I4 –Les inéquations
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LES INEQUATIONS 1
A l’aide d’étude de fonctions, établir l’inégalité suivante : Pour tout réel strictement positif ∶ 1
+ 1 ≤ ln + 1 − ln ≤ 1
Méthode
!"#" $ %"# &#" !# % '# ( + ) − ( − )
( + ) ≥ +
%& '# )
( − [( + ) − (] ≥ +
)è/0 12é34516é : ( + ) − ( − )
( + ) ≥ + On pose 9 = ln + 1 − ln − 1
+ 1 9 est définie sur ]0; +∞[
Etape 1 : calculons 9′
9′ = 1 + 1 −1
+ 1
+ 1? = + 1
+ 1? − + 1?
+ 1?+ + 1?
= ? + − ?− 2 − 1 +
+ 1? = −1 + 1?
Etape 2 : étudions le signe de la dérivée
0 +∞
−1 −
+
+ 1² +
9′ −
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2
Etape 3 : Déduisons-en les variations de 9 0 +∞
9′ −
9
Etape 4 : Déterminer le signe de 9 en calculant la limite en +∞
9 = ln + 1 − ln − 1 + 1 9 = ln B + 1
C − 1 + 1
D→FGlim
+ 1 = limD→FG H1 + 1I
= limD→FG1 +1 = 1
J→Klimln L = 0
D→FGlim −1 = −1
D→FGlim + 1 = +∞
Par sommeD→FGlim 9 = 0
0 +∞
9′ −
9 0 On a donc prouvé que 9 > 0
Par quotient 1 + 1 = 0
Par composée limD→FGln B + 1 C = 0
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PèQ0 12é34516é : )
3
( − [52( + ) − 52 (] ≥ + On pose R =1
− [ln + 1 − ln ] ≥ 0 R est définie sur ]0; +∞[
Etape 1 : calculons R′
R′ =−1
? − B 1 + 1 −1
C
= −1 ? − 1
+ 1 +1
= −1 × + 1
² + 1 − 1 × ²
² + 1 +1 × + 1 ² + 1
= − − 1 − ?+ ?+ ² + 1
= −1 ² + 1
Etape 2 : étudions le signe de la dérivée
0 +∞
−1 −
² +
+ 1 +
R′ −
Etape 3 : Déduisons-en les variations de R 0 +∞
R′ −
R
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Etape 4 : Déterminer le signe de R en calculant la limite en +∞
4
R =1
− [ln + 1 − ln ] = 1
− Tln B + 1 CU
D→FGlim + 1
= limD→FG H1 + 1I
= limD→FG1 +1 = 1
J→Klimln L = 0
D→FGlim 1 = 1
D→FGlim = +∞
Par sommeD→FGlim R = 0
0 +∞
R′ −
R 0 On a donc prouvé que 9 > 0
On a démontré que ln + 1 − ln − 1
+ 1 > 0 et que 1
− [ln + 1 − ln ] > 0 Donc on peut en déduire que 1
+ 1 ≤ ln + 1 − ln ≤ 1 Par quotient 1
= 0
Par composée limD→FGln B + 1 C = 0
