Exercices d’applications et de réflexions avec solutions :

Prof/ATMANI NAJIB Année Scolaire 2018-2019 Semestre2 http:// abcmaths.e-monsite.com 1

Exercices d’applications et de réflexions avec solutions : fonctions exponentielles PROF : ATMANI NAJIB

2ème BAC Sciences Physiques et Sciences de la Vie et de la Terre (2BAC PC et SVT) http:// abcmaths.e-monsite.com

Exercice1 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans ℝ :

5 1

1) exp exp

2 3 1

x

x x

    

     

    ^{2) exp 2} ^{x 1} ^{exp 6}

x

     

Solution :1) ^{ln x}



^2



^0

a)cette équation est définie ssi : 2x 3 0 et 1 0

x  donc: ³

x 2 et x1donc : ³;1

E 2

D    

 

b) Résoudre l’équation :

5 1 5 1

exp exp

2 3 1 2 3 1

x x

x x x x

 

    

       

   



^x5



^{x 1}



^{2x 3 x²2x 8 0}

 

2 2

4 2 4 8 1 4 32 36 0

b ac

           

1

2 6 4 2 1 2 2 x    

 et ₁ ^{2 6 8} 4

2 1 2 x     



Donc : ^{S } ^{4; 2}

  ⁶

2) exp 2x 1 exp x

     

a)cette inéquation est définie ssi : x0 donc : DI  ^

  ^{6 6}

2) exp 2x 1 exp 2x 1

x x

       

2 ² 6

x x 0 x

   

 ^{, 2} ^0,3

S  2

     

Exercice2 : Résoudre les équations et inéquations suivantes dans ℝ :

1) e^1xe^2x e 2)

2

1 1 2

x x x

e e

e





  3)e^2x5e^x 6 0 ^4)ex²

   

^{ex 3  ex 5e7}

 

2 3 2

5)e ^x  e1 e^x 1 0

Solution :1) e^1xe^2x e  e^{2x 1 x}  e¹

e^x1 e¹ x 1 1 x0 donc : ^{S } ⁰

2)

2

1 1 2

x x x

e e

e

 

   e^{2  x 1 2x} e^x1

^{2  x} ^{1 2x}^{ x 1   4x 2 1}

x 2

Donc : ¹

S    2

 

3) e^2x5e^x 6 0

 

^{ex 25ex 6 0} on pose : e^x X

Donc : X²5X  6 0  b²4ac2524 1 0

1

5 1 X 2 1

  et ₂ ^{5 1}

X 2 1

  donc : X₁3 et X₂ 2

Donc : e^x1 3 et e^x2 2 donc : x₁ln 3 et x₂ ln 2 Donc : ^S^{ln 2, ln 3}

4) cette équation est définie dans ℝ

   

^{3 5}

² 7 ² 3 5 7

x x x x x x

e  e  e^ e^  e e e^ e^

² 3 5 7

² 3 5 7

x x x

e ^ e^{ } x x x

      

² 8 7 0

x x

   

2 2

4 8 4 7 1 64 28 36 0 b ac

          

FONCTIONS EXPONENTIELLES

1

8 6 2 2 1 2 1 x     

 et ₂ ^{8 6 14} 7

2 1 2 x     



Donc : ^{S  } ^{7; 1}

5) cette équation est définie dans ℝ

 

 

3 2 1 3

1 0

x x

e^ e e e^ e

   

 

2 1 3

1 0

x x

e e e ^ e

    car e^3 0

  

^{ex 2 e2 e e}



^{x e3 0}

   

On pose : e^x t on aura : ^t2



^{e2e t}



^{e3 0}

  ^{ }  

2 2 3 x 2

t  e e t  e t e e e

    

2 3 2 2

2)e ^x  e 1 e^x 1 0 e^xe e^xe 0



^{ex e1}



^{ex e2}



⁰

  



^{x 1}



^{x 2}



⁰

  

 

^{1; 2}

 x donc : ^S

 

^{1; 2}

Exercice3 : Déterminer les limites suivantes : 1) ^{lim 2} ¹ ^x

x x e

  2) lim ³

x x

e

 x

 3) lim ₃³

x x

e x

 x



4) lim ¹ 2

x x x

e

e



 5) lim ^x1

x e^{ }

 6) lim ^{x 1}

x e^{ }



7) lim ^{x x}

x e e^

  8) ³

1

lim 5 x x

x e

 



