MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Chapitre 4 Lois discrètes

ƒ Loi binomiale

ƒ Loi de Poisson

ƒ Loi hypergéométrique

ƒ Applications : contrôle (maîtrise) statistique de la qualité SQC Statistical Quality Control

a) introduction au SPC - cartes de contrôle carte np - carte p - carte c - carte u b) contrôle de la qualité des lots

Plans d’échantillonnage pour accepter ou rejeter des lots

Bernard CLÉMENT, PhD

2

Bernard CLÉMENT, PhD

définition

X= nombre de succès dans une suite de n essais de Bernoulli indépendants avec une probabilité commune de succès de θ

X _i la v.a de Bernoulli associée au i ^ème essai i = 1, 2, …, n X _i = 1 avec probabilité θ ou X i = 0 avec probabilité 1 -θ X₁, X₂,…, X _n sont indépendantes,

X =

∑

:

f onction de masse Statistica : BINOM( x ; θ; n)

f (x) = P(X = x) = C_n^x θ^x(1-θ) ^{n – x} x = 0 , 1 , …., n

fonction de répartition Statistica : IBINOM( x ; θ;n) x

F(x) = P(X ≤x) =

∑

moyenne - variance – écart type

E[X] = n θ Var[X] = n θ( l - θ) ET[X]

=

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n : taille de l’échantillon - paramètre contrôlable connu θ : paramètre généralement inconnu

comment estimer θ ?

réponse : l’estimation de θ est θ = X / n

où X = nombre succès en n essais de Bernoulli remarque : le symbole au dessus d’un paramètre indique une estimation propriétés

a) erreur systématique = écart entre θ^ et E ( θ )

= E ( θ ) - θ = E ( X / n ) –θ = ( E(X) / n ) -θ = ( n θ/ n) -θ = 0 b) erreur aléatoire = Var ( θ)

= Var( θ ) = θ( 1 –θ) / n ≤ 0,25 / n pour tout θ remarque : les notions de l’estimation seront développées au chapitre 6

L O I B I N O M I A L E

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Bar/Column Plot (ch3.sta 10v*31c)

binom

0 2 4 6 8 101214 1618202224262830

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16

0.18 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-2

1 3 5 7 9 111315 1719 2123 2527 29

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

0.16 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-3

1 3 5 7 9 11131517192123252729

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-4

1 8 15 2229 3643 5057 6471 7885 9299

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.10 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-5

1 9 1725 3341 4957 6573 8189 97

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08

0.09 Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 10v*101c)

BINOM-6

1 9 1725 334149 5765 7381 8997

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14

n =30 θ=0,3 n=30 θ=0,5 n=30 θ=0,9

n=100 θ=0,3 n=100 θ=0,5 n= 100 θ=0,8

L O I B I N O M I A L E (n , θ=theta)

5

Bernard CLÉMENT, PhD

L O I de P O I S S O N

Épreuve consiste à recenser le nombre de ‘’succès’’ relatifs à des événements répartis dans le temps ou la masse ou l’espace.

Nombre d’essais n’est pas fixé à l’avance comme dans les essais de Bernoulli Événements sont étudiés en tant que « présence » (ou ‘’apparition’’) sur un intervalle continu : on compte le nombre d’apparition d’un événement spécifique.

Exemple: la présence d’un défaut sur une pièce fabriquée.

Définition (conditions) si

1. Stationarité : la probabilité d’une occurrence sur une unité d’épreuve est la même pour toutes les unités;

2. Indépendance: le nombre d’occurrence sur une unité est indépendant du nombre d’occurrence sur les autres unités

X = nombre d’occurrence est soumise à une loi de Poisson de paramètre λ On écrit X ~ Poi (λ)

Fonction de masse

p_X( x ) = e ^–λ

λ

/

6

Bernard CLÉMENT, PhD

L O I de P O I S S O N Fonction de répartition k=x

F (x ) =

∑

/

Moyenne - variance - écart type

moyenne = E (X ) = λ Var ( X ) = λ ET ( X ) = λ^0,5 Un critère essentiel pour une distribution Poisson

moyenne = variance

Ce critère seul n’est pas suffisant pour caractériser la distribution Poisson.

Les conditions (page 5) doivent être vérifiées mais cela n’est pas facile en pratique.

Les tests d’ajustement à une distribution (Poisson et autres) seront vus au chapitre 7 pour traiter cette question.

