MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

(1)

1

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Bernard CLÉMENT, P h D

•

définition

• fonction de répartition

• variable aléatoire discrète

• moyenne - variance - écart type

• espérance mathématique

• variable aléatoire continue

• fonction d’une variable aléatoire : transformation

• combinaison linéaire de variables aléatoires

VARIABLES ALÉATOIRES

2

Définition

E : expérience aléatoire S : espace échantillonnal associé X fonction de S dans les nombres réels ( R )

X est une variable aléatoire ; X( o ) est un nombre réel Exemple : lancement d’une pièce de monnaie 3 fois

X = nombre de fois « P I L E » X = 0, 1, 2, 3

S

^FFF_FFP

FPF PFF FPP PFP PPF PPP

F : Face

P : Pile

0 1 2 3

Les probabilités sur S se transportent

sur R

R

3

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Fonction de répartition

X une v,a, x une valeur (réelle) prise par X

Événement : { X ≤ x }

F

_X

( x ) = P

_X

( X ≤ x ) : fonction de répartition propriétés

1. 0 ≤ F

_X

( x )

≤

1 2. x - ∞

^F_X

(x) 0

x

∞

^F_X^(x) ¹

3. F

X

^(x)

non décroissante 4.

F X^(x)

continue à droite

x

X discrète

1

X continue

4

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE

X est une v,a, discrète si elle prend un nombre fini ou infini de valeurs distinctes généralement des entiers 0, 1, 2, 3, 4, …

Exemples (comptages)

• nombre de défauts de surface ;

• nombre de versions d'un dessin de définition pendant une année;

• nombre de pièces non conformes dans un lot de 500 ;

• nombre de pièces en attente devant une machine;

• nombre de cotes ambiguës,

Fonction de masse p

_X

(x) = P

_X

( X = x) p

_X

(x)

≥

0 Fonction de répartition F

_x

( u ) = ∑

^p_X^(x)

Distributions importantes Binomiale - Poisson - Hypergéométrique

(2)

5

VARIABLE ALÉATOIRE DISCRÈTE Binomiale

X le nombre de succès dans une suite de n essais de

Bernoulli avec une probabilité commune de succès de θ X i la variable associée au i-ème succès

X

₁

, X

₂

, …,, X

_n

indépendantes X = ∑ X

_i

X est une variable binomiale X ~ b (n ,

θ)

p x

( ^x ) = [ n! / x ! ( n- x) ! ]

θx

( 1 –

θ

)

^{n – x}

F

_X

( x ) = ∑ ^[

n! / k ! ( n- k ) ! ] θk_{( 1 –}_θ₎n – k k = 0

x masse

répartition

étude détaillée - chapitre des lois discrètes

6

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

F ∩ E ₃

Exemple : n = 30 θ = 0,30

Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)

binom

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18

7

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

moyenne - variance - écart type

Moyenne :

E [ X ] = µ =

∑ x p

_X

(x )

premier moment par rapport à l’origine – centre de masse

Exemple : X ~ b i nom ( n, θ )

E [ X ]

= n θ en général / n n = 30

θ= 0,3 E [ X ] = 9

Variance

: Var [ X ] = σ²

= ∑

^{( x - µ}

⁾

²^p_X^{(x ) =}

∑ ^x

²

^p

_X

^{(x )}

^-

^µ

²

Exemple : X ~ b i nom ( n, θ )

σ2 _{= n θ}_{( 1 -}_θ) en général

n = 30 θ= 0,3 Var [ X ] = σ2 _{= 6,3}

Écart type

: ET [ X ] = σ =

√

^{Var [ X ]}

Exemple : X ~ b i nom ( n = 30 , θ= 0,3 ) ET [ X ] = σ = 2,51

8

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Espérance mathématique

X v,a, discrète p X(x) sa fonction de masse associée h fonction de R dans R h : R R

E [ h(X) ] = ∑ h(x) p

_X

(x)

: espérance mathématique de h

Cas particuliers E [ h( X ) ]

h( x ) = x

moyenne µ

h ( x ) =

x ²

2 ième moment par rapport è l’origine 0 h ( x ) = ( x - µ )

²

variance

h ( x ) = x

^k

k - ième moment par rapport à l’origine

h ( x ) = ( x –

µ ) ^k

k – ième moment par rapport à la moyenne

µ

(3)

9

Espérance mathématique

Exemple 1 : soumission pour la réalisation d'un travail d’ingénierie X v.a. « nombre de jours requis pour le travail », Vous estimez vos « probabilités »

x < 3 3 4 5 6 total p(x) 0 1/8 4/8 2/8 1/8 1

Y = profit net = φ(X) dépend du nombre de jours X pris pour réaliser le travail

x 3 4 5 6___

Y = φ(x) 10K$ 3K$ 0,7K$ -1,5K$

Profit net moyen = ?

