LES INEQUATIONS

(1)

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LES INEQUATIONS 1

Exercice

Résoudre les inéquations suivantes :

) ln(3 + 1) ≤ ln(2 − 1) ) ≤ + 12

)

+ 1 + 1

( − 1) ≤ 1

) √ + 5 ≥ ² − 4 ) 2− 5+ 3 > 0 ) (ln )² ≤ 2 + ln ) 6+ − 5 > 0

ℎ)

² + 1 ≤

− 1 ( − 1)²

!) 5 "1 3#

≤ 10^$%

&)

+ 1 ≤ + 1 − 1

(2)

CORRECTION 2

') ()(*+ + ,) ≤ ()(-+ − ,)

On cherche l’ensemble de définition de l’inéquation On résout 3 + 1 > 0 ⇔ > −^$_/ et 2 − 1 > 0 >^$ L³inéquation est définie sur > 1

2 ; +∞A

Résolution :

ln(3 + 1) ≤ ln(2 − 1) ⇔ 3 + 1 ≤ 2 − 1 ⇔ 3 − 2 ≤ −1 − 1 ⇔ ≤ −2 B = ∅

E) F^-+≤ F⁺+ ,-

L’inéquation est définie sur ℝ. ≤ + 12

⇔ − − 12 ≤ 0 ⇔ ( )² − − 12 ≤ 0

On effectue un changement de variable en posant H = Soit :

( )² − − 12 ≤ 0 ⇔ H− H − 12 ≤ 0 Calcul du discriminant ∆

∆= ² − 4 = (−1)− 4 × (1) × (−12) = 1 + 48 = 49

∆> 0 donc H − H − 12 = 0 admet deux racines.

H_$ =1 − 7

2 = −3 et H = 1 + 7 2 = 4 Or H = donc ^R = −3 S ^T = 4 ^R = −3 ⇒ !VWXYY!Z

S ^T = 4 ⇔ = ln 4

−∞ ln 4 +∞

( )² − − 12 − + B = [−∞ ; ln 4 [

(3)

3

\) +

+ + , + ,

+(+ − ,) ≤ ,

On cherche l’ensemble de définition de l’inéquation

On résout + 1 ≠ 0 ⇔ ≠ −1 S ≠ 0 S − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 L³inéquation est définie sur ℝ \ _−1; 0; 1`

Résolution : + 1 + 1

( − 1) ≤ 1

⇔

+ 1 + 1

( − 1) − 1 ≤ 0

⇔ × ( − 1)

( + 1)( − 1) + 1 × ( + 1)

( + 1)( − 1) −1 × ( + 1)( − 1) ( + 1)( − 1) ≤ 0

⇔(− ) + ² + − (− 1)

( + 1)( − 1) ≤ 0 ⇔^/− + + − ^/+ ( + 1)( − 1) ≤ 0

⇔^/ − + + − ^/ +

( + 1)( − 1) ≤ 0 ⇔ 2

( + 1)( − 1) ≤ 0

On résout chaque membre : 2 = 0 ⇔ = 0

a

+ 1 ≠ 0 ⇔ ≠ −1 ≠ 0 − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1

Soit le tableau de signe suivant :

−∞ −1 0 1 +∞

2 − − + + − − + + + 1 − + + + − 1 − − − +

2

( + 1)( − 1) + − − + B = [−1 ; 0 b ∪ [ 0 ; 1 b

(4)

d) √+ + e ≥ +² f

4

On résout 5 0 ⇔ 5 S 4 0 ⇔ 2 2 0

∞ 2 2 ∞

2

2 2

-5 -2 2

L³inéquation est définie sur b5 ; 2 [ Résolution :

√ 5 ² 4

⇔ g 5h i 4j

⇔ 5 4

⇔ 0 4 5

⇔ ² 9 0

Calcul du discriminant ∆

∆C ² 4 C 1 4 J 1 J 9 C 1 36 C 37

∆ 0 donc ² 9 C 0 admet deux racines.

_$ C1 √37

2 k 2,5 et C1 √37 2 k 3,5 Soit le tableau de signe suivant :

5 _$ 2

² 9

B C m1 √37 2 ; 2 n

(5)

F -F^-+ eF⁺ * o

5

L’inéquation est définie sur ℝ. 2− 5+ 3 > 0

⇔2()² − 5+ 3 > 0

On effectue un changement de variable en posant H C Soit :

2()² − 5+ 3 > 0 ⇔ 2H − 5H + 3 > 0 Calcul du discriminant ∆

∆= ² − 4 = (−5)− 4 × 2 × 3 = 25 − 24 = 1

∆> 0 donc 2H − 5H + 3 = 0 admet deux racines.