 9) lim ¹ 1

x x x

e

e



 10) lim 2 ^x

x x e

  11) lim ₂¹

x x

e

 x

 12) lim ₂ 3

x x

e

x x

  13) lim 3 ^{3 x}

x x e

  14) lim ₃³

x x

e x

 x



15)

2

lim 3 x x

e

 x (on pose : 2xX) 16)

3

lim

x x

e

 x

17)

2

lim 3

1

x x

e x x

   18) ^{lim 3} ¹ ^x

x x e

 

19)_x^lim_



^{x54x e3}



^x 20)

1 0

lim 1 ^x

x

xe

 

21) _x^lim_



^{x32x e}



^2x 22)

2 0

lim 1 3

x x

e

 x



23)

1

lim ^x 1

x x e



 

  

  24)

1 1

lim 1 1

x x

e x









25) 0

lim 1

x x

e x





 26)

1

lim0 x x

e e

x







Solution : 1)



^{ x}

 

^{; 2x1 e}



^{x 2}

 

^{xex ex}

On a lim ^x 0

x e

  et lim ^x 0

x xe

  donc : ^{lim 2} ¹ ^{x 0}

x x e

  

2)



^x



^{;ex 3 ex 3}

x x x

 

    et puisque :

lim

x x

e

 x  

Et lim ³ 0

x^x  alors : lim ³

x x

e

 x

  

3)

 

^x 3 ^x3 2

e 3 e 3

; x

x x x x

 

   

Puisque : lim ³₂ 0

x^x  et lim ₃

x x

e

x  

Donc : lim ₃³

x x

e x

 x

  

4) lim ^{1 0 1 1}

0 2 2 2

x x x

e

e

   



 car lim ^x 0

x e ^

  5) lim ^x1 ?

x e^{ }

  on a : lim 1

x x

   

Donc : lim ^x1

x e^{ }

  

6) lim ^{x 1}

x e^{ }

 on a : lim 1

x x

   

Donc : lim ^{x 1} 0

x e^{ }

  car lim ^x 0

x e ^

  7) lim ^{x x}?

x e e^

  On a lim ^x 0

x e

  et lim ^x

x e^

  

Donc : lim ^{x x}

x e e^

   

8) ³

1

lim 5?

x x

x e

 



 on a : lim ₃ ¹ lim ₃ lim ₂¹ 0 5

x x x

x x

x x x

  

      



Donc : ³

1 5 0

lim 1

x x

x e e

 



  

9)

1 1

1 1

1 1 0

lim lim lim 1

1 1 1 0

1 1 1

x

x x x

x x x x

x x x

e e e e

e e

e e

  

   

 

       



    

Car : lim ^x

x e

   donc lim ¹_x 0

x^e 

10) lim 2 lim 2

x x

x x

x e x e

  x

 

     

 

Car : lim

x x

e

 x   donc lim 2

x x

e

  x  

11) lim ₂¹ lim ₂ ¹₂

x x

x x

e e

x x x

 

   on a lim ₂

x x

e

 x  

Et lim ¹₂ 0

x^ x  donc : lim ₂¹ lim ₂ ¹₂

x x

x x

e e

x x x

 

    

12) _{2 2}

2

lim lim lim 1

3 3

3 1 1

x x x

x x x

e e e

x x x

x x x

     

    

On a lim ₂

x x

e

x   et _lim ¹ ₁ 1 3

x

x

 



alors :

lim 2

3

x x

e x x

  



13) lim 3 ³ lim ³ 3 ₃

x x

x x

x e x e

  x

 

    

  On a : lim ₃

x x

e

x   donc : lim 3 ₃

x x

e

  x  

Donc : lim 3 ^{3 x}

x x e

    car lim ³

x x

  

14) lim ₃³ lim ₃ ³₃ lim ₃ ³₂

x x x

x x x

e x e x e

x x x x x

  

      

Car : lim ₃

x x

e

x   et lim ³₂ 0

x^x  15)

2

lim 3 x x

e

 x (on pose : 2xX)

2 2

xX  x X x  X

2

3 3 3

lim lim lim 8

2

x X X

x X X

e e e

x X X

    

  

 

puisque : lim ₃

X X

e

X  donc lim 8 ₃

X X

e

 X  

donc :