E( Y ) = 10K$ *1/8 + 3K$ * 4/8 + 0,7K$ * 2/8 + (-1,5K$) * 1/8 = 2,73K$

10

Exemple 2: -vous achetez des billets du spectacle des « RS » à 40,00$ dans l'espoir de les revendre 70,00$ le soir du spectacle.,

- estimation de la demande billets X

0,08 0,12 0,18 0,32 0,16 0,08 0,04 0,02 probabilité p(x)

30 29 28 27 26 25 24 23 nombre billets x

Combien de billets S acheter pour minimiser les pertes ? -Vous perdez 40$/billet si vous stockez trop de billets: x ≤ S

-Vous 30$/billet (profit) si vous ne stockez pas assez de billets: x ≥ S+1

= =+

− +

−

=

s

x x s

X

x x s p x

p x s s

X L E

23

30

1

) ( ) ( 30 )

( ) ( 40 )]

, ( [

Fonction de perte L (x, s):

L(x, s) = 40 (s - x ) si 23 ≤ x ≤ s stock excessif L(x, s) = (70 - 40) (x – s) si s+1 ≤ x

≤ 30 stock manquant

perte moyenne E(L)

Quelle valeur de S minimise E(L) ?

11

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple 2:

suite

S

∑40(s – x)p(x) ∑30(x –s)p(x) E [ L(X,s) ] 23 0,00 124,20 124,20 24 0,80 94,80 95,60

25 3,20 66,60 69,90 26 8,80 40,80 49,60

27 20,80 19,20 40,60 minimum 28 45,60 6,20 51,60

29 77,60 0,00 77,60 30 114,40 0,00 114,40 nouvelle distribution de probabilité

x 23 24 25 26 27 28 29 30 prob 0,30 0,20 0,15 0,12 0,10 0,08 0,04 0,01 solution optimale devient S = 24

12

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c ) L'espace de la v,a, X est un intervalle sur les nombres réels

sa fonction de répartition FX( x ) est dérivable

La dérivée de F_X( x ) notée f X est la densité de X

Exemples (mesures)

- température réelle d'un recuit ;

- longueur extrudée avant perte de contrôle ; - volume réel du réservoir

- temps requis pour finaliser une conception ;

- tension d'un hauban,

(4)

13

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

VARIABLE ALÉATOIRE CONTINUE ( v,a,c )

[ ⁽ ⁾ ⁽ ⁾ ] ⁰

0 ) lim

( + ∆ − =

→

= ∆

= F x x F x

x x X

P

_X _X _X

) ( )

( F x

dx x d

f

_X

=

_X

∫

∞

=

x X

X x f t dt

F

( ) ( )

x

f _X _∫

_R_X

^f

^X

⁽ ^x ⁾ ^dx ⁼ ¹

∞

∫

=

^x

xf

_X

t dt X

E ( ) ( ) µ

⁺

∫

^∞

∞

−

= x f x dx X

VAR [ ] ( µ )

²

( ) =

⁺

∫

^∞ ²

( ) − µ

²

∞

dx x f x

_X

=

≤

b

a

dx x f b

x a

P

( ) ( )

14

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple : loi uniforme (équiprobabilité)

a b X

f

_X( x ) = 0 si

X ≤ a ou X ≥ b

= k si a

≤ X ≤ b

k = ?

k = 1 / ( b – a ) , E ( X ) = ( a + b )

/ 2 ,

Var ( X ) = ( b – a )

²

/ 12 F

_X

( x ) = 0 si

X ≤a

= ( x – a )

/ ( b – a ) si a ≤ X ≤ b

= 1 si X ≥b

Application générateurs de nombres (pseudo) aléatoires de la loi uniforme méthode linéaire congruente : I _{i + 1}= ( a I _i+ b ) mod m i = 0, 1, 2,…

À choisir : a, b, m , I₀ ( semence ) ;

u

_i

= I

_i

/ m

employé pour la SIMULATION

:

Statistica fonction Rnd

a b

15

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Fonction d’une variable aléatoire X v,a, sur S et d’espace image R

_X

( réels )

