3 e année de Liene de Sienes de la planèteTerre

Mathématiques

appliquées et numériques

Liene 3, Dpt Géosienes

Année 2011-2012, 2e semestre

Présentation synthétique du ours

Janvier Juin 2012

Cours donné en

3 ^e

année de Liene de Sienes de la planèteTerre

par Mihael Ghilet Jean Roux

TD par Mohamadou Diallo

Dixième ours

Équations diérentielles salaires non linéaires.

Bifurations de points xes. Bifuration de Hopf.

Dansleours6nousavonsétudiéleomportement dessystèmesd'EDO

salaires non linéaires au voisinage de leurs points xes. Ce omportement

estliéauspetredulinéarisédeessystèmesauxpointsritiquesonsidérés.

Lanotiondestabilitéaétéintroduiteetelleapermisunlassement dutype

de point ritiqueauquel on a aaire (noeud, entre, point ol, foyer). Dans

le ontexte de la théorie des systèmes dynamiques on appelle bifuration

un hangement qualitatif dans la dynamique du système, omme la perte

d'uniité ou de la stabilité d'une solution, lorsqu'un paramètre du système

varie. C'est un phénomène fréquent et important en sienes de la planète

etde lavie,qui a lieu dèsquedesrétroations non linéairessont présentes.

Ceours traitant desbifurationsne onstituequ'une introdution au sujet

: nousprésenterons rapidement etsimplement quelques notions lefs de es

phénomène. Ce dixième ours est très lié au ours 6, dont il utilise les

dénitionsetméthodesassoiéesà lastabilitédespointsxes.

10.1 Bifurations de solutions stationnaires

Il s'agit d'étudier omment le nombre de points xes, ainsi que leurs pro-

priétés de stabilité, peuvent hanger en fontion de la valeur d'un ou des

paramètres. Pourelailsutd'étudierunertainnombredeformesanon-

iques.

10.1.1 Bifurations de ol

L'exempleleplus simple est:

˙

x = µ − x ² , µ ∈ R .

La méthode d'étude présentée au paragraphe 6.4.1 en dimension deux,

permetaussid'étudier e systèmeen dimension un:

1. Reherhe des pointsritiques. Si

µ − x ² = 0

^alors

x _± = ± √ µ

^{,e qui}

donnedeuxpointsritiquespour

µ > 0

^,unseul(

x = 0

^)pour

µ = 0

^et

pasdepointritiquepour

µ < 0

^{. Onadonunpointdebifurationen}

(x = 0, µ = 0)

^{,puisquesubitementenepointleproblèmepassed'une}

absened'équilibresà deuxéquilibreslorsque

µ

^{traverse lavaleur zéro}

danslesensdes

µ

^roissants.

2. Stabilitédes pointsritiques. Pour étudierlastabilitédessolutionson

va de nouveau faire une approximation du premier ordre autour des

points ritiques. Pour l'équilibre

x +

^nousaurons

(x + ˙ + ξ) = µ − (x + + ξ) ² ,

e qui donne, en substituant la valeur de

x +

^{et négligeant les termes}

d'ordre

O(ξ ² )

^{(on rappelle quela notation de Landau}

O

^{a été dénie}

auparagraphe 5.4.3),

ξ ˙ = − 2 √ µξ.

Par laDénition 6.4.1de lastabilité, lepoint

x +

^eststablear

ξ(t) = ξ 0 e ^{− 2 √ µt} → 0

^pour

t → + ∞

^{, où}

ξ 0 = x 0 − x +

^ave

x 0 = x(0)

^{. Il}

est lair que

x +

^{, par ladénition 6.4.2, est même} asymptotiquement stable. Le même proédé appliqué à

x ₋

^montre immédiatement qu'il estinstable.

PSfrag replaements

x x 0 x +

µ _∗ µ

x ₋

Figure 10.1: Points ritiques

x ₋

^et

x +

^{en fontion du paramètre}

µ

^{. La}

branhe

x + = √ µ

^{eststableettraéeenontinu,l'autreestinstableettraée}

en pointillés. Pour une valeur partiulière

µ _∗

^de

µ

^{,des èhes montrent la}

diretion dedéplaement de

x

^{,déterminée par lesigne de}

x ˙

^.

