

x = −y.

^(3.3.1)

En dérivant une seondefois

x ˙

^onobtient

¨

x = − y ˙ = −x,

soit uneéquation salaire duseond ordre:

¨

x + x = 0.

0

0 4 8 12 16

1

−1

PSfragreplaements

x

t

Figure 3.4: Les solutions de

x ¨ + x = 0

^:

sin t

^{(en trait plein) et}

cos t

^(en

pointillés).

Une solution deette équation est:

x ₁ (t) = cos t, et alors y ₁ = − x ˙ ₁ = sin t.

^(3.3.2)

Ononstate qu'une autresolution possible est

x ₂ (t) = sin t, et alors y ₂ = − x ˙ ₂ = − cos t.

^(3.3.3)

La solutiongénérale estde laforme

x(t) = C ₁ x ₁ (t) + C ₂ x ₂ (t) = C ₁ cos t + C ₂ sin t.

^(3.3.4)

Ononstate que

y(t) = − x(t) = ˙ C ₁ sin t − C ₂ cos t

^(3.3.5)

Lesonstantes

C ₁

^et

C ₂

^{sontdonnéesparlaonditioninitiale}

{(x(0), y(0) =

− x(0))} ˙

^{. La solution}

x(t)

^{estpériodique de période}

2π

^.

L'unedessolutionsestendéphasagede

π/2

^{parrapportàl'autre,onpeut}

lesvoir àla Figure3.4. Les deuxsolutions sont enquadrature de phase:

x ₁ t + π

2

= x ₂ (t).

Plus généralement soitle système

˙

y = ωx

˙

x = −ωy,

lessolutions sont :

x(t) = cos(ωt) y(t) = sin(ωt).

La période delasolution du systèmeestalors

2π/ω

^.

PSfragreplaements

t = π t = 0

t = ^3π ₂

Figure3.5: Diagrammedephasedes

solutions de(3.3.1).

PSfragreplaements

ε

Figure 3.6: Stabilité neutre des so-

lutions de l'équation (3.3.1) dans

l'espaedes phases.

L'ensemble des états de la solution d'une EDO est appelé espae des

phases. En deux variables, il est faile de traer sur un graphique, pour

une onditioninitialedonnée, une omposantede lasolution en fontionde

l'autreen partant delaondition initiale. Cetype de graphiqueest dansle

plan des variables indépendantes, également appelé plan des phases. C'est

un diagramme de phase - Figure 3.5 -. Dans notre as 'est l'espae des

variables

{(x, y)}

^.

Considéronsleas

ω = 1

^{. Supposonsquel'onimposelaonditioninitiale}

x(0) = r

^et

y(0) = 0

^{. On sait que, d'après (3.3.4), quela solution générale}

est

x(t) = C ₁ x ₁ (t) + C ₂ x ₂ (t) = C ₁ cos t + C ₂ sin t

^,

x(0) = r

^implique

C ₁ = r

^.

Comme(voir(3.3.5))

y(t) = C ₁ sin t − C ₂ cos t

^,

y(0) = 0

^entraîne

C ₂ = 0

^{. La}

solutionest don

x(t) = r cos t

^,soit

y(t) = r sin t

^{,etparonséquent ona :}

(x(t)) ² + (y(t)) ² = r ² ,

r

^{dépendant donde laonditioninitiale. La guredu diagrammede phase}

est un erle de rayon

r

^{, visible à la gure 3.5. On voit qu'il s'agit d'un}

mouvement périodique, l'orbite est fermée, ar

x ² (t + T ) + y ² (t + T ) = x ² (t) + y ² (t)

^ave

T = 2π

^ou

T = 2π/ω

^{dans les deux aspréédents, dans}

leplandesphases. Ce sontdes osillationspurement périodiques.

Conernant lastabilité, onremarquequ'ave uneonditioninitialeinex-

ate, soit

x(0) = r + ε

^et

y(0) = 0

^{, on obtient un erle de rayon}

r ˜ = r + ε

diérent. Il s'agit d'unestabiliténeutre, illustréepar laFigure3.6.

3.3.3 Osillations quasi-périodiques

Danse asonaplusieurspériodes

ω ₁

^,

ω ₂

^tellesque

ω ₁ /ω ₂ ∈ / Q

^{. C'estleas}

delaméanique éleste,etela expliquequel'on n'ait jamaisexatement la

même onjonture, unfait déjà onnu par les ivilisations aniennes d'Asie

etd'Amérique. Il fautau minimum3équations diérentiellesautonomesde

premierordre pour avoire omportement.

3.3.4 Comportement haotique

Tous les systèmes préédents sont dits déterministes : si la ondition ini-

tialeest donnée, lasolution est onnue ou alulable de façon préditible à

partirde etteondition. Maisilexiste dessystèmes déterministessensibles

aux onditions initiales tels qu'une très faible erreur surla donnéeentraîne

desomportements impréditibles. C'est lehaos déterministe - modèlede

Lorenz.