7

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

L O I de P O I S S O N Exemples

• nombre d’appels téléphoniques que reçoit un central particulier durant une période de temps (durant une heure par exemple)

• nombre d’accidents qui surviennent pendant l’heure de pointe à une intersection

• nombre de défauts dans un rouleau de papier, rouleau de tissus, une plaque de métal ,…… (la surface est constante d’un échantillon à l’autre)

Important

- les conditions d’observation constituent une « fenêtre » - définir précisément et maintenir constante

- le nombre d’occurrences est proportionnel à cette fenêtre

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Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)

POI-1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)

POI-5

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20

L O I de P O I S S O N

Bar/Column Plot (ch4-V5.sta 15v*101c)

POI-20

1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10

lambda = 1

lambda = 5

lambda = 20

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Bernard CLÉMENT, PhD

L O I de P O I S S O N

Exemple 1 : tissus en longueur de 50 mètres de long.

rouleaux contiennent (en moyenne) 2 zones inutilisables.

On veut des longueurs de 10 mètres sans défauts.

Achèteriez vos tissus de ce fabricant ?

Solution : hypothèses d’indépendance + probabilité proportionnelle surface + unité surface assez petite alors une seule occurrence Si oui, le processus est Poissonnien avec λ = 2 sur 50 mètres Sur 10 mètres, le processus est Poissonnien avec lambda = 2 / 5 = 0,4 On cherche P ( X = 0 ) = e ^{– 0,4} (0,4) ⁰/ 0! = 0,67

Quelle votre décision ? ………

10

Bernard CLÉMENT, PhD

L O I d e P O I S S O N

Exemple 2 : un composant critique d’une machine brise, en moyenne, λ fois par période de temps. Combien ( k ) de composants devraient-on stocker afin de s’assurer, avec une probabilité d’au moins de 1 –α (α= 0,05 et 0,01) de pouvoir faire les remplacements nécessaires en cas

de bris sans attendre la livraison de nouveaux composants ? Solution : X nombre total de bris du composant

On suppose que X suit une loi de Poisson avec paramètre λ à résoudre : x=k

P( X ≤k ) =

∑

Quelques valeurs ( λ, α) - utilisation de la fonction de répartition λ 0.5 1 2 5_____

α 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01 0,05 0,01_

k 3 4 4 5 5 6 10 12

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L O I d e P O I S S O N Résultat : addition de variables Poisson

Soit X ₁, X ₂, …, X _k des variables aléatoires indépendantes de loi Poisson de paramètres λ₁,, λ₂, …, λ_k respectivement.

Alors Y = ∑ X _i est une variable de loi Poisson de paramètre λ où λ= ∑λ_i

Résultat : approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson Si n ≥ 100 ET θ ≤0.10 ET n θ ≤10 alors on peut approximer la loi binomiale ( n, θ) par une loi de Poisson de paramètre λ = n θ

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

L O I d e P O I S S O N

Exemple 3: confection de vêtements plein air : V = R + P + D

- Revêtement extérieur ( R) + Pellicule imper ( P ) + Doublure iso (D) - 2 fournisseurs : fournisseur A et fournisseur B

- vêtement = pantalon + anorak

- pantalon exige 3 m. Anorak exige 2 m.

Questions : 1. variables suivent-elles une loi Poisson ?

2 . Calculer la probabilité que l’ensemble pantalon + anorak a) soit sans défectuosité ( X =0) ?

b) ait au plus une défectuosité ( X ≤1) ? avec les tissus du fournisseur A tableau : nombre de défectuosités – 6 variables

(données page suivante)

13

Bernard CLÉMENT, PhD

1 3 3 4 1 1 20

2 3 0 2 2 2 19

2 4 3 1 1 3 18

0 2 2 1 0 2 17

3 2 1 4 1 2 16

0 4 3 4 0 1 15

3 4 4 1 1 0 14

3 4 1 0 0 0 13

4 0 2 4 2 2 12

3 3 2 4 5 4 11

4 1 2 2 3 2 10

0 0 3 4 2 4 9

1 2 1 6 3 4 8

2 0 3 3 4 6 7

1 2 1 2 2 1 6

4 4 2 4 3 1 5

1 3 4 0 1 1 4

1 1 0 1 3 4 3

0 1 1 2 0 4 2

2 0 4 2 1 1 1

D-B P-B R-B D-A P-A

Exemple 3 : suite R-A

Nombre de défectuosités rouleau de 50 mètres R = Revêtement

P = Pellicule imperméable D = Doublure

A : fournisseur A B : fournisseur B

R-A : revêtement fourn. A P-A : pellicule fourn. A D-A : doublure fourn. A R-B : rev. fourn. B P-B : pell. fourn . B D-B : doub. fourn B

