209 Series de fonctions

209 Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples. Fonction Zêta de Riemann. Monier 4.

Soient X un ensemble non vide, K=ℝ ou ℂ, E une K-ev de dim. finie (ok si E Banach).

Def 1 Def 1Def 1

Def 1: On appelle série série série série de fonctionsde fonctionsde fonctionsde fonctions ⁽¹⁾ et on notera

0 n n

f

≥

∑

tout couple

( ( )

fn n_∈ ^,

( )

Sn n_∈

)

formé d'une suite de fonctions fn : X→E et de la suite des

0 n

n k

k

S f

=

=

∑

^,

appelées nnnn^{ièmesièmesièmesièmes} sommes partiellessommes partiellessommes partiellessommes partielles, pour n∊ℕ.

I. Différents modes de convergence.

A. Cv simple et cv absolue.

Def 2 Def 2Def 2

Def 2: On dit que

0 n n

f

≥

∑

converge simplementconverge simplementconverge simplementconverge simplement (sur X) ssi la suite

( )

^S_{n n∈}des sommes partielles CS (sur X).

Dans ce cas, on définit pour tout n∊ℕ le reste d'ordre nreste d'ordre nreste d'ordre nreste d'ordre n:

n:

R X →Etq

( ) ( )

1

, _{n k}

k n

x X R x f x

+∞

= +

∀ ∈ =

∑

^.

On appelle somsomsomsomme de la sérieme de la sérieme de la série me de la série

0 n n

f

≥

∑

, et on note

0 n n

f

+∞

=

∑

^,

l'application:

( ) ( )

0 0

n n

n n

x X f x f x

+∞ +∞

= =

∈

 

=

 

 ∑  ∑

.

Def 3 Def 3Def 3

Def 3: On dit que

0 n n

f

≥

∑

^{converge converge converge} converge absolumentabsolumentabsolument (sur X) ssi absolument pour chaque x de X,

( )

0 n n

f x

≥

∑

converge (dans ℝ).

Prop 1 Prop 1Prop 1

Prop 1: La Cv ABS ⇒ la CS. (2).

Exemple: (Mon ex.4.3.2.a) La série de terme général, pour tout x∊ℝ,

( ) ( )

(

²

)

1 1

n

n n

f x x

x

= − +

cv. absolument.

B. Convergence uniforme.

Def 4 Def 4 Def 4

Def 4: On dit que

0 n n

f

≥

∑

^{converge converge converge} converge uniformémentuniformémentuniformémentuniformément (sur X) ssi la suite

( )

Sn n

∈des sommes partielles converge uniformément (sur X). (3)

Prop 2 Prop 2 Prop 2 Prop 2:

0 n n

f

≥

∑

CU sur X ⇒

( )

^f_{n n∈}



^CU

→

⁰ sur X.

Prop 3 Prop 3 Prop 3 Prop 3:

0 n n

f

≥

∑

^{CU ssi:}

( )

0

0

CS

la suite 0

n n

CU n n

f R

≥

≥

 

  →



∑

(4)

Exemple: (Mon ex.4.3.2.a) La série de terme général, pour tout x∊ℝ,

( ) ( )

(

²

)

1 1

n

n n

f x x

x

= − +

CS par le TSSA pour

tout x∊ℝ*, et R_{n ∞}

→

^CU 0, donc

0 n n

f

≥

∑

^{CU sur .}

Prop 4 Prop 4 Prop 4

Prop 4: Critère de Cauchy uniformeCritère de Cauchy uniformeCritère de Cauchy uniformeCritère de Cauchy uniforme.

0 n n

f

≥

∑

CU sur X ssi :

( )

1

0, tq , ,

q

k k p

N q p N x X f x

ε ε

= +

∀ > ∃ ∈ ∀ > ≥ ∀ ∈

∑

≤

C. Convergence normale.

Def 5 Def 5 Def 5

Def 5: On dit que

0 n n

f

≥

∑

^converge converge normalement^{converge converge} normalementnormalementnormalement (sur X) ssi ∃N∊ℕ t.q.:

( )

, est bornée

converge.

n

n n N

n n N f

f _∞

≥

∀ ∈ ≥ ⇒

 

 ∑

Exemple:(Mon ex.4.3.2.a)

( ) ( )

(

²

)

1 1

n

n n

f x x

x

= − +

ne converge pas normalement sur ]-∞;0C ni C0;D∞C, mais CN sur tout ]-∞; - a] U Ca ;D∞C, pour aE0 Fixé.

Prop 5 Prop 5 Prop 5 Prop 5:

0 n n

f

≥

∑

^{CN ⇒}

0 n n

f

≥

∑

^CU.

Bilan:

Bilan:

Bilan:

Bilan:

II. Propriétés de la somme.

A. Limite. (échange Σ et "lim") Th 1

Th 1 Th 1

Th 1: Soient a∈X,

( )

0 n:

n

f X E

≥

∑

→ une série de fonct.

