Pour chacun des exercices suivants, simplifier les expressions algébriques proposées. A = B = C = D = – 5 e

I SIMPLIFICATION D’EXPRESSIONS

Pour chacun des exercices suivants, simplifier les expressions algébriques proposées.

A = B = C = D = – 5 e^–4 ´ 3 ´ 2 e²

A = e^x e^–x B = e ´ e^x C = e^{3 x+2} ´ e^1–2x D = 2 e^{1 – x2}

E = e^x + 2 e^x F = e ´ e^{2 x–1} – (e^x)² G = 2 H = ´

A = B = C = D = E =

II EXPRESSIONS ÉGALES

Démontrer que chacune des égalités suivantes est vérifiée pour tout réel x.

1° e^{–2 x} + = 2° (e^{2 x} – e^–x) (1 + e^{–3 x}) = (e^{3 x} + 1) (1 – e^{–3 x}) = 1 Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant.

1° Pour tout réel x, = e^x+1 2° Pour tout réel x, = 3° Pour tout réel x, = e^x – 1 On considère la fonction f : x

1° Justifier que la fonction f est définie sur . 2° Montrer que, pour tout réel x, on a : f (–x) + f (x) = 2.

3° Quelle conséquence graphique doit-on en tirer ? III LIMITES.

On appelle f la fonction définie sur par :

1° Etudier les limites de f en – ¥ et + ¥. 2° Etudier la continuité de f en 0.

3° Etudier la dérivabilité de f en 0. 4° Etudier les variations de f . 5° Montrer que la droite d'équation y = x + 1 est asymptote à la courbe de f.

Tracer la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 2 cm.

Etudier les limites en +¥ et en – ¥ des fonctions suivantes

a) f : x x – e^x b) g : x c) h : x e^{2 x} – 3 e^x + 1 d) k : x

Calculer les limites suivantes

lim;\s\do7(x

( 0 lim;\s\do7(x ( 0 lim;\s\do7(x ( 0 x e et x e lim;\s\do7(x ( 0 lim;\s\do7(x ( 0 IV ETUDE DE FONCTIONS.

Soit la fonction f définie sur par f (x) = e^x + 2 e^{– x}+ x.

1° Calculer f '(x) et étudier le signe de

f '(x)

(on pourra poser X = e^x). 2° Déterminer les variations de f sur . 3° Déterminer les limites de f en + ¥ et en – ¥ . 4° Dresser le tableau de variations de f.

Soit la fonction f définie sur par f (x) = . On note Cf sa courbe représentative.

1° En étudiant les variations sur de u : x e^x – x, justifier que f est bien définie sur . 2° Calculer f '(x) et montrer que le signe de f '(x) est celui de (1 – x).

3° Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse 0.

4° Démontrer l'existence de deux asymptotes (D1 ) et (D2 ) horizontales.

5° Représenter Cf ainsi que (D1 ), (D2 ) et (T).

Soit la fonction f définie sur par f (x) = (x – 2) e^x + x. On note Cf sa courbe représentative.

1° Calculer f '(x), la fonction dérivée de f. 2° Etudier les variations de f " sur .

3° En déduire le signe de

f '(x)

sur puis les variations de f. 4° Calculer les limites de f en + ¥ et en – ¥ .

5° Démontrer l'existence d'une droite asymptote à C

f

.

I Simplification d’expressions Pour chacun des exercices suivants, simplifier les expressions algébriques proposées.

A = B = C = D = – 5 e^–4 ´ 3 ´ 2 e²

A = = = e

^{2 – 0,5}

= e

^1,5

B = = e

0,5 – 1 + 2

= e

^1,5

C = = 3 e

^{– 3 – 1,5}

= 3 e

^–4,5

D = – 5 e

^{– 4}

´ e

³

´ 2 e

²

= – 10 e

– 4 + 3 + 2 = 10 e

A = e^x e^–x B = e ´ e^x C = e^{3 x+2} ´ e^1–2x D = 2 e^1–x2

E = e^x + 2 e^x F = e ´ e^{2 x–1} – 2 G = 2 H = ´

A = e

^x

´ e

^–x

= 1 ; B = e

^{x + 1}

; C = e

3 x+2 + 1 – 2 x

= e

^{x + 3}

; D = e

^{2 x}

´ e

^1–x2

= e

2 x + 1 – x 2

E = e

^x

+ 2 e

^x

= 3 e

^x

; F = e

2 x – 1 + 1

– e

^{2 x}

= e

^{2 x}

– e

^{2 x}

= 0; G = = H =

A = B = C = D = E =

A = = e

^2x–2+x

=e

^3x–2

; B = = = e

^3x

: C = = – 1 = e

^x

– 1 ; D = = e

^2x+1+2x

= e

^4x+1

; E = = = e

^x+1

II EXPRESSIONS ÉGALES

Démontrer que chacune des égalités suivantes est vérifiée pour tout réel x.