2

lim 3 x x

e

 x  

16)

3

lim

x x

e

 x on pose : 3xX donc : 3 x X x  X

3

lim lim lim 3 3

x X X

x X X

e e e

x X X

     on a lim

X X

e

 X  

Donc lim 3

X X

e

 X   donc

3

lim

x x

e

 x  

17)

2 2 2

3 3

3

2 3

2 3

lim lim lim 1

1 1 1 1

1 1 1

x x x

x x x

e e e

x x x

x x x x x

     

       

On a montré que :

2

lim 3 x x

e

 x   et on a

2 3

lim 1 1

1 1

x 1

x x

 

 

Donc :

2

lim 3

1

x x

e x x

  

 

18) _x^{lim 3}_ ^x1^{ex }_x^{lim 3}_ ^{xexex et on a}

lim ^x 0

x e ^

  Et lim ^x 0

x xe ^

  donc : ^{lim 3} ¹ ^{x 0}

x x e

  

19) _x^lim_



^{x5 4x3}



^{ex } _x^lim_^{x e5 x 4x e3 x} et on a : lim ^{n x} 0

x x e

  donc : _x^lim_



^{x5 4x3}



^{ex   0 0 0}

20)

1 0

lim 1 ^x

x

xe

  ? on pose : ¹ X x  0

x ^  X  

1 0

lim1 ^x lim ^X 0

x X

e Xe

 x 

   donc :

1 0

lim1 ^x 0

x

xe

 

21) _x^lim_



^{x32x e}



^{2x }_x^lim_^{x e3 2x 2xe2x    0 2 0 0}

Car lim ^{n x} 0

x x e

 

22)

2 0

lim 1 3

x x

e

 x

 on pose : 2xX

0 0

x X 

2

0 0 0

1 1 2 1 2 2

lim lim lim 1

3 3 3 3

3 2

x X X

x X X

e e e

x X X

  

       

Car :

0

lim 1 1

x x

e

 x

 

23)

1

lim ^x 1

x x e



 

  

  on pose : ¹ X

x  donc x ¹

 X x   X 0

 

1

0 0

1 1

lim 1 lim 1 lim 1

X x X

x X X

x e e e

X X

  

  

    

 

 

24)

1 1

lim 1 1

x x

e x







 on pose : 1 x X donc x 1 X 1

x  X 0

1

1 0 0

1 1 1

lim lim lim 1

1

x X X

x X X

e e e

x X X



  

       

 

car

0

lim 1 1

x x

e

 x

 

25)

0

lim 1

x x

e x





 on pose :  x Xdonc x X 0

x  X 0

0 0 0

1 1 1

lim lim lim 1

x X X

x X X

e e e

x X X



  

       

 26)

1

lim0 x x

e e

x







On pose : ^{f x}

 

^{ex1 donc : f}

 

^{0 e0 1 e1 e}

Et : ^f

  

^{x  x1}



^{ex1 1ex1 ex1 et f}

 

^{0 e}

Donc : ¹      

0 0

lim lim 0 0

0

x

x x

f x f

e e

f e

x x



 

     



Exercice4 : Déterminer les dérivées des fonctions suivantes : 1) f x( )  e ^2x1

2)

2 2 3 1

( ) ^x 3 ^x

g x e^  e ^ 3)

1

( ) 3

x

h x e x



  

4) ^{f x} ^



^ex4



^ex1

Solutions : 1) f x( ) e ^2x1

la fonction : u₁:x  2x1est dérivable sur

1; 2

 

 

 et

 

1

2 1 1

( ) 2 2 1 2 1

u x x

x x

 

  

 

Donc la fonction f est dérivable sur 1;

2

 

 

 et ( ) ^{1 2 1}

2 1

f x e x

x

  



2) g x( )e^2x2 3e^3x1les fonctions:

2

1: 2

u x  x et u₂:x3x1sont dérivables sur et on a :

1 ( ) 4

u x   xet u₂( )x 3

Donc la fonction g est dérivable sur et

2 2 3 1

( ) 4 ^x 9 ^x

g x   xe^  e ^

3)

1

( ) 3

x

h x e x



  

la fonction : 1

: 3

u x x

x

 

  est dérivable sur



^3;



^et



^;3



^et

 ²

( ) 4

3 u x

x

 