Les points

x = x(µ)

^{entre deux points de bifuration ou alors entre}

un point de bifuration et, selon les as,

±∞

^{, forment une branhe de}

solutions. La Figure 10.1 montre les branhes stable et instable pour e

système. Laonventionhabituelle estdetraer labranhestableenontinu

etl'instable enpointillés.

On peut se poser la question de savoir si la stabilité de

x +

^{est globale,}

'est-à-diresi

x +

^estapprohé asymptotiquement lorsque

t → ∞

^{pour toute}

onditioninitiale

x 0

^{. Enlairpeut-ontoujoursnégligerlestermesen}

ξ ²

^dans

l'analyse i-dessus? Reportons-nous aux équations (6.4.4). Elless'érivent

sous laforme linéarisé (6.4.5) seulement si

ξ

^et

η

^{sont susammentspetits}

pour uneéquationdiérentiellesalaire-àunevariable-letermeduseond

ordre est en

ξ ² f xx (x c )

^{. Dans le as présent où}

f(x, µ) = µ − x ²

^{, on a}

f x (x c ) = − 2 √ µ

^et

f xx (x c ) = − 2

^{; si bien que l'équation linéarisée (6.4.4)}

s'érit

ξ ˙ = − 2 √ µξ + ξ ² ( − 2) + O(ξ ³ ).

^(10.1.1)

Partons,parexemple,d'uneonditioninitiale

x 0

^telleque

x 0 = − √ µ + ε

ave

ε > 0

^{petit. La}perturbationassoiéeest

ξ = x 0 − x c = − 2 √ µ + ε

^{. Les}

termes

√ µξ = − 2µ + ε √ µ

^et

ξ ² = 4µ − 4ε √ µ + ε ²

^{dans (10.1.1) sont du}

même ordrede grandeur enmodule, lalinéarisation préédente estilliite.

Peut-onependant en direplus danse assimple ? Remarquonsque :

• x < ˙ 0

^pour

x > √ µ

^,

x

^{déroît sil'on partd'un}

x 0

^tel

x 0 > √ µ

^,

• x > ˙ 0

^pour

− √ µ < x < √ µ

^,

x

^{roît si l'on part d'un}

x 0

^{tel que}

− √ µ < x 0 < √ µ

^,

• x < ˙ 0

^pour

x < − √ µ

^,

x

^{déroîtsil'onpartd'un}

x 0

^telque

x 0 < − √ µ

^.

Ce omportement de lasolutionest indiquéà lagure10.1.

Cette analyseélémentaire permet de dénirle bassin d'attrationde

x +

qui est montré à la Figure 10.2, en traçant

y = ˙ x

^{en fontion de}

x

^pour

µ 0 > 0

^{donné. Ononstatesurettegurequelebassin}d'attrationdépend delavaleurduparamètre

µ 0

^{. Nousn'avonspasdestabilitéglobaledupoint}

xe

x +

^.

PSfragreplaements

y = µ 0 − x ²

x ₋ x + x

bassind'attrationde

x +

Figure 10.2: Illustration du bassin d'attration

]x ₋ , + ∞ [

^de

x +

^{, montrant}

y = ˙ x

^{en fontion de}

x

^,pour

µ = µ 0 > 0

^donné.

Onomprendque,pourdesasplusompliqués,ilestdiiledevérier,

à supposer qu'elle existe, la stabilité globale d'un point xe. La stabilité

globaleest peufréquente. La majorité desrésultatsde stabilitésontloaux.

