b =− 84  42 ; 3200 

2nde Correction DM n°9 Partie A

1. Graphiquement on voit que le point de la courbe qui a pour abscisse 70 a pour ordonnée 4000.

Donc la fabrication de 70 lots entraine un coût unitaire de 4000 €.

Graphiquement, on voit qu'on a aussi un coût unitaire de fabrication de 4000 € pour 14 lots.

2. Graphiquement on voit que le point de la courbe le plus bas a pour coordonnées 42;3200, donc le coût unitaire est minimal pour la fabrication de 42 lots et ce coût est de 3200 €.

3. L'énoncé s'écrit sous la forme f100=6600 or f100=100²b×1005000

donc on a à résoudre 100²b×1005000=6600 ce qui donne 100b=−8400 d'où b=−84 . On a donc le coût unitaire qui est donnée pour tout x par fx=x²−84x5000

Partie B

1. a. On connait la formule : Coût total=Quantité×Coût unitaire

On obtient donc ici Cx=x×fx et donc Cx=x×x²−84x5000=x³−84x²5000x b.

2. a. La recette est de 5000 € par lot, donc pour x lots vendus, la recette est, en euros, Rx=5000x. b. Voir le graphique précédent.

3. a. Pour 40 lots, la recette est,en euros, R40=5000×40=200000 , et le coût total est, en euros, C40=40³−84×40²5000×40=129600 . Cela nous fait donc pour bénéfice en euros : 200000−129600=70400 .

b. L'entreprise ne travaille pas à perte revient à dire que la recette est supérieure au coût total, donc il faut regarder sur le graphique pour quel intervalle la courbe de R est au-dessus de celle de C.

C'est le cas sur l'intervalle [0;84], donc pour un nombre de lots entre 0 et 84.

c. Bénéfice=Recette−Coût total donc graphiquement le bénéfice correspond à la distance verticale entre les deux courbes. On obtient le bénéfice maximal lorsque cette distance verticale est maximale, et donc en mesurant, c'est ce qui arrive en x=55 . Le bénéfice est donc maximal pour 55 lots (précisément 56 en fait) 4. a. Bénéfice=Recette−Coût total ce qui donne ici Bx=Rx−Cx=5000x−x³−84x²5000x

d'où en développant et réduisant Bx=−x³84x². b. Bx0 ⇔ −x³84x²0 ⇔ x²−x840

x² étant toujours positif, cela revient à −x840 et donc à x84 .

En tenant compte du fait que x est positif, on retrouve le résultat de la question 3.b. : le bénéfice est positif (l'entreprise ne travaille pas à perte) pour 0x84 (le nombre de lots est entre 0 et 84)

-15 -10 -5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100105 -80 000

-40 000 40 000 80 000 120 000 160 000 200 000 240 000 280 000 320 000 360 000 400 000 440 000 480 000 520 000 560 000 600 000 640 000 680 000

Courbe de C

Courbe de R

Barême : Devoir sur 11, difficile de faire plus bas Partie A

1. 1 pt

2. 1 pt

3. 1 pt

Partie B

1.a. 1 pt

1.b. 1 pt pour la courbe de C 2.a. 0,5 pt

2.b. 0,5 pt pour la courbe de R 3.a. 1 pt

3.b. 1 pt 3.c. 1 pt 4.a. 1 pt 4.b. 1 pt