Série 41

(1)

L.S.Marsa Elriadh

Série 41

^{M : Zribi}

4 ^èmeSc Exercices

¹ 09 /10 Exercice 1:

On définit la suite d’intégrales :

1 0

01 ^x

I dx

e





 ^, ¹ ¹

01

x x

I e dx

e





 ^,…, ¹

01

nx

n x

I e dx

e





 (n désigne un entier naturel).

1. Calculer I1 et I0 + I1. En déduire I0. Pour tout entier n, calculer InIn_1. 2. Montrer sans calcul que la suite (In) est croissante.

3. Prouver que pour tout x de [0 ; 1]

1 1 2

nx nx nx

x

e e e

e e 

  . En déduire un encadrement de In.

4. A partir de cet encadrement, déterminer la limite de In et celle de ^Iⁿ_n

e . Exercice 2:

Pour tout entier naturel n, on définit ²

0 nxsin

In e xdx







 ^et 0²

nxcos

Jn e xdx







 ^.

1. Calculer I0 et J0

2. En intégrant par parties In puis Jn montrer que

2 n n 1

n

n n

I nJ

nI J e

 

 



   



. 3. En déduire les expressions de In et Jn en fonction de n.

Exercice 3:

On considère la fonction numérique à variable réelle définie par :f(x) = ¹

x 1 xe

On désigne par ( C) sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère 

orthonormé I-

1) Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2) a- Montrer que la courbe ( C) admet deux asymptotes obliques (D) et (D’) d’équations

respectives y = x et y = x+1

b- Montrer que le point w(0 , ½) est un centre de symétrie de ( C).

3) Soit g la restriction de f à IR^*_

a- Montrer que g réalise une bijection deIR^*_ sur IR. En déduire que l’équation g(x)=0

admet une solution unique a et que Log2<a<1.

b- Montrer que f’(a)=1+a+a 2 . Ecrire l’équation de la tangente (T) à la courbe ( C) au

point d’abscisse a.

c- Tracer les droites (T), (D), (D’) et la courbe (C ) ( on prendra pour le graphique

a 0,8).

(2)

L.S.Marsa Elriadh

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^{M : Zribi}

4 ^èmeSc Exercices

² 09 /10 II- On désigne par g -1 la fonction réciproque de g et par (C’) la courbe

représentative de g -1 dans le repère

1) Montrer que g -1 est dérivable sur IR et calculer (g -1 )’(0) en fonction de a.

2) La courbe (C’) coupe l’axe des ordonnées en un point I. Ecrire l’équation de la tangente (T’) à la courbe (C’) au point I.

3) Tracer (T’) et (C’).

Exercice 4 :

Soif f la fonction numérique définie sur IR par

1

x x

f (x) e

 e



On désigne par (C ) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ) 4 cm.

1) Dresser le tableau de variation de f.

2) Soit I le point de coordonnées (0,1/2).

a - Vérifier que I appartient à ( C)

b - Montrer que I est un centre de symétrie de (C ).

c- Montrer que la tangente (T) à la courbe (C ) au point I a pour équation :

1 1

4 2

y  x

3) Dans cette question on se propose d'étudier les positions relatives de (C ) et (T).

a – Comparer f ‘(x) et 1 /4 pour tout x de IR

b - Soit x un réel strictement positif. Montrer que l'on a : f(x)< ¹ ¹

4x2

c - En déduire les positions relatives de (C ) et (T).

4) Tracer (C ) et (T)..