1° e^–2x + = 2° (e^{2 x} – e^–x) (1 + e^–3x) = (e^3x + 1) (1 – e^–3x) e^–x 3° = 1

1° = + = e

^–2x

+ e

^–1

= e

^–2x

+

2° (e

^{2 x}

– e

^–x

) (1 + e

^–3x

) = e

^2x

+ e

^–x

– e

^–x

– e

^–4x

(e

^3x

+ 1) (1 – e

^–3x

) e

^–x

= (e

^3x

– 1 + 1 – e

^–3x

) e

^–x

= (e

^3x

– e

^–3x

) e

^–x

= e

^2x

– e

^–4x

3° = = = 1

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou si elle est fausse, en justifiant la réponse.

1° Pour tout réel x, = e^x+1

Faux Si x = 1 alors = = e et e

^x+1

= e

²

2° Pour tout réel x, = .

vrai : = =

3° Pour tout réel x, = e^x – 1.

faux : = = | e

^x

– 1 |

Si x = – 1 alors = = 1 –  e

^–1

– 1

On considère la fonction f: x 1) Justifier que la fonction f est définie sur .

pour tout réel x, e

^x

> 0 donc e

^x

+ 1 > 1 donc e

^x

+ 1  0

2) Montrer que, pour tout réel x, on a : f(–x) + f(x) = 2.

Pour tout réel x on a : f(– x) + f(x) = + = + = = 2

3) Quelle conséquence graphique doit-on en tirer ?

la représentation graphique de f admet le point I comme centre de symétrie.

III LIMITES. On appelle f la fonction définie sur par : 1° Etudier les limites de f en – ¥ et + ¥.

En – ¥ : Si x < 0 alors f(x) = x e On pose X = on a : = 0 donc e = lim;\s\do8(x ( 0 e

^X

= e

⁰

= 1.

De plus x = – ¥ donc f(x) = – ¥ . En + ¥ : Si < 0, f(x) = x e

^–x

x e

^–x

= = 0

2° Etudier la continuité de f en 0.

En 0

^–

: f(x) = x e On pose X = On a : lim;\s\do8(x ( 0 = – ¥ donc lim;\s\do8(x ( 0e = e

^X

= 0 et lim;\s\do8(x ( 0f(x) = 0 ´ 0 = 0

En 0

⁺

: f(x) = x e

^–x

et lim;\s\do8(x ( 0 f(x) = 0 e

^–0

= 0 f est donc continue en 0

3° Etudier la dérivabilité de f en 0.

En 0

^–

: = e et donc lim;\s\do8(x ( 0 e = 0. f est dérivable à gauche de 0 En 0

⁺

: = e

^–x

et lim;\s\do8(x ( 0 e

^–x

= e

^–0

= 1 donc f est dérivable à droite de 0.

f '

d

(0)  f

g

(0) donc f n'est pas dérivable en 0.

4° Etudier les variations de f.

sur –

^*

f est dérivable et f (x) = 1 ´ e + x ´ e = e

x < 0, x – 1 < 0 et e > 0 donc f (x) > 0. f est croissante sur –

^*

sur +

^*

f est dérivable et f (x) = 1 ´ e

^–x

+ x ´ (– e

^–x

) = (1 – x) e

^–x

Pour tout réel x de +

^*

f (x) est du signe de 1 – x

f est croissante sur ] 0 , 1] et décroissante sur [ 1 ; + ¥ [

5° Montrer que la droite d’équation y = x + 1 est asymptote à la courbe de f.

Tracer la courbe de f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 2 cm.

si x < 0 : f(x) – (x + 1) = x e – x – 1 = x (e – 1) – 1

On pose X = on a : = 0 donc x (e – 1) – 1 = lim;\s\do8(x ( 0 – 1 = 1 – 1 = 0

Etudier les limites en +¥ et en – ¥ des fonctions suivantes

a) f : x x – e^x b) g : x c) h : x e^{2 x} – 3 e^x + 1 x

a) x = – ¥ et e

^x

= 0 donc f(x) = – ¥

f(x) = x – e

^x

= e

^x

on sait que = 0 et e

^x

= + ¥ donc f(x) = – ¥ b) g(x) = e

^x

= 0 donc g(x) = = 1

= = On sait que e

^–x

= 0 donc f(x) = = 2

c) h(x) = e

^{2 x}

– 3 e

^x

+ 1 e

^2x

= e

^x

= 0 donc h(x) = 0 – 3 ´ 0 + 1 = 1 e

^2x

– 3 e

^x

+ 1 = e

^2x

(1 – 3 e

^–x

+ e

^–2x

) et e

^–x

= e

^–2x

= 0 donc f(x) = + ¥ d) j(x) = = + e

^x

= x e

^–x

+ e

^x

e

^–x

= + ¥ et x = – ¥ donc x e

^–x

= – ¥ De plus e

^x

= 0 donc j(x) = – ¥ = 0 et e

^x

= + ¥ donc j(x) = + ¥

Calculer les limites suivantes

lim;\s\do6(x ( 0

lim;\s\do8(x ( 0 e

^x

= e

⁰

= 1 donc lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 = + ¥ et lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 = – ¥

lim;\s\do6(x ( 0

On pose x = 3 x Û x = . lim;\s\do8(x ( 0 3 x = 0 donc lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(X ( 0 = lim;\s\do8(X ( 0 3 = 3 ´ 1 = 3

lim;\s\do6(x ( 0 x e :