Si:

0

Pour tout n de , admet une limite en a CU sur X

n n

n n

f l

f

≥

 

 ∑

alors, en notant

0 n n

S f

+∞

=

=

∑

^:

0

0

CV

admet une limite en lim

n n

a n n

l

S a

S l

≥

+∞

=

=

 

 

 



∑

∑

Cor Cor Cor

Cor: Soient I int. de ℝ,

( )

0 n:

n

f X E

≥

∑

→ série de fonct.

Si:

0

(*)

Pour tout n de , est continue sur CU localement sur X

n

n n

f I

f

≥

 

 ∑

(*): Converge localemt unift: CU sur tt compact de I Alors:

0 n n

S f

+∞

=

=

∑

est continuecontinuecontinue sur I. continue

209 Séries de fonctions. Propriétés de la somme, exemples. Fonction Zêta de Riemann. Monier 4.

B. Dérivabilité.

Th 2Th 2Th 2

Th 2:Soient k∈*,

( )

0 n:

n

f X E

≥

∑

→ une série de fonct.

Si:

^{( )}

( )

( )

0

0

Pour tout n de , est de classe sur

0; 1 CS sur

CU sur tout segment de

, *

n

n

n

k i

n k

n

f C I

i k f I

f I

≥

≥

∀ ∈ −

 

 

 



∑

∑

alors:

^{( )}

( )

( )

0

0

0

0

0; 1 CU sur tout segment de est de classe

0;

sur

,

,

n

n

i n

k n

n

i

i

n n

n

i k f I

C

i k f

f

I

f

≥

+∞

=

+∞

=

+∞

=

∀ ∈ −

∀ ∈

 

 

 

  

   =

  

∑

∑

∑

∑

(*) On peut remplacer cette hyp. par:

0

CS sur

n

fn I

≥

∑

^.

Exemple: Etude de la fonction ζ de Riemann.

0

: ]1; [ 1_x

n

x

n ζ

≥

∈ +∞

∑

^.

C. Intégration. (échange Σ et ∫ )

a) Sur un segment.

Th 3 Th 3Th 3

Th 3: Soient a b, ∈,

( )

0 n:

n

f X E

≥

∑

→ série de fonct.

Si:

[ ]

[ ]

0

Pour tout n de , est continue sur ; CU sur ;

n

n n

f a b

f a b

≥

 

 ∑

alors:

[ ]

( )

( ) ( )

0

0

0 0

est continue sur

converge dans E

n

;

n b

n

n a

b b

n n

n n

a a

f

f x dx

f x dx f x dx

a b

+∞

=

≥

+∞ +∞

= =

=

 

   

  

 

   

  

 



∑

∑ ∫

∑ ∑

∫ ∫

Exemple:

0 0

, 1

!

x n t

n

x t e dt x

n

+∞

−

=

∀ ∈

∑ ∫

= Remarque: Si

0 n n

f

≥

∑

CS vers une limite cont. par mcx.,

et si 0

b n n a

R

→

^→∞

∫

, alors on peut échanger Σ et ∫.

Exemple: ¹

( )

0 0

0, 1

1 1

n

a n

a dx

x na

+∞

=

∀ > = −

+

∑

+

∫

b) Sur un intervalle quelconque.

I intervalle de ℝ, non vide et non réduit à un point.

Th 4Th 4

Th 4Th 4: (Cv monotone)(Cv monotone)(Cv monotone) Soit(Cv monotone)

( )

0 n:

n

f I

≥

∑

→

Si:

0

0

Pour tout n de , est cont. mcx, 0, int. sur CS sur

cont. mcx sur

n

n n

n n

f I

f I

f I

≥ +∞

=

≥

 

 

 

 



∑

∑

alors:

0 n n

f

+∞

=

∑

est intégrable sur I ssissississi

0 n

n I

f

≥

 

 

 

∑ ∫

converge.

De plus, dans ces conditions,

0 0

n n

n n

I I

f f

+∞ +∞

= =

 

=  

 

∑ ∑

∫ ∫

Exemple:

(

²

)

0 0 ! 1 2

n x

n CV

x e dx

n x

− π

+∞

≥

=

∑ ∫

+

III. Notes.

(1) Différence entre "fonction" et "application":

Par une application, x a une image unique, par une fonction il a au plus une image.

(2) Vrai car E Banach.

(3) Différence entre CS et CU (Gourdon):

CS

fn

 →

f :

∀εE0, ∀x∊X, ∃Nx∊ℕ: ∀nRN, d(fn(x), f(x))<ε

CU

fn

 →

f :

∀εE0, ∃N∊ℕ: ∀nRN, ∀x∊X, d(fn(x), f(x))<ε Dans le second cas, N est indépendant de x.

CU ⇒ CS.

(4) En pratique, mq la série cv, puis mq R_{n ∞} →0.