3.3.5 Explosion en temps ni

Les systèmes linéaires à oeients onstants ont des solutions régulières

pour tout

t

^{réel, en partiulier elles sont}

C ^∞

^{. Si on regarde une équation}

diérentielle non linéaire simple, on peut obtenir des omportements plus

problématiques. Ononsidère

˙

x = x ² , x(0) = 1,

lasolutionest

x(t) = 1 1 − t ,

et don

lim _t → 1 ₋ x(t) = +∞

^{. On reviendra sur ette équation au ours no}

5,paragraphe 5.2.2. Danse ason ditqu'il yaexplosionen temps ni,en

eetonadesvaleursinniesdelasolutionpour

t

^{ni. Aausedelaprésene}

deettesingularitéonnepeutpasontinuerlasolutionau-delàde

t = 1

^{. La}

durée devie delasolution n'est pastoutl'intervalle

] − ∞, ∞[

^{(Figure 3.7).}

Dansleasdessystèmeslinéaires àoeientsonstantsladuréedevie est

innie. Lessystèmespour lesquelsetteduréedevie estinniesont appelés

omplets.

Un autre problème similaire est la perte de dérivée. Dans e as les

solutionsnesontpas

C ^∞

^{,ilpeutyavoirdes}singularitésdetypedisontinuité, isaillement.

3.4 Présentation intuitive de la notion de hamp de

veteurs et ourbe intégrale

La terminologie hamp de veteurs est elle utilisée par les spéialistes des

systèmes dynamiques. Comme les systèmes dynamiques sont omniprésents

danslesgéosienesettenotion,quipeutsemblerunpeuabstraitedeprime

abord, doitdevenir usuelle.

Considérons unefontion

g

^{déniesurun ouvert}

U ⊂ R ⁿ

^{àvaleursdans}

R ⁿ

^{etl'équation} diérentielle

y(t) = ˙ g(y(t))

^{. Si}

ϕ

^{estune solution, au point}

(t, ϕ(t))

^dugraphede

ϕ

^{onpeutassoierlesomposantesduveteur vitesse}

˙

ϕ(t) = g(ϕ(t))

^{. À haque point du graphe on assoie don une diretion}

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15

−1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

PSfragreplaements

t

Figure 3.7: Explosion en temps ni pour

t = 1

^{, pour lasolution de}

x ˙ = x ²

satisfaisant à laonditioninitiale

x(0) = 1

^.

Figure 3.8: Champ de veteurssurun domaine de

R ²

^.

donnéepar les omposantes de

g(ϕ(t))

^{qui apparaît omme un veteur. Le}

seondmembre

g

^{de l'équation} diérentielle estdon un hampde veteurs dépendant de

t

^.

Par exemple soitlesystème endimension deux

y ˙ ₁ (t) = g ₁ (y ₁ (t), y ₂ (t))

˙

y ₂ (t) = g ₂ (y ₁ (t), y ₂ (t))

^(3.4.1)

le hamp de veteurs (Figure 3.8) assoié est le hamp de veteurs

g = (g ₁ , g ₂ ) ^T

^,généralement noté

X

^.

La dénition d'un hamp de veteurs, dans un sens moins élémentaire,

néessite un outillage mathématique hors programme. Ces notions sont

développées dansles ompléments en lignedu livre.

Onpeutmaintenant dénirlaourbeintégrale d'unhamp deveteurs.

Dénition 3.4.1. Soit X un hamp de veteurs à valeurs dans un ouvert

U ⊂ R ⁿ

^{, la solution}

ϕ(t)

^{de l'équation} diérentielle

x ˙ = X(x) dϕ

dt (t) = X(ϕ(t))

^(3.4.2)

estune ourbe diérentiable, déniesurunintervalleouvert

I ⊂ R

^àvaleurs

dans

U

^{. C'est la ourbe intégrale du hamp de veteurs (ou de l'équation}

diérentielle).

3.5 Formulation générale du problème ontinu

Rappelons qu'une fontion

f

^{est ditede lasse}

C ^k

^{si elle admetdes dérivées}

partiellesontinues jusqu'àl'ordre

k

^.

Considérons unouvert

U

^de

R ^1+pℓ+m = R × R ^p × · · · × R ^p × R ^m

^etune

appliation

F

^delasse

C ^k

^de

U

^{àvaleursdans}

R ^p .