H_$ C5 − 1

4 = 1 et H =5 + 1 4 =6

4 = 3 2

Or H C donc ^R C1 et ^T =^/ ^R C1 ⇔ _$ = ln 1 = 0

S ^T C 3

2 ⇔ = ln "3 2#

∞ 0 ln i^/j ∞ 2− 5+ 3

B C [∞ ; 0b ∪ >ln "3

2# ; +∞ A

p () +² ≤ - + () +

L’inéquation est définie sur ℝ^∗.

ln )² ≤ 2 + ln ⇔ ln )² − ln − 2 ≤ 0

(6)

On effectue un changement de variable en posant H Cln

6

Soit :

(ln )² − ln − 2 ≤ 0 ⇔ H− H − 2 ≤ 0 Calcul du discriminant ∆

∆= ² − 4 = (−1)− 4 × 1 × (−2) = 1 + 8 = 9

∆> 0 donc H − H − 2 = 0 admet deux racines.

H_$ C1 − 3

2 = −1 et H = 1 + 3 2 = 2

Or H Cln donc ln _$ = − 1 et ln = 2 ln _$ = − 1 ⇔ _$ = ^$ =1

et ln = 2 ⇔ =

∞ ^$

r ∞ ln )² − ln − 2

B C A1 ∶ >

t uF⁺ F⁺ e o

L’inéquation est définie sur ℝ. 6+ − 5 > 0

⇔ 6

+ − 5 > 0 ⇔ 6

+()² −5

> 0 ⇔ ()² − 5+ 6 > 0

On effectue un changement de variable en posant H C pour déterminer les valeurs qui annulent le numérateur.

Soit :

()² − 5+ 6 ⇔ H− 5H + 6

(7)

Calcul du discriminant ∆

7

∆= ² − 4 = (−5)− 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1

∆> 0 donc H − 5H + 6 = 0 admet deux racines.

H_$ C5 − 1

2 = 2 et H =5 + 1 2 = 3 Or H C donc ^R C2 et ^T = 3

^R C2 ⇔ _$ = ln 2 et ^T = 3 ⇔ = ln 3

Avec ≠ 0 (pour le dénominateur) ⇒toujours vrai.

∞ ln 2 ln 3 ∞ ² − 5+ 6

² − 5+ 6

B C [∞ ; ln 2 [ ∪ bln 3 ; +∞ b

y +

+² + , ≤ + − , (+ − ,)²

On résout ² + 1 ≠ 0 ⇒ toujours vrai et ( − 1)² ≠ 0 S − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 L³inéquation est définie sur ℝ \ _1`

Résolution :

1 ≤ − 1

( − 1) ⇔

+ 1 − − 1 ( − 1) ≤ 0

⇔ 1)

(+ 1)( − 1)− ( − 1)(+ 1)

( − 1) (+ 1) ≤ 0 ⇔^/− 2 + − ^/− + + 1 (+ 1)( − 1) ≤ 0

⇔ 1 − ²

(+ 1)( − 1) ≤ 0 ⇔ (1 − )(1 + ) ( + 1)( − 1) ≤ 0

(8)

8

On résout chaque membre : z 1 − = 0 ⇔ = 1

1 + = 0 ⇔ = −1 {1 ≠ 0 ⇒ toujours vrai − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 Soit le tableau de signe suivant :

∞ 1 1 ∞ 1 −

1 + 1

1) 1 − )(1 + )

(+ 1)( − 1) B C [∞ ; −1 [ ∪ [ 1 ; +∞ b

| e ",

*#

+ ,o^,o

L’inéquation est définie sur ℝ.

Pour résoudre cette inéquation, on utilise la propriété suivante :

'

⁺

C F

^{+J() '}

Soit : 5 "1

3#

≤ 10^$%

⇔ 5 ×^J}~i^R^j 10^$% ⇔ ^×}~i^R^j ≤^$%^R

⇔ ^J}~i$/j 10 × 10^$$

5 ⇔ ^×}~i$/j ≤ 2 × 10^$$

⇔ ln "^×}~i$/j# ≤ ln(2 × 10^$$)

Pour rappel : () F

^'

C '

⇔ Jln "1

3# ≤ ln(2 × 10^$$) ⇔ ≤ ln(2 × 10^$$)

ln i13j ⇔ ≤ ln "2 × 10^$$− 1 3#

B C >∞ ; ln "2 × 10^$$− 1 3# >

(9)

9

+

+ , + , + ,

On résout 1 ≠ 0 ⇔ ≠ −1 et − 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1

L³inéquation est définie sur ℝ \ _−1 ; 1`

Résolution : 1 ≤ + 1

− 1 ⇔

+ 1 − + 1 − 1 ≤ 0

⇔ ( − 1)

( + 1)( − 1) −( + 1)( − 1)

( − 1)( + 1) ≤ 0 ⇔² − − (+ 2 + 1) ( + 1)( − 1) ≤ 0

⇔² − − − 2 − 1

( + 1)( − 1) ≤ 0 ⇔ −3 − 1

( + 1)( − 1) ≤ 0

On résout chaque membre : 3 − 1 = 0 ⇔ = −1

3 z 1 ≠ 0 ⇔ ≠ −1

− 1 ≠ 0 ⇔ ≠ 1 Soit le tableau de signe suivant :

∞ 1 ^$_/ 1 ∞ 3 − 1

1 1 3 − 1

( + 1)( − 1)

B C >1 ; −1

3 > ∪ [ 1 ; +∞ b