Lorsqu'il existe plusieurs points xes et paramètres, il existe des méthodes

numériques - et logiiels - de alul des diérents bassins d'attration qui

peuvent avoir des géométries très enhevêtrées dépendantes des valeursdes

Le point

(x = 0, µ = 0)

^{est don un point de} bifuration. C'est une bifuration de point xe de type ol, dite aussi bifuration de type selle-

n÷ud : en e point apparaissent, lorsque

µ

^{passe par zéro, deux branhes}

d'équilibres dont l'une est onstituée de points xes stables - indiqués par

des petits erles pleins - et l'autre de points xes instables - indiqués par

despetitserlesvides. Onne peutplusdéiderde lastabilitédupoint xe

x = 0

^{indiquépar desdemi-lunespleine etvide (voirFigure10.3).}

0 0 1 1

PSfrag replaements

x

x { 0 } − √ µ √ µ x

µ < 0 µ = 0 µ > 0

Figure10.3: Stabilité despointsxes en fontionde

r

^.

Exerie : Faire une analyse similaire pour l'équation

x ˙ = µ + x ² , µ ∈ R .

Pouraratériser pluspréisémentune bifuration,on rééritlafontion

f

d'évolution de

x

^{ave le paramètre}

µ

^{onsidéré omme un argument de}

façon expliite. Pour un point ritique, on a

f (x, µ) = 0.

^(10.1.2)

L'équation(10.1.2)dénit,dansertainesonditionsdonnéesparlethéorè-

medes fontions impliites, une branhe de solutions

x = g(µ)

^{. La dérivée}

delafontion

g(µ)

^{sealuleen érivant la}diérentielletotale, quiestnulle :

f _x

^d

x + f _µ

^d

µ = 0,

e quidonne :

g _µ =

^d

x

d

µ = − f _µ f x

.

Notons quesi

f _x 6 = 0

^{,il estpossible deontinuer labranhe} stationnaire par variation de

µ

^{,en érivant}

µ = µ 0 + ∆µ

^et

x ≃ x 0 +

^d

x

d

µ ∆µ.

Si la solution est onnue en

x 0

^{pour la valeur}

µ 0

^{, elle le sera enore}

pour la valeur

µ 0 + ∆µ

^{du paramètre. C'est le prinipe de la méthode de}

ontinuation pour déterminer une branhe entière de solutions

x = g(µ)

^à

partird'unpoint

(x 0 , µ 0 )

^.

On remarque, sur l'exemple préédent, qu'au point de bifuration on a

f _x = 0

^{etunehypothèselefduthéorèmedesfontionsimpliitesàsavoir,}

justement, que

f x 6 = 0

^{, n'est pas respetée : de e fait, la tangente de}

la branhe est vertiale au point de bifuration, et on ne peut don pas

ontinuer le alul de la branhe par ette tehnique d'inrémentation du

paramètre

µ

^{. C'est la raison pour laquelle dans la pratique numérique, si}

l'on veut ontinuer le alul des solutions de la branhe, on hoisit omme

paramètredeontinuation nonpasleparamètre

µ

^{lui-même, maisl'absisse}

urviligne

s

^{delabranhedessolutions,enonsidérantalorsque}

µ

^dépendde

s

^{etendénissantd}

s ² =

^d

x ² +

^d

µ ²

^{. C'estunaspetimportantdesméthodes}

deontinuation numériques.

À plusieurs dimensions,

n ≥ 3

^{, laondition quiorrespondà}

f x = 0

^est

donnéepar

det

J(x 0 , µ 0 ) = 0,

où

J

^{est lejaobien de}

f

^en

x 0

^{pour lavaleur}

µ 0

^{du paramètre.}

Remarque 10.1.1. En général, dans les appliations, il y a beauoup plus

devariables d'étatque deparamètres

~x ˙ = f(~x; ~ µ),

~x ∈ R ^m

,

~ µ ∈ R ^p

et

p ≪ m

^.

10.1.2 Points de bifuration fourhe

Point de bifurationfourhesur-ritique. Considéronsmaintenant la

formeanonique, appelée aussiformenormale de bifuration donnéepar

˙

x = µx − x ³ = x(µ − x ² ), µ ∈ R .

