MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

(1)

1

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chap. 3 Probabilités

■

terminologie anglais – français

■

probabilités VERSUS statistiques

■

espace de probabilités / fonction de probabilités

■

théorèmes

■

comment attribuer les probabilités ?

■

formules de dénombrement

■

probabilité conjointe – conditionnelle – marginale

■

indépendance

■

théorème de Bayes

Bernard CLÉMENT, P h D

2

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chap. 3 Probabilités Terminologie anglais – français

chance experiment …………. expérience aléatoire

outcome ……… dénouement

sample space ……….. espace d’échantillonnage

event ……… évènement

probability space ……….. espace de probabilités

equally likely outcomes ……… dénouement équiprobable

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

STATISTIQUES PROBABILITÉS base (quoi) données raisonnement / logique processus observation modélisation

(comment)

quand a posteriori a priori où échantillon population

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie définitions

Expérience aléatoire : processus planifié dont l’issue ne peut être prédite avec certitude

ex: jet d’un dé / mesure de la taille d’un individu Dénouement : tout résultat ou issue la plus élémentaire possible Espace d’échantillonnage : totalité de tous les dénouements possibles Évènement : tout sous ensemble de l’espace d’échantillonnage

Évènement mutuellement exclusifs: qui ne partage aucun dénouement Espace de probabilités: espace d’échantillonnage S = { o

₁

,

o ₂, …,

}

et une fonction P de S dans l’intervalle [ 0 , 1 ] 1. qui associe une probabilité p

_i

à o

_i

avec 0 ≤ p

_i≤

1 2. tel que

∑

p

_i

= 1

3. P est une fonction additive sur S

(2)

5

Fonction de probabilité

S : espace de probabilité E : évènenent de S ( =sous ensemble de S) P ( E ) est un nombre réel appelé « probabilité de E »

La fonction P doit satisfaire les propriétés suivantes : 1. 0 ≤ P ( E ) ≤ 1

2. P (S ) = 1 S est un évènement certain

3. { E

₁

, E

₂

, … , E

_{k ..}

} évènements définis sur S et mutuellement exclusifs 2 à 2 : E

_i ∩

E

_j

= { Φ } i ≠ j

P ( U E

_i

) = ∑ P ( E

_i

) additivité

6

T H É O R È M E S

•

{ Φ } ensemble vide ( aucun dénouement ) alors

P

( { Φ } )

= 0

• Ē l’évènement complémentaire à E ( non E) alors P (

Ē

) = 1 – P ( E )

• P ( E

₁

U E

₂

) = P ( E

₁

) + P ( E

₂

) - P ( E

₁∩

E

₂

)

E ₁ E ₂

S E ₁∩ E ₂

•

P ( E

₁

U E

₂

U E

₃

) = P ( E

₁

) + P ( E

₂

) + P ( E

₃

) - P ( E

₁∩

E

₂

) -

P ( E₁∩E ₃) - P ( E ₂∩E₃) + P ( E₁∩E ₂∩E ₃)

•

E

₁

E

₂

alors P ( E

₁

) ≤ P ( E

₂

)

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Comment attribuer des probabilités à o

_i

?

1.

estimations basées sur les fréquences

: on observe n fois le phénomène pouvant se dénouer dans o

_i_o

n obtient n i réalisations de o

_i

dans la séquence observée

P ( E ) ≈ n i ^{/ n} c’est une estimation ! 2.

hypothèses de modélisation

:

un exemple en physique atomique

n particules réparties au hasard dans m boîtes ( m > n )

la probabilité de trouver 0 ou 1 particule dans n boîtes spécifiques est

= n !

/ mn

si particules différentiables ( Maxwell-Boltzman )

=

( m – 1 ) ! n ! / (m + n – 1 ) ! part. non différentiables ( Bose – Einstein)

=

n ! ( m – n ) ! / m ! part. non diff. + jamais 2 par boîte ( Fermi-Dirac )

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Comment attribuer des probabilités à o

_i

?