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Bernard CLÉMENT, PhD

L O I d e P O I S S O N Exemple 3 : suite

1. loi de Poisson ? R-A P-A D-A R-B P-B D-B Moy 2,25 1,75 2,55 2,10 2,15 1,85 Var 2,60 1,99 2,68 1,57 2,24 1,92

R-B ne semble pas suivre une loi de Poisson 2. Fournisseur A

lambda Anorak Panalon total R (2/ 50)*2,25 (3/50)*2,25 0,225 P (2/ 50)*1,75 (3/ 50)*1,75 0,175 D (2/ 50)*2,55 (3/ 50)*2,55 0,255 total 0,262 0,393 0,655 a) P ( X = 0, lambda = 0,655 ) = 0,5194

b) P ( X ≤1, lambda = 0,655 ) = 0,5194 + 0,3402 = 0,8594

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

L O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E

Définition lot de N articles dont D articles sont non conformes et N – D articles sont conformes échantillonnage (sans remise ) de n articles

X = nombre d’articles conformes dans l’échantillon X suit une loi hypergéométrique H (n ; N ; D)

Fonction de masse f (x ) =

C

C

/ C

Variance = Var(x) = n D ( N – D ) ( N - n )

/

Si n / N ≤ 0,05 et θ= D / N alors

H ( n ; N ; D ) ≈ b( n ; θ )

16

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

L O I H Y P E R G É O M É T R I Q U E Exemple: N = 1000 D = 50 n = 20

[ 50 ! / ( 0 ! 50 ! ) ] x [ 950 ! / ( 20 ! 930 ! ) ] P ( X = 0 ) =

1000 ! / ( 20 ! 980 ! )

= 950 x 949 x …….. x 931_

1000 x 999 x ………x 981

= 0,3549

approximation par loi binomiale : θ= 50 / 1000 = 0,05 n = 20

P ( X = 0 ) = θ⁰ ( 1 –θ) ²⁰ = 0,95 ²⁰ = 0,3585

17

Bernard CLÉMENT, PhD

APPLICATIONS : introduction au Contrôle Statistique de la Qualité (CSQ) méthodes du CSQ

• les plans d’échantillonnage pour accepter/ refuser lot de produits sur la base d’un échantillonnage : « Acceptance Sampling »

-chapitre 4: introduction

• la maîtrise statistique des processus : « SPC » ou « CSP »

cartes de « contrôle » (= comportement) des processus : normal ou anormal ? -chapitre 4: exemples - chapitre 8 : développements détaillés

• l’analyse de capacité (chapitre 10)

• la planification d’expériences : DOE – Taguchi

• l’analyse processus de mesure ( chapitre 9)

• autres : fiabilité – Quality Function Deployment ( QFD )

18

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Bernard CLÉMENT, PhD

Brève introduction aux cartes de contrôle

RESSOURCES

APPROVISIONNEMENT MATÉRIAUX

ÉQUIPEMENTS PERSONNEL ENVIRONNEMENT

PROCESSUS étapes méthodes procédures

PRODUIT ou SERVICE

PARAMÈTRES MESURABLES

et CONTRÔLABLES

VALEUR AJOUTÉE

CARACTÉRISTIQUES CRITIQUES

pour la QUALITÉ : - MESURES - COMPTAGES

- ATTRIBUTS

X₁, X₂, X₃,… ^Y

Fonction de transfert f Y =f (X_1,X₂,..)

cartes de contrôle s’appliquent à ces variables Y

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages carte n p et carte p : base loi binomiale

carte c et carte u : base loi Poisson

Le BUT de la carte est de signaler la présence d’une « cause spéciale » qui a produit un changement important dans comportement statistique du processus.

