Série 41

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L.S Marsa.Elriadh

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Mr Zribi

3 ^ème Maths Exercices

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09/10 Exercice 1 :

Soit les nombres complexes : z₁  2i 6, z₂ 2 2i et ¹

2

Z z

 z . 1) Écrire Z sous forme algébrique.

2) Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.

3) En déduire cos 12

 et sin 12

 .

4) Le plan est muni d’un repère orthonormal ; on prendra 2 cm comme unité graphique.

On désigne par A, B et C les points d’affixes respectives z1, z2 et Z. Placer le point B, puis placer les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).

5) Écrire sous forme algébrique le nombre complexe Z²⁰⁰⁹.

Exercice 2:

Le plan est rapporté au repère orthonormé (O,^u, ^v ) (unité graphique : 2 cm).

On considère les points A, B et C d’affixes respectives z_A = – 1 + i 3, z_B = – 1 – i 3 et z_C = 2.

1) Donner la forme trigonométrique de zA et zB puis placer ces points sur un dessin.

2) a) Vérifier que : z_B – z_C zA – zC

= cos sin

3 i 3

_  .

b) En déduire une mesure de l’angle (CA CB, ) et la nature du triangle ABC.

c) Déterminer le centre et le rayon du cercle 1 circonscrit au triangle ABC.

Tracer le cercle 1.

3) a) Etablir que l'ensemble 2 des points M d’affixe z qui vérifient : 2 (z + z) + z z = 0 est un cercle de centre  d’affixe – 2. Préciser son rayon.

Construire 2.

b) Vérifier que les points A et B sont éléments de 2.

Exercice 3:

Partie A

1) Déterminer le complexe  tel que  

2

1 1 3

4 3

i i



   



  

 .

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2) Pour tout nombre complexe z, on pose ^f ^z ^^z²^^{1 3}^ ^{i z} ^{  }^{4 3}ⁱ^{. Montrer} que ^f ^z s’écrit sous la forme ^z^^^z^ⁱ^. En déduire les solutions (sous forme algébrique) de l’équation ^f ^z ^⁰^.

Partie B

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé (O u v; , ), unité graphique 5 cm.

1) On considère les points A et B d’affixes respectives a 2 i et b  1 2i. Placer A et B dans le repère et compléter la figure au fur et à mesure.

Montrer que bia, en déduire que le triangle OAB est un triangle isocèle rectangle.

2) On considère le point C d’affixe 1 ¹

c  2i. Déterminer l’affixe du point D tel que le triangle OCD soit un triangle isocèle rectangle tel que



^{OC OD}^,



^^₂^.

3) Soit M le milieu du segment [BC]. On appelle z_{O M} et z_DA les affixes respectives des vecteurs OM et DA. Prouver que ¹

2

OM DA

z i

z  . 4) Donner une mesure en radians de



^{DA OM}^,



^.

5) Prouver que ¹

OM2DA.

6) On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB].

Démontrer que JKLM est un carré.

Exercice 4:

Le plan est rapporté à un repère orthonormé ( , , )O i j . On considère les points A, B et C d'affixes respectives a=1, b= 3 i 1 i 3

2 et c 2

   .

1) a) écrire sous forme trigonométrique chacun des nombres a, b et c.

b) représenter les points A, B et C dans le repère ( , , )O i j . 2) on pose d=b+c et on désigne par D le point d'affixe d.

a) montrer que OBCD est un carré.

b) déduire la forme trigonométrique de d.

3) soit l'application f de P dans P qui à tout point M(z) associe le point M'(z') tel que z'=2z-z².

a) déterminer les points invariants par f.

dans la suite on suppose que M est un point du cercle  de centre O et de rayon1.

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b) montrer que AM=MM'.

c) montrer que z' 1 z

 est réel.