Activité : intégration

Activité : intégration

www.mathsentete.fr

Activité 1 : cas d'une fonction en escalier positive

On considère la fonction 𝑓 définie sur l’intervalle [−2 ; 3] par :

𝑓(𝑥) =

⎩⎪

⎨

⎪⎧

1 si 𝑥 ∈ 3−2 ; −1 23 5

2 si 𝑥 ∈ 3−1 2; 23 1

2 si 𝑥 ∈ [2 ; 3]

Tracer la courbe représentative 𝐶₆ de la fonction 𝑓 et calculer l’aire, en unité d’aire, de la portion du plan délimitée par la courbe 𝐶₆, l’axe des abscisses et les droites d’équation 𝑥 = −2 et 𝑥 = 3.

Activité 2 : cas d'une fonction affine par intervalle et positive

On considère la fonction 𝑔 définie sur l’intervalle [−2 ; 3] et dont la courbe représentative 𝐶₈ est donnée ci-dessous.

1. Calculer l’aire 𝐴 du domaine délimité par la courbe 𝐶₈, l’axe des abscisses et les droites d’équation 𝑥 = −2 et 𝑥 = 3.

2. On crée une fonction en escalier qui majore 𝑔 et une fonction en escalier qui minore 𝑔.

On appelle 𝑆 la somme des aires des rectangles supérieurs et 𝑠 la somme des aires des rectangles inférieurs (exprimées en unité d’aire).

Vérifier que 𝑠 ≤ 𝐴 ≤ 𝑆 et que ⁼_>(𝑆 + 𝑠) = 𝐴

Activité 3 : cas d'une fonction monotone positive : méthode de Riemann

On considère la fonction ℎ définie sur l’intervalle [0 ; 1] par ℎ(𝑥) = 𝑥^> et on donne ci-dessous sa courbe représentative 𝐶_B.

1. On partage l’intervalle [0 ; 1] en quatre intervalles de même amplitude.

On crée une fonction en escalier qui majore ℎ et une fonction en escalier qui minore ℎ.

On appelle 𝑆 la somme des aires des rectangles supérieurs et 𝑠 la somme des aires des rectangles inférieurs (exprimées en unité d’aire).

Déterminer un encadrement de l’aire 𝐴 du domaine délimité par la courbe 𝐶B, l’axe des abscisses et les droites d’équation 𝑥 = 0 et 𝑥 = 1.

2. On partage l’intervalle [0 ; 1] en 𝑛 intervalles de même amplitude (où 𝑛 est nombre entier naturel supérieur ou égal à 2). On appelle 𝑆_D la somme des aires des rectangles supérieurs et 𝑠_D la somme des aires des rectangles inférieurs (en unité d’aire).

a. Vérifier que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 2, on a :

𝑠_D = 1

𝑛E ℎ F𝑘 𝑛H .

DJ=

KL=

b. De la même façon, exprimer 𝑆_D, pour tout nombre entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 2.

c. On rappelle que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 non nul, on a : E 𝑘^> =𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)

6

D

KL=

.

Pour tout nombre entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 2, calculer 𝑆_D puis déterminer sa limite lorsque 𝑛 tend vers +∞.

d. Montrer que, pour tout nombre entier naturel 𝑛 supérieur ou égal à 2, 𝑠_D = 𝑆_D −_D⁼. En déduire la limite de la suite (𝑠_D) puis la valeur de 𝐴.

Bernhard Riemann 1826 – 1866