Elle possède, pour tout

µ

^, l'équilibre trivial

x = 0

^{et, pour}

µ > 0

^{, deux}

autres équilibres non triviaux

x = ± √ µ

^{. On a un point de bifuration au}

point

(µ, x) = (0, 0)

^{(voir Figure10.4).}

PSfragreplaements

x

µ

Figure10.4: Bifurationdefourhe;lessolutionsstablessontentraitspleins,

elleinstableentirets épaissis. L'origine estunpointde bifurationfourhe

sur-ritique.

L'analysedelastabilitéestfailedansesassimplesetlesraisonnements

sont très répétitifs. Étudions d'abord la stabilitéde labranhe de solutions

Soit

µ < 0

^,d'unepartsi

x > 0

^alors

µ − x ² < 0

^don

x < ˙ 0

^et

x

^déroît,

d'autre part si

x < 0

^alors

µ − x ² < 0

^don

x > ˙ 0

^et

x

^roît. L'équilibre trivial

x = 0

^{est don stable pour tout}

µ < 0

^{. On voit que le terme en}

− x ³

^{jouelerle d'uneforede rappelversl'origine,ilest}stabilisantlorsque

µ < 0

^.

Soit maintenant

µ > 0

^{, de même on voit} immédiatement que si

x > 0

est tel que

x < √ µ

^alors

x > ˙ 0

^et

x

^{roît. De même si}

x < 0

^{est tel que}

x > − √ µ

^alors

x < ˙ 0

^et

x

^déroît.

L'équilibre trivial

x = 0

^{estdon instable pour tout}

µ > 0

^{. Onvoit que}

pour

µ > 0

^,letermeen

− x ³

^est déstabilisant pour l'origine.

Finalement onsidérons labranhe

x = √ µ

^{quin'existe quesi}

µ > 0

^{. Si}

x > √ µ

^alors

x < ˙ 0

^et

y

^{déroît. On sait déjà que si}

0 < x < √ µ

^alors

x

roît. L'équilibre

x = √ µ

^{est stable.}

L'examen de lastabilitéde labranhe

x = − √ µ

^{estlaissé en exerie.}

Ononstatequ'ilyapertedestabilitédelasolutiontriviale aupointde

bifurationave éhange de elle-iau protdesbranhes nontriviales.

Pointdebifurationfourhesous-ritique Considéronsl'équationélé-

mentaire

˙

x = µx + x ³ = x(µ + x ² ), µ ∈ R .

Elle possède l'équilibre trivial

x = 0

^{et, pour}

µ < 0

^{, deux équilibres non}

triviaux

x = ± √

− µ

^{. On a un point de bifuration au point}

(µ, x) = (0, 0)

(voir Figure10.5).

PSfragreplaements

x

µ

Figure10.5: Lessolutionsstables(resp. instables)sontentraitspleins(resp.

tirets) épaissis. L'origine est unpointde bifuration fourhe sous-ritique.

Étudions uniquement la stabilité de la branhe

x = − √

− µ

^{qui existe}

pour

µ ≤ 0

^{. Si}

x < − √

− µ

^alors

µ + x ² > 0

^,

x < ˙ 0

^et

x

^{déroît. Si}

− √

− µ < x < 0

^alors

µ + x ² < 0

^,

x > ˙ 0

^et

x

^{roît. La branhe}

x = − √

− µ

est don instable omme on l'indique à la Figure 10.5. On onstate que le

termeen

x ³

^est déstabilisant pour lasolution nulle dèsque

µ > 0

^.

Onvoitqu'ilyaànouveauunepertedestabilitédelasolutiontrivialeau

pointdebifuration,maisontrairementauaspréédentiln'yapaséhange

de stabilité arles branhes non trivialessont dans ledemi-plan

µ < 0

^{. La}

stabilité de toute solution est perdue lorsque le paramètre franhit le point

debifuration en roissant.

10.2 Solutions périodiques et leur stabilité

Jusqu'ii, nous avons étudié les solutions stationnaires, leur stabilité et les

bifurationsquiles onernent. Dansettesetion etlasuivante,nousnous

onentrerons sur les solutions périodiques et les bifurations qui mènent

d'unesolution stationnaireà une solutionpériodique (setion 10.3).