^{Onpeutassoier àette}

appliation une équationdiérentielle

ϕ ^(ℓ) = F (t, ϕ(t), · · · , ϕ ^{(ℓ − 1)} (t), µ),

^(3.5.1)

où

ϕ(t),

^{appeléesolutionde(3.5.1),estunefontionvetorielledéniesurun}

intervalle ouvert

I,

^{à valeursdans}

R ^p

^et

ℓ

^foisdiérentiable,

ϕ ^(s) = d ^s ϕ/dt ^s

pour

1 ≤ s ≤ ℓ

^{, et}

µ

^{est un paramètre dans}

R ^m

^{. En} introduisant les om- posantes sur

R ^p ,

^l'équation (vetorielle) (3.5.1)estéquivalenteà unsystème diérentiel de

p

^{équations en dimension}

1

^{('est une} terminologie anienne;

nous parlerons plutt d'équation diérentielle en dimension

p

^{, omettant le}

qualiatifde vetorielle).

Dénition3.5.1. Lenombre

p

^{estladimensionde}l'équation. Onditqu'elle est d'ordre

ℓ

^{pour indiquer l'ordre maximum de} diérentiabilité (en parti- ulier l'équation diérentielle d'un hamp de veteurs est d'ordre

1

^{par dé-}

nition). Si

F

^{ne dépend pas du temps}

t

^{(dépendane triviale !) on dit que}

l'équation est autonome. Une équation nonautonomeest don une équation

dépendant non trivialement du temps. Enn

µ

^{désigne un système de}

m

paramètres (le nombre

m

^{dépend du modèle, il se peut même que}

m = 0

^).

Pour haque valeur de

µ

^{on a don une équation} diérentielle et lorsque l'équation dépend non trivialement d'un paramètre, on dit souvent que l'on

a aaire à une familled'équations diérentielles.

Nousallonsmontrerqu'uneéquationdiérentiellegénéraledutype(3.5.1)

se ramène toujours formellement à l'équation diérentielle d'un hamp de

veteurs

X

^, 'est-à-dire à un système d'équations diérentielles d'ordre

1

^.

Ce hamp

X

^est généralement non linéaire, maisil peut être onstruit au- tonome et sans paramètres. Il sut pour ela de rajouter des variables

supplémentaires dans l'espae d'arrivée de la fontion inonnue, ainsi que

deslignessupplémentairesd'équation. Préisémenton introduitunsystème



 

 

 

 



 

 

 

 



dt

dτ = 1

dµ

dτ = 0

dϕ 0

dτ = ϕ ₁

dϕ ¹

dτ = ϕ ₂

.

.

.

dϕ ℓ

− 1

dτ = F (t, ϕ ₀ , ϕ ₁ , · · · , ϕ _ℓ − 1 , µ)

(3.5.2)

où

ϕ 0

^{jouele rlede l'inonnue initiale}

ϕ

^dans(3.5.1).

Cetteéquationdiérentielle(3.5.2)estelled'unhampdeveteurs

X = (1, 0, ϕ ₁ , ϕ ₂ , · · · , ϕ _l − 1 , F ) ^T

^{sur l'ouvert}

U

^{,etl'équation (3.5.1)s'érit}

dψ

dτ (τ ) = X(ψ(τ )),

^(3.5.3)

Il y a une orrespondane biunivoque entre les ourbes intégrales de

(3.5.2)etlessolutions de(3.5.1). Eneetsi

ϕ(t)

^{estunesolutionde(3.5.1),}

ilestimmédiatdevoirque

ψ(τ ) = (τ, µ(τ ), ϕ(τ ), ϕ ⁽¹⁾ (τ ), · · · , ϕ ^{(ℓ − 1)} (τ )) ^T

^est

uneourbeintégralede(3.5.2). Inversement si

ψ(τ )

^{estune ourbeintégrale}

de(3.5.2),

t = τ

^{àuneonstanteadditive près,}

µ(τ )

^{estonstant,etlaom-}

posante

ϕ ₀ (t)

^{estsolutionde(3.5.1),arlesomposantes}

ϕ i

^{sontlesdérivées}

suessivesde

ϕ ₀

^{enraison desdernièreslignesde (3.5.2)àl'exeption dela}

toute dernière, enn la substitution de es fontions dans la dernière ligne

donne préisément l'équation(3.5.1).

En faitil sutdon de onsidérer seulement leasautonome etun sys-

tème du premier ordre ar on peuttoujours s'yramener. En reprenant les

notations usuelles il sut don de onsidérer, au lieu de (3.5.1) l'équation

diérentielle autonome :

dx

dt = X(x),

^(3.5.4)

où

X

^{estunhampde veteursautonome déni dans}

R ⁿ

^{à valeursdans}

R ⁿ

ave

n = 1 + pℓ + m

^{. C'est lanotation} géométrique utiliséedans lathéorie des systèmes dynamiques. On utilise indiéremment, dans e qui suit, la

notation

X

^{de hamp de veteurs ou lanotation lassique}

f

^{pour désigner}

un système d'équations diérentielles d'ordre un. Dans le adre

R ⁿ

^dans

lequelnousnousplaçons es notationssont équivalentes.