Y = φ ( X ) une transformation ( fonction ) est une v,a, l’espace image est R

_Y

; E

_Y

événement dans R

_Y

Alors P

_Y

( E

_Y

) = P

_X

( { x dans R

_X

: φ ( x ) dans E

_Y

} )

Exemple: X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle ( 1,00 à 1,01 ) f _X( x ) = 100 1,00 ≤ x ≤ 1,01

= 0 autrement

Y = aire de la section = π ( X / 2)

²

= 0,25

πX ²

varie dans l’intervalle ( 0,25 π , 0,255025 π ) Quelle est la probabilité que Y varie entre 0,252 π

et

0,254 π ?

réponse :

P ( 0,252

π ≤

Y

≤0,254 π) = P ( 1,00399 ≤X ≤1,00797 )

= 100 ( 0,00398) = 0,398

16

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Fonction d’une variable aléatoire discrète

R

_X

Y = φ (X) R

_Y

x

_i1

. x

_i2

.

x

_{i3 .}

.

Y _j

. . .

.

. . . .

Ω

∈

=

k j i

k

x

i X j

Y j

Y y P Y y P x

p ( ) ( ) ( )

(5)

17

Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle f

_x

(x ) = λ e

^–^λ^x

x ≥ 0

= 0 x < 0

[ ]

⁼

∫

^∞ ⁻ ⁼⁻ ⁻ ^∞⁺

∫

^∞ ⁻ ⁼

0 0

1

0 λ

λe ^λ dx xe ^λ e ^λ dx x

X

E ^x ^x ^x

[ ]

2

0

2 1

∫

∞



 



−

= x λ e ^λ dx λ

X

Var ^x

= 1 / λ

²

Le temps X jusqu'à la défaillance (ex, tube à rayons cathodiques) X durée vie suit une loi exponentielle, λ taux de défaillance Posons : Y variable Bernoulli définie par le fait que X excède ou non sa durée moyenne 1/ λ

,

Y = 0 si X ≤ 1 / λ

= 1 si X > 1 / λ

18

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

probabilités de Y

Exemple : tir de Bernoulli sur loi exponentielle (suite)

∫

⁼⁻ ⁼ ⁻ ^≈

= ⁻ ⁻ ⁻

λ

/ 1

0

1

0 . 6321 1

0 / ) 1

0 (

e dt e e

p_Y ^t ^t

3679 . / 0

) 1 1 (

/ 1

1≈

∞ =

−

=

∫

^∞ ⁻ ⁻ ⁻

λ

λ λ

λ

e dt e

λ

e

p_Y ^t ^t

19

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Fonction continue d’une V,A, continue

X v.a.c densité

f

_x φ fonction continue Y = φ(X) Y est une v.a.c Densité f _Y= ? Pour la trouver la densité il faut :

1. Obtenir F _Y(y) = P( Y ≤y ) par l'événement de R _Xéquivalent à (Y ≤y) dans R_y 2. Dériver F _Y(y) par rapport à y pour obtenir la fonction de densité f_y 3. Trouver l'espace image de cette v.a.c.

THÉORÈME Si est une v.a.c de densité f _xtelle que f _x> 0 pour a < x < b et y =φ(x ) est une fonction continue strictement monotone, alors la v.a.c Y = φ( X) possède une densité

dy x dx f y

f

_Y

( ) =

_X

( ) •

avec x =φ^{- 1}(y ) exprimé en terme de y

20

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Fonction continue d’une V,A, continue (suite)

dy x dx f y

f_Y ( )= _X( )•

Exemple: X diamètre d’un fil - distribution uniforme intervalle 1,00 à 1,01 f _X( x ) = 100 1,00 ≤ x ≤ 1,01

= 0 autrement

Y = aire de la section = π ( X / 2)

²

= 0,25 π X

²

varie dans l’intervalle 0,250000 π = 0,78540 quand x = 1,00

à 0,255025 π = 0,80118 quand x = 1,01 transformation inverse X = Y

^0,5

/ ^{0,25 π}

dx / dy = 1 / (2 y

^0,5

0,25 π ) = ( 1/ 0,50 π ) y

^{- 0,5}

= 0,6366 y

^{- 0,5} 1,00 1,01 X 0

100

0

f

_y

(y ) = 100 ( 0,6366 y

^{- 0,5}

)

=

63,66

y^{- 0,5}

Y

0 0

71,28

67,86

(6)

21

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Combinaison linéaire de variables aléatoires indépendantes

a

₁

, a

₂

, …, a

_n

constantes

X ₁

,

X₂

, …,

X _n variables aléatoires discrètes ou continues indépendantes

W = ∑ a

_i

X

_i

combinaison linéaire Théorème E ( X

_i

) = µ

_i

moyenne de X

_i

Var( X

_i

) = σ

_i²

variance de X i alors

−

 =

 