10.2.1 Dénitionsd'unesolutionpériodiqueetde sastabilité

Soittoujourslesystème(6.4.1)où

F : R ^m → R ^m

,onaladénitionsuivante d'unesolution périodique.

Dénition 10.2.1. On ditque le système(6.4.1) a une solution périodique

X

^{de période}

T > 0

^{, si}

X(t + T ) = X(t)

^pourtout

t

^.

Lasolution

X

^{périodiqueest}représentée,dansl'espaedephase,parune ourbe fermée.

Ladénitiond'unesolutionpériodiqueLyapounovstable,ousimplement

stable,onsistesimplement àremplaer

X c

^par

X(t)

^{danslaDénition6.4.1}

de la stabilité d'un point ritique. Soit

X ˜

^{une autre solution de (6.4.1)}

satisfaisant à laonditioninitiale

X ˜ 0

^{. Ona :}

Dénition 10.2.2. Une solution périodique

X

^{est dite stable au sens de}

Lyapounov si

∀ ǫ > 0

^,

∃ δ(ǫ)

^{tel que}

|| X ˜ 0 − X 0 || < δ = ⇒ || X(t) ˜ − X(t) || < ǫ

pour tout

t > 0

^.

10.3 Bifurations de Hopf

Soitl'équation

y ˙ = f (y, µ)

^où

µ ∈ R

(on prendun seulparamètre pour sim- plier),

y

^et

f

^{sontunveteuretunefontionà}

n

omposantes. Considérons lesétatsstationnairesoud'équilibresaratérisés parl'équation

0 = f (y, µ)

^.

Unebifurationdesétatsstationnairesestdénieparunpointd'intersetion

debranhesdepointsd'équilibre. Lessolutionsstationnairessontsansvie,

lessolutions bifurquéesn'ont pasplusdedynamisme quelespremières. Par

ontre, le type de bifuration qui onnete les équilibres ave les mouve-

ments périodiques est labifuration de Hopf. Lesmouvements périodiques

même s'ils sont dynamiques sont enore les manifestationsd'un ertain or-

dre. Donnonsun exemple simple d'unpoint de bifuration de Hopf. Soit le

système

x ˙ = − y + (µ − x ² − y ² )x

˙

y = x + (µ − x ² − y ² )y .

^(10.3.1)

où

µ ∈ R

.

Passonsenoordonnées polaires,soit

x = r cos θ

^et

y = r sin θ

^{. Il vient :}

˙

r cos θ − r θ ˙ sin θ = − r sin θ + (µ − r ² )r cos θ,

et

˙

r sin θ + r θ ˙ cos θ = r cos θ + (µ − r ² )r sin θ.

Multiplions la première équation par

cos θ

^{et la deuxième par}

sin θ

^et

additionnons lesdeuxéquations obtenues. Il vient :

˙

r = (µ − r ² )r.

^(10.3.2)

Demême, multiplions lapremière équation par

sin θ

^{et ladeuxième par}

cos θ

^etadditionnons lesdeux équations obtenues. Il vient :

θ ˙ = 1.

^(10.3.3)

En oordonnéespolaires,lesystème s'érit don :

r ˙ = r(µ − r ² )

θ ˙ = 1 .

^(10.3.4)

Étudions leséquilibres,etlastabilitédeeux-i,de(10.3.4). Nousavons

unéquilibrepour

r = 0

^(equidonnel'équilibre

x = y = 0

^pourtout

µ

^{). Soit}

une perturbation de l'origine dans les oordonnées polaires,qui orrespond

à un

r > 0

^{. Notons diretement que et équilibre est stable pour}

µ < 0

^,

ar alors

µ − r ² < 0

^{et omme}

r > 0

^{on a}

r < ˙ 0

^{, le rayon tend vers zéro}

et le point xe

r = 0

^{(à savoir}

x = y = 0

^{) est stable. Par ontre lorsque}

µ > 0

^{, la solution} stationnaire nulle devient instable si

r < √ µ

^{, alors que}

r = √ µ

^{devient solution dela première équationde (10.3.4). Comme}

θ ˙ = 1

ona

θ(t) = t + θ 0

^{. Lasolution}

(x(t), y(t)) = ( √ µ cos(t + θ 0 ), √ µ sin(t + θ 0 ))

