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Terminale S – Lycée Desfontaines – Melle
Devoir surveillé n°4
Exercice 1 (France septembre 2007) - 10 points
Soit les nombres complexes z1= 2+i 6, z2=2+2i et Z=z1
z2. a. Ecrire Z sous forme algébrique.
b. Donner les modules et arguments de z1, z2 et Z.
c. En déduire cos
π
12 et sin
π 12
d. Le plan est muni d’un repère orthonormal : on prendra 2 cm comme unité graphique.
On désigne par A, B et C les points d’affixes z1, z2 et Z.
Placer le point B puis les points A et C en utilisant la règle et le compas (on laissera les traits de construction apparents).
e. Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe Z2007.
Exercice 2 (Extrait Asie, juin 2003) - 12 points
Le plan P est rapporté à un repère orthonormal
(
O,Åi,Åj)
PARTIE A :
Soit f la fonction définie sur ]0;+õ[ par f(x)=1+2lnx x2
Soit (C) la courbe représentative de f et soit (C ’) celle de la fonction h définie sur ]0;+õ[ par h(x)=1 x. 1. Déterminer les limites de f en 0 et en +õ. En déduire que (C) a deux asymptotes que l’on déterminera.
2. Calculer la dérivée f′ de f et étudier les variations de f.
3. Soit I le point d’intersection de (C) avec l’axe des abscisses. Déterminer les coordonnées de I.
4. Pour tout x de ]0;+õ[, on pose g(x)=1−x+2lnx.
(a) Etudier les variations de la fonction g.
(b) Montrer que l’équation g(x)=0 admet une solution unique dans chacun des intervalles ]0;2[ et ]2;4[.
Soit α la solution appartenant à ]2;4[. Donner un encadrement de α d’amplitude 10-2 . 5.
(a) Montrer que f(x)−1
x =g(x)
x2 et en déduire que (C) et (C ’) se coupent en deux points.
(b) Montrer que, pour tout réel x supérieur ou égal à 4, la double inégalité suivante est vraie : 0<f(x)Â 1 x. 6. Tracer (C) et (C ’).