 





ⁿ

i

i i n

i

X a

a E

1 1

µ

−

 =

 



 





ⁿ

i

i i n

i

X a

a Var

1

2 2 1

σ

22

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

exemple

PROBABILITÉES CONJOINTESP(X=x_j;Y=y_j)variables

0,10 0,10 0,10 0,30 0,20 0,15 0,05 1,00

0,20 0,0200 0,0200 0,0200 0,0600 0,0400 0,0300 0,0100 0,20 6

0,20 0,0200 0,0200 0,0200 0,0600 0,0400 0,0300 0,0100 0,20 5

0,15 0,0150 0,0150 0,0150 0,0450 0,0300 0,0225 0,0075 0,15 4

0,30 0,0300 0,0300 0,0300 0,0900 0,0600 0,0450 0,0105 0,30 3

0,10 0,0100 0,0100 0,0100 0,0300 0,0200 0,0150 0,0050 0,10 2

0,05 0,0050 0,0050 0,0050 0,0150 0,0100 0,0075 0,0025 0,05 1

1,00 0,10 0,10 0,10 0,30 0,20 0,15

prob 0,05

Y

14 13 10 9 6 5

X 3

probabilités conjointes p(x,y) modèle : X Y variables indépendantes

Moyenne et variance de W = 4X + 3Y ?

p(X=6, Y = 4)

= p(X=6)

*

^p(Y=4)

= 0,20* 0,15

= 0,0300

23

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple

suite

74 70 58 54 42 38 30 18 18

71 67 55 51 39 35 27 15 15

68 64 52 48 36 32 24 12 12

65 61 49 45 33 29 21 9 9

62 58 46 42 30 26 18 6 6

59 55 43 39 27 23 15 3 3

56 52 40 36 24 20

4X 12

3Y

14 13 10 9 6 5 X 3

valeurs de W = 4 X + 3 Y

24

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Exemple suite

45,85 E(W) = E(Y) = 3,95

1,480 1,400 1,160 3,240 1,680 1,140 0,300 6 1,20

1,420 1,340 1,100 3,060 1,560 1,050 0,270 5 1,00

1,020 0,960 0,780 2,160 1,080 0,720 0,180 4 0,60

1,950 1,830 1,470 4,050 1,980 1,305 0,315 3 0,90

0,620 0,580 0,460 1,260 0,600 0,390 0,090 2 0,20

0,295 0,275 0,215 0,585 0,270 0,173 0,0375 y=1 0,05

8,50 1,40

1,30 1,00 2,70 1,20 0,75

45,85 0,15

b=3

E(X)=

14 13 10 9 6 5

a=4 x=3

CALCUL DES MOYENNES

Calcul avec la formule : E(W) = 4*E(X) + 3*E(Y) = 4*8,50 + 3*3,95 = 45,85 Calcul direct : E(W) = ∑ ∑a _{i j} a _{i j}

a _{i j}= (4x _i+ 3y _j)* p(x _i, y _j)

(7)

25

Exemple suite

178,528

V(W) =

2,148 V(Y) =

15,848 11,664 2,952 3,985 0,593 1,849 2,512 0,841 6

12,650 8,946 1,674 1,591 1,877 3,532 3,553 0,221 5

7,359 4,941 0,567 0,208 2,911 4,316 3,581 0,000 4

11,002 6,886 0,298 0,065 9,907 12,777 9,263 0,271 3

2,608 1,476 0,000 0,445 5,024 5,910 3,878 0,380 2

0,865 0,419 0,041 0,704 3,553 3,916 2,379 0,435 1

9,950 3,025 2,025 0,225 0,075 1,250 1,838 1,513 178,528 b=3

V(X) = 14

13 10 9 6 5 a=4 3

CALCUL DES VARIANCES

Calcul avec la formule : Var(W) = 4²* 9,95 + 3²* 2,148

Calcul direct : Var(W) = ∑ ∑b _{i j} b _{i j}= [w _{i j}– E( W ) ]²p(x _i, y _j)

b _{i j}

26

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Application importante : processus échantillonnage aléatoire d’une population X Définition d’un échantillon aléatoire: n variables X _i

(a) X ₁, X ₂, X ₃, …….., X _nindépendantes

(b) toutes les variables ont la même distribution que X

La variable aléatoire moyenne, notée X, est une combinaison linéaire des X _i

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