2.

hypothèses de modélisation

:

un exemple en physique atomique exemple numérique : n = 3 particules m = 5 cellules

arrangement | * ^{| - |} * ^| * ^{| - |} *

= particule | | = cellule

probabilités : 6 /125 = 0,048 Maxwell Boltzman

1/35 = 0,029 Bose-Einstein 1/10 = 0,10 Fermi-Dirac

3.

postulat dérivé de l’observation des données : par exemple

distribution gaussienne (courbe en cloche) pour les mesures observées

(3)

9

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Dénouements équiprobables : « chances égales »

•on met sur pied les conditions nécessaires mais la garantie n’est jamais assurée ….

•si l’espace échantillonnal S est de taille finie N, S = { o ₁, o ₂, …. o _N} dénouements sont supposés équiprobables alors P( { o _I} ) = 1 / N

• Conséquence : l’évaluation de probabilité d’ évènement repose sur l’application des formules de dénombrement

•Principe multiplicatif : si A ₁,A ₂,…, A _ksont des ensembles ayant n ₁, n ₂, …, n _kéléments : n ₁X n ₂X^…X n _k façons de composer

un ensemble B avec un élément de A ₁, un de A ₂,…, un élément de A _k

•Permutations : P _nⁿ= n ! arrangement distincts de n objets (ordre)

•Arrangements : A _n^k= n ! / ( n – k ) ! arrangements de k objets parmi n

•Combinaisons : C _n^k= n ! / [ ( n – k ) ! k ! ] k objets parmi n sans tenir en compte l’ordre

10

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Exemple : loterie 6/49

Combinaisons C₄₉⁶= 49 ! / [ ( 49- 6) ! 6 ! ] = 13 983 816 dénouements possibles événements favorables :

6 sur 6 : C₆⁶x C₄₃⁰= 1 5 sur 6 +: C₆⁵ x C₁¹x C₄₂⁰= 6 5 sur 6 : C₆⁵x C₄₂¹ = 252 4 sur 6 : C₆⁴ x C₄₃² = 13545

3 sur 6 : C₆³ x C₄₃³ = 246 820

façons de gagner 260 624

façons de perdre 13 723 192

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Exemple : essais de Bernoulli

2 dénouements possibles S = « succès » E = « échecs »

« succès » n’est pas toujours désirable ! On répète jusqu’à l’obtention du premier succès S

exemple : roulette russe

p=1/6 succès et 1-p=q=5 /6 échec 1 P (S) = p

2 P ( E S ) = q p 3 P ( E E S) = q q p

………..

k P (E E E…E S) = q

^{k – 1}

p

∑ q

^{k – 1}

p = p ∑ q

^{k – 1}

= p / ( 1- q) = 1

loi géométrique

nombre moyen d’essais avant le premier succès : 1 p

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Exemple : échantillonnage d’un lot de pièces

lot de 100 pièces dont 5 sont non- conforme (défauts) tirage échantillon de 10 pièces au hasard et chaque pièce est soumise à un test destructif

E : aucune pièce non conforme dans l’échantllon P ( E ) = ?

S l’espace échantillonnal contient C

₁₀₀¹⁰

échantillons possibles E est défini par les C

₉₅¹⁰

x C

₅⁰

échantillons favorables

P ( E ) = C

₉₅¹⁰

x C

₅⁰

/ C

₁₀₀¹⁰

= 0,584

exemple d’une loi hypergéométrique (vue chap 4)

(4)

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Probabilités : conjointe – conditionnelles - marginales Exemple : assemblage de 2 composants

composant 1 : possibilité de 0 -1- 2 -3 défauts composant 2 : possibilité de 0 -1- 2 -3 - 4 défauts

modèle de probabilité pour l’assemblage (i , j ) = dénouement

P (0, 0 ) = 0.5 assemblage sans défaut P ( i, j ) = k / ( i + j ) si ( i, j ) = ( 0, 1), ….. (3, 4)

k = ?

Bernard CLÉMENT, P h D 6,910 1.000 14

0,010 0,143

7 4 3

0,012 0,167

6 3 3

0,014 0,200

5 2 3

0,018 0,250

4 1 3

0,024 0,333

3 0 3

0,012 0,167

6 4 2

0,014 0,200

5 3 2

0,018 0,250

4 2 2

0,024 0,333

3 1 2

0,036 0,500

2 0 2

0,014 0,200

5 4 1

0,018 0,250

4 3 1

0,024 0,333

3 2 1

0,036 0,500

2 1 1

0,072 1,000

1 0 1

0,018 0,250

4 4 0

0,024 0,333

3 3 0

0,036 0,500

2 2 0

0,072 1,000

1 1 0

0,500 0

0 0

prob-(i,j) 1/ (i+j)