est évidemment périodique de période

2π

^{. Le erlefermé de rayon}

√ µ

^est

le portrait de phase de la solution dans le plan de phase. Par onséquent

pour

µ > 0

^{,lasolutionnon}stationnaire dusystèmeorrespondàuneorbite périodique depériode

2π

^,d'amplitude nie

r > 0

^{qui roît omme}

√ µ

^.

Puisque

r < ˙ 0

^pour

r > √ µ

^et

r > ˙ 0

^pour

r < √ µ

^{,l'orbitepériodiqueest}

stable,'estun ylelimite stableou attratifreprésenté àlaFigure 10.6.

Soit le système (10.3.1), la stabilité de l'origine (

x = y = 0

^{) se fait par}

l'étudedesvaleurspropresdelamatriejaobienneàl'origine(ours6,sous-

paragraphe 6.4.1, paragraphe 6.5). Soit

f (x, y) = − y + (µ − x ² − y ² )x

^et

g(x, y) = x + (µ − x ² − y ² )y

^{,ave les notationsdu ours6, ilvient :}

J c =

f _x ^c f _y ^c g _x ^c g _y ^c

,

PSfrag replaements

y

x

Figure10.6: Cyle limite.

ave

f x = (µ − x ² − y ² ) + ( − 2x)x

^,

f y = − 1 − 2yx

^,

g x = 1 − 2xy

^et

g y = (µ − x ² − y ² ) + ( − 2y)y

^{. Ave}

x _c = y _c = 0

^{,on a:}

J c =

µ − 1 1 µ

.

Les valeurs propres

λ

^{de ette jaobienne sont}

λ _± = µ ± i

^{. Ononstate}

que, lorsque

µ = µ 0 = 0

^{, valeur pour laquelle naît une orbite périodique}

danslesensdesvaleursroissantesde

µ

^{,nousavonsune paire}

± i

^devaleurs

propres imaginaires pures.

Deplus onvérie immédiatement que

(d(Reλ(µ))/dµ) | µ = µ 0 = 1

^etette

dérivée estnonnulle(dans leprésent exemple elleestmême égale àunquel

quesoit

µ

^).

Ces phénomènes aratérisent une bifuration de Hopf. Ii, pour le sys-

tème que nous onsidérons, on dit qu'une bifuration de Hopf apparaît au

point

(0, 0)

^pourlavaleur

µ = µ 0 = 0

^{duparamètre. Unpointdebifuration}

de Hopf est à entendre pour des triplets de valeurs

(x 0 , y 0 , µ 0 )

^{. La Figure}

10.7résumelasituation.

UnebifurationdeHopfestaratériséeparlethéorèmesuivantquenous

énonons, pour simplier, en dimension deux.

Théorème 10.3.1. Soit l'équation

y ˙ = f (y, µ)

^{dépendant du paramètre}

µ

^.

Considéronsune solutionstationnaire

y 0

^de

f

^{etune valeurduparamètre}

µ 0

telles que

1)

f (y 0 , µ 0 ) = 0

^(ar

y 0

^{est une solution}stationnaire),

2)

f y (y 0 , µ 0 )

^{aunepaire devaleurspropres}imaginairespures,soit

λ _± (µ 0 )

= ± iβ(µ 0 )

^,

3)

(d(Reλ(µ))/dµ) | ^{µ=µ 0} = α 6 = 0

^.

Alors il y a en

(y 0 , µ 0 )

^{naissane de yles limites. La période initiale}

(de l'osillationd'amplitude nulle) est

T 0 = 2π/β(µ 0 )

^.

PSfrag replaements

x y

µ

Figure10.7: L'origine estlepointde bifuration deHopf. La ligne de tirets

indique la solution stationnaire instable. Les lignes en traits pleins très

épaissis marquent les solutions stables. La gure indique l'enveloppe des

amplitudesdesyleslimites quisont deserlesdont lerayonroît omme

√ µ.