Remarque : p représente le paramètre θ de la loi binomiale c représente le paramètre λ de la loi Poisson

Carte ATTRIBUT

p : fraction de pièces non-conforme échantillon de n pièces ( n peut être variable)

n p : nombre de pièces non conforme échantillon de n pièces ( n est fixe)

Carte COMPTAGES

c : nombre de non conformités (aire d'opportunité fixe) u : nombre de non conformités (aire d'opportunité variable)

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages

carte p np c u

n variable constant constant variable LIMITES de CONTRÔLE STATISTIQUE : en général

règle 3 sigma de Shewhart ( inventeur des cartes) Ligne Centrale CL = moyenne

Limite Supérieure UCL = moyenne + 3 * (variabilité) Limite Inférieure LCL = moyenne - 3 * (variabilité) Formules limites de contrôle : attributs et comptages

carte n p : n p bar ± 3 [ n p bar ( 1 – n p bar ) ]^0.5 carte p : p bar ± 3 [n p bar ( 1 – n p ba r ) / n_i]^0.5 carte c : c bar ± 3 ( c bar ) ^0.5

carte u : u bar ± 3 ( c bar / n _i) ^0.5

Remarque : bar représente l’opération de faire la moyenne arithmétique

21

Bernard CLÉMENT, PhD

Brève introduction aux cartes de contrôle : cartes attributs / comptages Exemple 1 : carte n p - 20 échantillons de n = 2500 X = nombre défectueux

X : 23 – 43 – 22 – 34 – 21 – 33 – 29 – 31 – 34 – 31 46 – 39 – 28 – 33 – 20 – 41 – 13 – 27 – 22 – 40

Np Chart; variable: x-déf Histogram of Np

0 1 2 3 4 5 6 7

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

Np: 30.500 (30.500); Sigma: 5.4889 (5.4889); n: 2500.

2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

14.033 30.500 46.967

22

Bernard CLÉMENT, PhD

Inspection à 100 % - 1 lot au hasard choisi chaque jour échantillonnage durant 15 jours = nombre d’échantillons X = nombre de pièces non conformes dans le lot La taille (n) du lot est variable d'une journée à l'autre Exemple 2 : carte p - 30 échantillons - n = variable

jour n X_

1 3350 31 2 3354 113 3 1509 28 4 2190 20 5 2678 35 6 3252 68 7 4641 139 8 3782 12 9 2993 3 10 3382 17 11 3694 14 12 3052 8 13 3477 27 14 4051 44 15 3042 70

P Chart; variable: n-def Histogram of P

0 1 2 3 4

-0.005 0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 0.035 0.040

P: .01298 (.01298); Sigma: .00199 (.00199); n: 3229.8

2 4 6 8 10 12 14

.00683 .01298 .01914

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Exemple 3 : carte c - 26 échantillons - X = nombre de non conformités X : 21 - 24 - 16 - 12 - 15 - 5 - 28 - 20 - 31 - 25 - 20 - 24 - 16

19 - 10 - 17 - 13 - 22 - 19 - 39 - 30 - 24 - 16 - 19 - 17 - 25

Histogram of C

0 1

2 3

4 5

6 7

8 9

10 11 0

5 10 15 20 25 30 35 40 45

C: 20.269 (20.269); Sigma: 4.5021 (4.5021)

5 10 15 20 25

6.7628 20.269 33.776

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MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Echant. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Aire 10 12 20 11 7 10 21 16 19 26

X 14 18 30 13 5 10 39 24 34 49 Exemple 4 : carte u - 10 échantillons tissus - X = nombre imperfections

U Chart; variable: N_IMPERF Histogram of U

0 1 2 3 4 5

-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5

U: 1.5526 (1.5526); Sigma: .31960 (.31960); n: 15.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.81952 1.5526 2.2857

25

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Produits regroupés en lots

(critère opérationnel à définir selon les circonstances et les besoins) les plans d’échantillonnage (« acceptance sampling ») réfère à

l’inspection d’une partie du lot (échantillon) d’articles (produits, composants) dans le but d’obtenir une information servant de base à :

juger le lot

- accepter le lot en le déclarant de « qualité satisfaisante » - rejeter le lot; continuer l’ inspection ? inspection rectificatrice?

Brève introduction aux plans d’échantillonnage des lots

Bernard CLÉMENT, PhD 26

OÙ FAIRE DE L'INSPECTION DES LOTS PAR ÉCHANTILLONAGE ?

ƒ Réception de lots de matières premières ou de produits semi-fini provenant de fournisseurs externes.

ƒ En cours de fabrication à des points de contrôle fixés par le processus.

ƒ Avant l'expédition des produits.

Bernard CLÉMENT, PhD

27

A V A N T A G E S de l’inspection par échantillonnage

ƒ Si le coût d'une inspection à 100% est élevé.