i +j j

i

0.500

k = 0,5/ 6,91

= 0,0723

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1,000 0,055

0,069 0,093

0,151 0,633

total

0,079 0,01

0,012 0,014

0,018 0,024

3

0,105 0,012

0,014 0,018

0,024 0,036

2

0,165 0,014

0,018 0,024

0,036 0,072

1

0,651 0,018

0,024 0,036

0,072 0,5

0

total 4

3 2

1 0

i / j

Fonction de probabilité conjointe

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3D Scatterplot (ch3-prob-conjointe.sta 30v*31c)

(5)

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Probabilité conditionnelle P ( F | E ) probabilité que l’événement F se réalise

compte tenu de la contrainte « E s’est réalisé » il faut que P ( E ) > 0 dans S

E devient le nouvel espace d’échantillonnage (référentiel) pour tous les événements F à venir

il faut que P (E) = 1 au yeux de P(F ∩E) Définition P ( F | E ) = P(F ∩E) / P ( E )

aussi P ( E | F) = P(E ∩F) / P ( F )

donc P(E ∩F) = P ( E ) P ( F | E ) = P ( F ) P ( E | F) Définition E et F sont indépendants si

P(E ∩F) = P ( E ) P ( F ) Théorème : si E et F sont indépendants alors

E et F sont indépendants E et F sont indépendants E et F sont indépendants

18

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1,000 0,055

0,069 0,093

0,151 0,633

total

0,079 0,01

0,012 0,014

0,018 0,024

3

0,105 0,012

0,014 0,018

0,024 0,036

2

0,165 0,014

0,018 0,024

0,036 0,072

1

0,651 0,018

0,024 0,036

0,072 0,5

0

total 4

3 2

1 i /j 0

fonctions de probabilités marginales

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1,000 0,131 0,153 0,183 0,229 0,305 3

1,000 0,115 0,138 0,172 0,223 0,345 2

1,000 0,088 0,109 0,146 0,219 0,438 1

1,000 0,028 0,037 0,056 0,111 0,768 0

total 4

3 2 1 j / i 0

Fonctions de probabilités conditionnelles

1 1 1 1 1 total

0,188 0,175 0,156 0,12 0,038 3

0,219 0,211 0,145 0,16 0,057 2

0,263 0,263 0,259 0,24 0,114 1

0,329 0,351 0,389 0,48 0,791 0

4 3 2 1 0 i / j

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Liens probabilités: conjointe – marginales – conditionnelles

conjointe marginales

sommation

p( i ) = ∑ p ( i, j )

j

p( j ) = ∑ p ( i, j ) i

conjointe conditionnelles

normalisation

p( i / j ) = ∑ p ( i, j ) / p ( i ) j

p( j / i ) = ∑ p ( i, j ) / p ( j ) i

conjointe + indépendance marginales

(6)

21

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

1,000 0,055 0,069 0,093 0,151 0,633 P ( j )

0,079 0,01

0,012 0,014 0,018 0,024 3

0,105 0,012 0,014 0,018 0,024 0,036 2

0,165 0,014 0,018 0,024 0,036 0,072 1

0,651 0,018 0,024 0,036 0,072 0,5

0

P( i ) 4

3 2 1 0 i /j

Exemple : assemblage de 2 composants - indépendance ?

P( 0, 0) = 0,5≠0,412 = 0,633 *0,651= P( i=0) *P( j = 0 ) pas indépendants

P(2,3) = 0,014 ≠ 0,0072 = 0,105 *0,069 = P (i =2 )*P( j=3 )

22

exemple : modélisation avec indépendance prototype véhicule fin de test (essai)

M1 : moteur OK M2 : moteur état moyen M3 : moteur état médiocre

Probabilité = 0,6 = 0,3 = 0,1

D1 : direction OK D2 : direction non opérationnelle Probabilité : = 0,.8 = 0,2

A1 : amortisseur OK A2 : amortisseur dégradé A3 : amortisseur brisé

Probabilité = 0,7 = 0,2 = 0,1

probabilités conjointes : hypothèse d’indépendance / 18 CAS Mi ∩ Dj ∩ Ak prob M i ∩Dj ∩Ak prob M i ∩ Dj ∩Ak prob