Preuve : Elle estadmise.

Remarque 10.3.1. Préisons ii un problème de terminologie. Un yle

limite

Γ

^{est une orbite fermée (don} périodique) isolée. L'adjetif isolé signiequelesorbitesvoisinesnesontpasferméesetqu'ellestournentautour

de

Γ

^{soit en s'en éartant soit en s'en approhant. Si toutes les orbites}

voisines approhent le yle limite elui-i est dit stable ou attratif. Si

elles s'en éartent le yle limite est dit instable ou répulsif. Notons que le

Théorème 10.3.1 neditrien sur la stabilité duyle limite.

Remarque10.3.2. Lesystème(10.3.4),quenousavonsprispourintroduire

la bifuration deHopf, est l'exemple prototypique d'unsystème possédant un

point de bifuration de Hopfsur-ritique. Il existe unautre type de point de

bifuration de Hopfdit sous-ritique (voir livre).

Exerie : Étudier lesystèmesuivant,ériten oordonnées polaires :

r ˙ = µr + r ³ − r ⁵

˙

y = ω + br ² .

^(10.3.5)

où

µ

^,

ω

^et

b

^{sont desréels. C'est lesystème}prototypique d'unebifuration deHopf sous-ritique.

Remarque10.3.3. Dans l'exemple (10.3.4)on a vu que

β(µ) = 1

^quelque

soit

µ

^{et on sait aussi que la période de toutes les solutions} périodiques est égale à

2π

^{quel que soit}

µ

^{. Cei est onforme à} l'assertion du Théorème 10.3.1 qui indique que la période initiale(pour

µ = µ 0 = 0

^{) du yle limite}

est égale à

T 0 = 2π/β(µ 0 )

^.

Ce théorème aratérisant une bifuration de Hopf peut être interprété

de transversalité, elle est usuellement satisfaite. La Figure 10.8 montre le

omportement possible, lorsque

µ

^{varie, d'une paire} partiulière de valeurs propres delamatrie jaobienne satisfaisant àlaondition

λ _± (µ 0 ) = ± iβ

^.

PSfragreplaements

Re(λ)

Im(λ) β

− β

Figure10.8: Visualisationde latraversée (pour

µ = µ 0

^{) de l'axe imaginaire}

par deux valeurs propres imaginaires onjuguées lorsque

µ

^{varie. Elles tra-}

versentl'axe imaginaireave une pente nonnulled'après laondition3) du

Théorème 10.3.1. Sitoutes les autres valeurs propres ont des partiesréelles

stritement négatives, ette gure illustre une perte de stabilité : pour un

gainde stabilitéil sutde renverser les êhes.

10.3.1 Bifuration de Hopf sur-ritique

PourintroduirelabifurationdeHopfonpourraitpartirdelaformenormale

de ette bifuration qui peut être failement exhibée en dimension 2. Pour

simplierlesalulsonsemetdansleplanomplexe. Onnote

z = x+iy ∈ C

,

x, y ∈ R

et

z ¯ = x − iy

^{. Dansleplanomplexeetteformes'érit}(aeptons-le pour l'instant)

˙

z = (µ + iω)z + Cz(z z). ¯

^(10.3.6)

où les onstantes

C

^,

ω

^et

µ

^{sont réelles. Cette équation est dite la forme}

réduite de Poinaré-Andronov. Dans la suite de e paragraphe seul le as

C < 0

^{est onsidéré.}

Pour examiner failement e problème passonsen oordonnées polaires.

Onpose

z = re ^iθ

^,ave

r ² = x ² + y ²

^et

θ = arctan(y/x)

^,alors

r ² = z z ¯

^.

Détaillons unpeu lesaluls. D'après (10.3.6)il vient

˙

r(cos θ + i sin θ) + r θ( ˙ − sin θ + i cos θ) = . . .

