Fonctions réelles

MPSI A 2004-2005

Feuille d’exercices

Fonctions réelles

I Fonctions usuelles

Exercice 1: Tracer la courbe représentative de la fonction x7→arccos cos x.

Exercice 2: Simplifier arctan x+arctan¹_x arccos

q1+cos x

2 , arctan^1+x_1−x. Exercice 3: Simplifier arctan a+arctan b−arctan_1−ab^a+b pour ab6=1 :

1. en dérivant ;

2. en utilisant la trigonométrie.

Exercice 4: Montrer que ^π₄ =arctan¹₂+arctan¹₃ =4 arctan¹₅−arctan₂₃₉¹ . Exercice 5: Résoudre√

3 cos x−sin x≤1, arcsin⁴₅+arcsin₁₃⁵ =arcsin x, arcsin x− arccos x=2 arctan 2x−^π₂.

Exercice 6: Simplifier

∑

cosh(a+kb),

∑

sinh(a+kb),

∑

k cosh kb.

Exercice 7: [fonctions hyperboliques réciproques]

Soitcosh :g [0,+∞[→[1,+∞[.

1. Montrer quecosh est bijective. On note arg cosh la fonction réciproque. Exprimerg arg cosh en fonction de ln et√

x²−1. Calculer sa dérivée.

2. Soit arg sinh la fonction réciproque de sinh. Exprimer arg sinh en fonction de ln et√ x²+1.

3. Soit x∈]−1,1[. Exprimer arg tanh x en fonction de ln.

4. Soit x∈]−^π₂,^π₂[. Montrer 2 arctan tanh x=arctan sinh 2x, arg tanh sin|x|=arg cosh_{cos x}¹ .

II Généralités sur les fonctions réelles

Exercice 8: Calculer les parties paires et impaires de x7→

r1+x

1−x sur]−1,1[.

Exercice 9: Soit f : R→R la fonction définie par f(x) =cos^x₃+sin^x₂. Montrer que f est périodique et trouver sa plus petite période.

Exercice 10: Soit I un intervalle borné.

1

1. Montrer que pour tout entier n≥1 et tous réels x, y xⁿ−yⁿ= (x−y)

∑

x^ky^n−k−1.

(On pourra introduire une suite géométrique.)

2. Montrer que la fonction x7→xⁿest lipschitzienne sur I.

3. En déduire qu’une fonction polynômiale est lipschitzienne sur tout intervalle borné.

Exercice 11: Déterminer les applications f : R−→R qui vérifient pour tous x, y∈R

|f(x)−f(y)|=|x−y|.

III Fonctions convexes

Exercice 12: Soient a, b>1 ; Montrer que lna+b

2 ≥√

ln a ln b.

Exercice 13: Soient x₁, x₂,. . .,x_ndes réels strictement positifs. Montrer que n

1

x1+· · ·+_x¹

n

≤(x₁· · ·x_n)¹ⁿ ≤ x1+· · ·+xn

n .

Exercice 14: Soit f une fonction deux fois dérivable sur R, bornée et non-constante ; Montrer qu’il existe deux réels x et y tels que f⁰⁰(x)f⁰⁰(y)<0.

Exercice 15: [Inégalités de Hölder et Minkowski] Soient p,q∈]1,+∞[tels que ¹_p+¹_q =1.

1. Montrer que t7→t^pest convexe. En déduire l’inégalité de Hölder :

∑

a_kb_k≤ Ã n

k=1

∑

a_k^p

!¹

pÃ

∑

b^q_k

!¹

q

où les a_ket les b_ksont des réels positifs.

2. Montrer que t 7→(1−t^1p)^p est convexe sur [0,1]. En déduire l’inégalité de Min-

kowski Ã

∑

(a_k+b_k)^p

!¹

p

≤ Ã n

k=1

∑

a_k^p

!¹

p

+ Ã n

k=1

∑

b_k^p

!¹

p

où où les a_k et les b_k sont des réels positifs.

3. Montrer que pour tous a, b>0 a^p

p +b^q q ≥ab.

(Appliquer la fonction ln.) Cas d’égalité ?

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