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1ère S - DM n°7
Le service commercial d’un journal a constaté que chaque année, il enregistre a=/t{1;2;3} 000 nouveaux abonnés mais 50% des anciens abonnés environ ne renouvellent pas leur abonnement. On note a le nombre de nouveaux abonnés.
L’objet de cet exercice est d’étudier l’évolution du nombre d’abonnés si cette situation perdure sachant qu’au cours de l’année écoulée, le journal comptait /t{3;5;7} 000 abonnés.
Dans ce but, on considère la suite (un) définie par : u0 est le nombre d'abonnés au cours de l'année écoulée. Pour tout entier naturel n, un+1= 0,5 un + a, a étant le nombre de nouveaux abonnés.
On admet que, pour tout entier n0, la suite (un) est une approximation du nombre d’abonnés au bout de n années.
1) Calculer les cinq premiers termes. La suite (un) est-elle arithmétique ? Est- elle géométrique ? Justifier.
2) Soit (vn) la suite définie sur IN par vn = un – 2a.
a. Démontrer que la suite (vn) est une suite géométrique de raison 0,5. Préciser la valeur de (v0).
b. En déduire l’expression de (vn) en fonction de n.
3) a. En utilisant le résultat de la question précédente, trouver l'expression de (un) en fonction de n.
b. Quel est le nombre d’abonnés au bout de vingt ans ?
4) Question ouverte : On suppose maintenant que seuls 40 % des abonnés ne renouvellent pas leur abonnement. Peut-on faire le même raisonnement, et exprimer le nombre d'abonnés (un) en fonction de n ?
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