. . . = r(µ + iω)(cos θ + i sin θ) + Cr ³ (cos θ + i sin θ),

soit,en séparant les partiesréelles etimaginaires,

r ˙ cos θ − r θ ˙ sin θ = r(µ cos θ − ω sin θ) + Cr ³ cos θ

˙

r sin θ + r θ ˙ cos θ = r(ω cos θ + µ sin θ) + Cr ³ sin θ.

^(10.3.7)

Enmultipliantd'abordlapremière(resp. ladeuxième)équationpar

cos θ

(resp.

sin θ

^{),puislapremière (resp. ladeuxième) par}

sin θ

^(resp.

− cos θ

^{) il}

vient:

r ˙ = r(µ + Cr ² ) θ ˙ = ω.

Larotation

θ

^etl'étirement

r

^{ontétéséparés. Onretrouvepour}

ω = 1

^et

C = −

^{1lesystème(10.3.4)quenousavonsdéjàétudié. Ondémontrequ'un}

ylelimite apparait au point

z = µ = 0

^{et queles orbites} périodiquessont stableslorsque

µ > 0

^.

Pour

µ > 0

^ladistane

r

^{àl'origined'unpointd'unetrajetoiretendvers}

p − µ/C

^lorsque

t → ∞

^{,parau-dessus etpar en dessous:}

PSfrag replaements

0 p

− µ/C r

PSfragreplaements

[X]

amplitudeduylelimite

foyerstable

µ

Figure 10.9: Diagramme de bifuration pour une bifuration de Hopf sur-

ritique.

[X]

^{estuneonventionde}représentationdelasolution

X = (x, y) ^T

^.

Pour

µ < 0

^{il y a une branhe stable} orrespondant à un foyer à l'origine.

Si

µ > 0

^{, il apparaît un yle limite} d'amplitude

√ µ

^{. Les deux branhes}

de la droite de la gure permettent, à la fois, d'indiquer, par onvention,

l'amplitude de l'unique yle limite assoié à un

µ

^{donné et la famille des}

yleslimites vusen perspetive.

Ainsilorsque

µ

^{roisele0 onpasse d'unfoyer stableàdesyles limites}

stables, 'est la bifuration de Hopf sur-ritique (voir la Figure 10.9 pour

une autrereprésentation duphénomème). Pour

µ < 0

^{,les modules}

r(t)

^des

points des trajetoires (une fontion

r : t → r(t)

^{pour haque}

µ

^donné)

déroissent vers zéro lorsque

t

^{roît - rappelons que seul le as}

C < 0

^est

onsidéré. Pour

µ > 0

^{le module despoints des}trajetoires (dépendant du module

r 0

^{du point de départ qui peut être hoisi de zéro à l'inni) peut}

aller de zéro à

a = p

− µ/C

^{ou de l'inni à}

a

^lorsque

t

^{roît. Dans le}

qui s'approhent exponentiellement du yle limite par l'intérieur. Dans le

seondasles trajetoires dérivent desspiralesquionvergent versleyle

limite par l'extérieur.

En fait, ave lesystème suivant déjà étudié (voir(6.7.1))

x ˙ = ωy

˙

y = − ωx ,

onobtient égalementunetrajetoirepériodique,maissatailleestarbitraire.

Lesnonlinéaritésdusystème(10.3.1)modientlesystèmepréédentdetelle

sorte quel'onobtient unetaille préférée de l'amplitude dessolutions péri-

odiques. Ces non linéarités peuvent êtreinterprétées ommeorrespondant

à une énergie nie. Lorsqu'il y a plusieurs non-linéarités, une ompétition

pour l'énergies'installe, qui peutdonnerun omportement haotique.

Cetteinterprétationentermed'énergieprovientdelaphysique. Eneet,

pour une masse sur un ressort,

x

^{orrespond au déplaement du entre de}

masse,

y

^{à sa vitesse,}

x ²

^{à l'énergie} potentielle,

y ²

^{à l'énergie inétique et}

la onstane de

x ² + y ²

^{traduit la}onservation de l'énergie. Les équations salaires(10.3.1) peuvent s'interpréter ainsi.