1 1 1 0,336 2 1 1 0,168 3 1 1 0,056 1 1 2 0,096 2 1 2 0,.048 3 1 2 0,016 1 1 3 0,048 2 1 3 0,024 3 1 3 0,.008 1 2 1 0,084 2 2 1 0,042 3 2 1 0,014 1 2 2 0,024 2 2 2 0,012 3 2 2 0,004 1 2 3 0,012 2 2 3 0,006 3 3 3 0,002

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

exemple( suite) : prototype véhicule fin de test (essai)

probabilités conjointes avec hypothèse d’indépendance Mi ∩ Dj ∩ Ak prob M i ∩Dj∩ Ak prob M i ∩ Dj ∩ Ak prob 1 1 1 0,336 2 1 1 0,168 3 1 1 0,056 1 1 2 0,096 2 1 2 0,048 3 1 2 0,016 1 1 3 0,048 2 1 3 0.024 3 1 3 0,008 1 2 1 0,084 2 2 1 0,042 3 2 1 0,014 1 2 2 0,024 2 2 2 0,012 3 2 2 0,004 1 2 3 0,012 2 2 3 0,006 3 3 3 0,002 Fk : k composants sont fonctionnels k = 0, 1, 2, 3 P(Fk) = ? P(F3) = P ( M1 ∩ D1 ∩ A1 ) = 0,336

P(F2) = P ( M1∩ D 1∩ A2 ) + P( 113 ) + P (211) + P (311) = 0,452

P(F1) = P(122) + P(123) + P (212) + P(213) + P(221) + P(312) + P(313) + P( 321) =0,188 P(F0) = P(222) + P(223) + P (322) + P ( 323) = 0,024

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Théorème de Bayes

Définition : Partition de S

E ₁

,

E ₂

,

…..

,

E_k

sous-ensembles disjoints de S tels que

E ₁U E ₂U …..U E_k = S

alors les événements E

₁

, E

₂

, ….., E

_k

forment une partition de

S remarque : un seul E peut se réaliser à la fois

Théorème : si k événements E _i

(

i = 1 ,2, … k ) forment une partition et que F est un événement défini sur S alors

F = ( F ∩E ₁

) U (

F ∩E₂) U …. U ( F ∩E _k) E ₁ F

E ₂ E ₃

F ∩ E ₃ E₁₀

P(F) = ∑ P(F ∩ E

_i

) = ∑ P( E

_i

) P ( F| E

_i

)

probabilité totale de F

(7)

25

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Théorème de Bayes: si k événements E _i

(

i = 1 ,2, … k ) forment une partition de S et F est un événement défini sur S , alors

P( E

_r

| F) = P( E

_r

) P( F | E

_r

) / ∑ P( E

_i

) P ( F| E

_i

)

Question : événement F provient – il de E

_r

?

Exemple : téléchargement de fichiers provenant de 3 sites WEB fichiers sont potentiellement infectés

site proportion chargée proportion contaminée 1 10% 1%

2 20% 0,5%

3 70% 0,8%

F : fichier infecté quel site E i soupçonner en premier ? P( E

₁| F ) = ? P( E 2^{| F ) = ?} ^{P( E}3^{| F ) = ?}

P( F) = 0,1*0,01 + 0,2* 0,005 + 0,7*0,008 = 0,0076

P( E ₁|F) =0,001 / 0,0076 = 0,1315 P( E ₂|F) = 0,1315 P( E 3|F) = 0,737

26

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Recommendations et ‘règles du pouce’ (RP)

RP1 : ne pas multiplier les

hypothèses

au delà de la nécessité base : simplicité et parcimonie

RP2 : ne pas multiplier les

probabilités

au delà de la nécessité base : les probabilités sont bornées par 1 et l’opération

de multiplication donnera toujours un nombre plus petit exemple: procès en 1964 à LA - vol d’une bourse en pleine rue

description du vol - Une femme blanche aux cheveux blonds en queue de cheval arracha une bourse à une autre femme.

La voleuse courut et fut reconnue plus loin alors qu’elle entrait dans une voiture taxi de couleur jaune conduite par un homme de race noire portant une moustache et une barbe . QUELLE EST LA PROBABILITÉ DE L’ÉVÉNEMENT CI- HAUT ?