On pose X = : lim;\s\do8(x ( 0 = + ¥ donc x e = e

^X

= + ¥

x e :

On pose X = : = 0 donc e = e

^X

= 1 et donc x e = = + ¥

lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 ´ = 2 car lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 = 1

lim;\s\do8(x ( 0

= = = e

^x

+ 1 donc lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 (e

^x

+ 1) = e

⁰

+ 1 = 2

lim;\s\do6(x ( 0 :

lim;\s\do8(x ( 0 = lim;\s\do8(x ( 0 ´ = 1 car lim;\s\do8(x ( 0 = 1 et lim;\s\do8(x ( 0 = 1

IV ETUDE DE FONCTIONS. Soit la fonction f définie sur par f (x) = e^x + 2 e^{– x}+ x.

1° Calculer f '(x) et étudier le signe de f '(x) (on pourra poser X = e^x).

f '(x)

= e^x – 2

e

^{– x} + 1 = X – + 1 = = =

e^x et e^x + 2 sont strictement positifs donc

f '(x)

est du signe de e^x – 1.

e^x – 1 ³ 0

Û

e^x ³ e⁰

Û

x ³ 0.

2° Déterminer les variations de f sur .

x – ¥ 0 +¥

signe de

f '(x)

^{– 0 +}

f (x)

3° Déterminer les limites de f en + ¥ et en – ¥ .

e

^{– x} = 0, e^x = + ¥ et x = + ¥ donc (e^x + 2

e

^{– x} + x) = + ¥ f (x) = e^{2 x} = 0 = x e^x donc (e^{2 x} + 2 + x e^x) = 2

e^x = 0⁺ donc f (x) = + ¥

4° Dresser le tableau de variations de f.

x – ¥ 0 +¥

signe de

f '(x)

^{– 0 +}

+ ¥ + ¥

f (x)

3 Soit la fonction f définie sur par f (x) = . On note Cf sa courbe représentative.

1° En étudiant les variations sur de u : x e^x – x, justifier que f est bien définie sur . u est dérivable sur et u' (x) = e^x – 1.

u' (x) ³ 0

Û

e^x – 1 ³ 0

Û

e^x ³ e⁰

Û

x ³ 1

x – ¥ 0 + ¥

signe de

f '(x)

^{– 0 +}

f (x)

1 D'après les variations de u, pour tout réel x, u (x) ³ 1 > 0 donc u (x)  0 donc f (x) est défini.

2° Calculer f '(x) et montrer que le signe de f '(x) est celui de (1 – x).

donc

f '(x)

= = = Pour tout réel x, e^x + 1 > 0 et (e^x – x)² > 0 donc

f '(x)

est du signe de 1 – x

3° Déterminer une équation de la tangente (T) à Cf au point d'abscisse 0.

f (0) = 1 et f '(0) = = 1 donc l'équation de la tangente est : y = 1 + x 4° Démontrer l'existence de deux asymptotes (D1 ) et (D2 ) horizontales.

(e^x + x) = + ¥ et (e^x – x) = + ¥ il y a donc indétermination.

= = = 0 donc = = 1. La droite d'équation y = 1 est asymptote.

(e^x + x) = – ¥ et (e^x – x) = + ¥ il y a donc indétermination.

= = = 0 donc = = – 1. La droite d'équation y = – 1 est asymptote.

5° Représenter Cf ainsi que (D1 ), (D2 ) et (T).

2 3 4

-1 -2

-3 -4

2

-1

0 1

1

x

Soit la fonction f définie sur par f (x) = (x – 2) e^x + x. On note Cf sa courbe représentative.

1° Calculer f '(x), la fonction dérivée de f.

f '(x)

= 1 ´ e^x + (x – 2) ´ e^x + 1 = e^x + x e^x – 2 e^x + 1 = x e^x – e^x + 1.

2° Etudier les variations de f " sur .

Le signe de

f '(x)

ne peut pas être étudié algébriquement. il faut donc étudier les variations de

f ' f "(x) = 1 ´ e

^x

+ x e

^x

– e

^x

= x e

^x

f "(x) est donc du signe de x

x – ¥ 0 + ¥

signe de

f "(x)

– 0 +

f '(x)

0

3° En déduire le signe de f '(x) sur puis les variations de f.

d'après les variations de f ",

f '(x)

est toujours positif donc f est croissante sur . 4° Calculer les limites de f en + ¥ et en – ¥ .

(x – 2) = + ¥ et e^x = + ¥ donc (x – 2) e^x = + ¥ De plus x = + ¥ donc f (x) = + ¥.

f (x) = x e^x – 2 e^x + x

e^x = x e^x = 0 donc f (x) = – ¥

5° Démontrer l'existence d'une droite asymptote à Cf .

f (x) = x + (x e^x – 2 e^x) avec (x e^x – 2 e^x) = 0 donc la droite d'équation y = x est asymptote à – ¥