ƒ Moins de manipulations du produit : moins de dommages potentiels.

ƒ C'est la seule alternative si le test est destructif .

ƒ Si les lots sont de "grande" taille, disons plusieurs milliers d'unités.

ƒ Décision plus rapide pour disposer du produit.

ƒ Beaucoup de lots ( flux de lots ) à inspecter.

ƒ Les conséquences économiques de livrer un lot de "mauvaise" qualité ne sont pas élevées.

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Bernard CLÉMENT PhD

D É S A V A N T A G E S

• risque du producteur = probabilité de rejeter un lot de qualité satisfaisante = alpha

• risque du consommateur = probabilité d'accepter un lot de mauvaise qualité = beta

28

NOTATION - TERMINOLOGIE N : nombre d’unités dans le lot = taille du lot n : nombre d’unités dans l’échantillon D : nombre d’unités non conformes dans le lot

p = D / N : proportion d’unités non conformes dans le lot X : nombre d’unités non conformes dans l’échantillon X / n : proportion d’unités non conformes dans l’échantillon c = Ac : nombre d’acceptation (plan simple)

si X <= c alors on accepte le lot si X > c alors on rejette le lot

P _a ( p ) : probabilité d’accepter un lot de non qualité p α= alpha = risque du producteur : rejeter lot bonne qualité β= beta = risque consommateur : accepter lot mauvaise qualité

Bernard CLÉMENT PhD

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

29

AQL ( « Acceptable Quality Level »)

proportion maximale d'articles défectueux (ou non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne satisfaisante par le producteur et le consommateur (client).

c’est une convention pour concevoir un plan d'échantillonnage.

RQL ( « Rejectable quality level » )

proportion minimale d'articles défectueux (non-conformes) qui peut être considéré comme moyenne non-satisfaisante par le consommateur.

c’est une convention pour concevoir le plan d’échantillonnage.

Plan d'échantillonnage

( n, Ac, Re )

Bernard CLÉMENT PhD 30

RISQUES DE MAUVAISES DÉCISIONS

DÉCISION

Accepter lot

Rejeter lot

bonne mauvaise QUALITÉ LOT

1 - α

α

β

1 - β

α : risque du producteur β : risque du consommateur

Bernard CLÉMENT PhD

31

courbe caractéristique plan d’échantillonnage

0 AQ L RQ L

p

proportion non conforme

1

1 - α

β 0

P

( p ) : probabilité accepter lot

Bernard Clément PhD

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

32

Calcul de la probabilité d’accepter : P

( p )

Plan simple : un seul échantillon de taille n est prélever Plan ( N , n , c ) : échantillonnage sans remise

p = D/N qualité du lot ( D = p N )

X : nombre de pièces non conformes dans l’échantillon X distribuée selon une loi de probabilité

Hypergéométrique ( N, D, n )

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

33

Calcul de la probabilité d’accepter P_a ( p )

∑

 

 





 

 





−

 −



 





=

x a

n N

x n

p N x pN p

P

0

) 1 ( )

(

x n C x

x

p x p

n

=

 −



 



=  ( 1 )

0 Binomiale : si n / N < 0.1

∑

=

x np

x np e

0

!

) (

Poisson : si p " petit " et n est " grand "

APPROXIMATION

Bernard CLÉMENT PhD 34

EXEMPLE n = 89 c = 2

P 0,005 0,010 0,020 0,030 0,040

P a 0,990 0,940 0,737 0,498 0,304

P 0,050 0,060 0,070 0,080 0,090

P a 0,172 0,091 0,047 0,023 0,01

d d

d

a

p p

P d

=

 −



 



= ∑



0

) 1 89 (

Bernard CLÉMENT PhD

35

Courbe caractéristique plan n = 89 c = 2 MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

Line Plot (ch4-SPC-v5.sta 24v*204c)

0.005 0.015 0.025 0.035 0.045 0.055 0.065 0.075 0.085 0.095 0.105 -0.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2

Pa-p

36

design d’un plan d’échantillonnage (n, c) : n= ? c = ? trouver n et c tels que

P _a ( p₁) = 1 - α P _a ( p₂) = β

P_a: fonction répartition (page 33)

MTH 2301 Méthodes statistiques en ingénierie

p₁ p₂ p proportion

d’articles non conformes 1

1 –α

β 0