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Recommendations et ‘règles du pouce’ (RP)

Avocat de la poursuite (couronne) proposa le calcul suivant :

événement probabilité produit probabilité

E1 : cheveux blond 1 / 3 1 / 3

E2: cheveux en queue de cheval 1 / 10 1 / 30

E3: voiture couleur jaune 1 / 10 1 / 300

E4: homme portant barbe 1 / 10 1 / 3 000

E5: homme portant moustache 1 / 4 1 / 12 000 E6: couple inter race voiture 1 / 1000 1 / 12 000 000

E = E1 ∩E2 ∩E3 ∩E4 ∩E5 ∩E6 1 / 12 000 000 = p

( hypothèse d’indépendance )

résultat : couple en accusation fut condamné : p est trop petite !

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie Recommendations et ‘règles du pouce’ (RP)

RP3: préciser toujours l’espace d’échantillonnage afin d’énoncer un risque.

base : un énoncé de probabilité repose sur l’espace d’échantillonnage sur lequel il s’applique;

Une probabilité est toujours conditionnelle.

Soyez précis sur le référentiel de référence.

Question pertinente : quel est le groupe, quelles sont les unités, etc...

sur lesquels on énonce la probabilité ? Exemple : selon un ouvrage sur l’évaluation des risques,

il y a une probabilité 0,0006 de mourir dans un accident durant l’ascension d’une montage.

On présume que le groupe de référence est : groupe des personnes qui font de l’ascension de montages.

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chap. 3 Probabilités

terminologie anglais – français

probabilités VERSUS statistiques

espace de probabilités / fonction de probabilités

théorèmes

comment attribuer les probabilités ?

formules de dénombrement

probabilité conjointe – conditionnelle – marginale

indépendance

théorème de Bayes

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chap. 3 Probabilités Terminologie anglais – français

 chance experiment …………. expérience aléatoire

 outcome ……… dénouement

 sample space ……….. espace d’échantillonnage

 event ……… évènement

 probability space ……….. espace de probabilités

 equally likely outcomes ……… dénouement équiprobable

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

STATISTIQUES PROBABILITÉS base (quoi) données raisonnement / logique processus observation modélisation

(comment)

quand a posteriori a priori où échantillon population

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie définitions

Expérience aléatoire : processus planifié dont l’issue ne peut être prédite avec certitude

ex: jet d’un dé / mesure de la taille d’un individu Dénouement : tout résultat ou issue la plus élémentaire possible Espace d’échantillonnage : totalité de tous les dénouements possibles Évènement : tout sous ensemble de l’espace d’échantillonnage

Évènement mutuellement exclusifs: qui ne partage aucun dénouement Espace de probabilités: espace d’échantillonnage S = { o

,

}

et une fonction P de S dans l’intervalle [ 0 , 1 ] 1. qui associe une probabilité p

à o

avec 0 ≤ p

1 2. tel que

p

= 1

3. P est une fonction additive sur S

Fonction de probabilité

S : espace de probabilité E : évènenent de S ( =sous ensemble de S) P ( E ) est un nombre réel appelé « probabilité de E »

La fonction P doit satisfaire les propriétés suivantes : 1. 0 ≤ P ( E ) ≤ 1

2. P (S ) = 1 S est un évènement certain

3. { E

, E

, … , E

} évènements définis sur S et mutuellement exclusifs 2 à 2 : E

E

= { Φ } i ≠ j

P ( U E

) = ∑ P ( E

) additivité

T H É O R È M E S

•

P

= 0

• Ē l’évènement complémentaire à E ( non E) alors P (

) = 1 – P ( E )

• P ( E

U E

) = P ( E

) + P ( E

) - P ( E

E

)

P ( E

U E

U E

) = P ( E

) + P ( E

) + P ( E

) - P ( E

E

) -

E

E

alors P ( E

) ≤ P ( E

)

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Comment attribuer des probabilités à o

?

chance experiment …………. expérience aléatoire

outcome ……… dénouement

sample space ……….. espace d’échantillonnage

event ……… évènement

probability space ……….. espace de probabilités

equally likely outcomes ……… dénouement équiprobable

P ( E ) ≈ n i ^{/ n} c’est une estimation ! 2.

arrangement | * ^{| - |} * ^| * ^{| - |} *