Mathématique ECS 1 23 mars 2018
Devoir libre 11.
Pour le 6 avril 2018.
Exercice 1. On considère la fonctionf définie parf(x) = Arctan
2(1−x) 2x−x2
. (1) Quel est le domaine de définition def? On le noteD.
(2) Etablir, pour tout réelx∈D, f(2−x) =−f(x). Quelle interprétation géométrique peut on faire de cette égalité ? (3) Etudier les variations def surD∩[1,+∞[et représenter soigneusement la courbe représentative def dans un repère
orthonormé(O,~i,~j).
(4) Factoriser dans R[X]le polynômeP(X) = (2X−X2)2+ 4(1−X)2 et obtenir une expression simplifiée def0(x).
(5) Exprimer alorsf(x)en fonction deArctan(x−1)suivant les valeurs de x.
Exercice 2. Dans cet exercice,ndésigne un entier naturel non nul etEdésigne l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à2net pdésigne un entier supérieur ou égal à2.
Sia0, a1, . . . , a2n sont2n+ 1réels etQest le polynôme deR[X]par :Q(X) =
2n
X
k=0
akXk,on définit le polynômeQb par :
Q(Xb ) =
2n
X
k=0
a2n−kXk.
On désigne parΩl’ensemble des éléments deEdont les coefficients sont des entiers de l’intervalleJ1, pK, parAl’ensemble des parties deΩet parPla probabilité uniforme surA: pour tout polynômeQdeΩ,
P({Q}) = 1 card(Ω)
SiQest un élément deΩetiun entier naturel non nul, on dit queQetQbprésententicoincidences lorsqu’il existe exactement ientiersk qui vérifientak=a2n−k.
On définit alors la variable aléatoireZ qui, à tout polynôme QdeΩ, associe le nombre de coincidences entreQet Q.b (1) On suppose dans cette question seulementn= 2. CalculerZ(Q)lorsqueQ(X) =−1−3X+ 2X3+X4, puis lorsque
Q(X) = 1 +X−X2+X3+X4 et enfin lorsqueQ(X) = 1 + 5X+ 2X2+ 7X3+X4. (2) On retourne au cas général. Calculer le cardinal deΩ.
(3) Montrer que la valeur minimale que peut prendreZ est 1 et justifier l’égalité suivante :
P([Z= 1]) = p−1
p n
(4) Montrer que la valeur maximale que peut prendreZ est 2n+ 1 et justifier l’égalité suivante :
P([Z = 2n+ 1]) = 1 pn
(5) Montrer queZ ne peut prendre que des valeurs impaires et, pour un entierj vérifiant0 ≤j ≤n, calculerP([Z = 2j+ 1]).
(6) On poseY = Z−1
2 . Montrer queY suit une loi binomiale dont on précisera les paramêtres.
En déduire l’espérance et la variance de Z en fonction denet de p.
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