Chapitre n°11 : comparaison et addition des écritures Chapitre n°11 : comparaison et addition des écritures
fractionnaires ; multiplication et simplification fractionnaires ; multiplication et simplification
I.
I. Sens de l'écriture fractionnaire Sens de l'écriture fractionnaire
1/ 1/ Rappels Rappels
Définition Définition
a et b représentent deux nombres, mais b n'est pas égal à 0. Le quotient de a par b est le résultat de la division de a par b. Notation/Vocabulaire
Notation/Vocabulaire
• Ce quotient se note : a b .
• a est le numérateur et b le dénominateur.
Exemples Exemples
1
2=0,5 ; 3
2=1,5 ; 1,25
10 =0,125 ; 2 5=0,4 . 1
3 ne peut pas d'écrire sous la forme décimale. C'est environ égal à 0,3333 .
II.
II. Écritures fractionnaires égales (rappels) Écritures fractionnaires égales (rappels)
Propriété fondamentale Propriété fondamentale
On obtient des écritures fractionnaires égales en divisant ou en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre.
Exemples Exemples
7 10=3,5
5 car 7÷2=3,5 et 10÷2=5. De même :
• 2 7= 6
21
• 10 55= 2
11
• 2 15=0,4
3 car 2÷5=0,4 et 15÷5=3
Point méthode Point méthode
Comment compléter 8 3=
15 ?
• Puisqu'on connaît les deux dénominateurs, on se demande « Comment faire pour passer de 3 à 15 en multipliant ? ».
• On remarque que 3×5=15 . Il faut donc multiplier le numérateur 8 par 5 pour pouvoir compléter.
• 8
3=8×5 3×5=40
15
III.
III. Comparaisons Comparaisons
1/ 1/ Comparaison avec Comparaison avec 1
Méthode Méthode
• Lorsque le numérateur est supérieur au dénominateur, l'écriture fractionnaire est supérieure à 1 . Par exemple : 10
3 1 ; 5,4 3,11 .
• Lorsque le dénominateur est supérieur au numérateur, l'écriture fractionnaire est inférieure à 1 . Par exemple : 1
21 ; 1,5 5,31
2/ 2/ Avec des écritures fractionnaires de même dénominateur Avec des écritures fractionnaires de même dénominateur
Exemples Exemples
• Compare 3 4 et 1
4 : 3 41
4
• De même : 7,01 11 7,1
11 . Méthode
Méthode
Lorsque les dénominateurs sont égaux, il suffit de comparer les numérateurs.
Ranger par ordre croissant/décroissant (exemple) Ranger par ordre croissant/décroissant (exemple) Ranger dans l'ordre décroissant 1,2
7 ; 3,5 7 ; 12
7 ; 1,02
7 ; 3,05 7 .
Pour vendredi 11/06 Pour vendredi 11/06
• Interrogation tables de multiplication et écritures fractionnaires (égalités à compléter)
3/ 3/ Avec un dénominateur différent Avec un dénominateur différent
a. a. Avec deux écritures fractionnairesAvec deux écritures fractionnaires Activité
Activité
Essayons de comparer 3 4 et 5
8 .
On compare « à part égale » ces deux fractions : 3
4=6
8 est supérieur à 5
8 . Donc 3 45
8 .
Méthode sur un exemple Méthode sur un exemple On va comparer 7
10 et 4 5 .
• 1ère étape : on transforme une ou plusieurs écritures fractionnaires afin d'avoir le même dénominateur ; on réduit au même dénominateur.
4
5=4×2 5×2= 8
10
• 2ème étape : on compare à dénominateur commun 7
10 8 10
• 3ème étape : on conclut 7
104 5 Définition Définition
Réduire au même dénominateur signifie transformer des écritures fractionnaires afin d'obtenir un même dénominateur.
Cas où on doit modifier les deux écritures fractionnaires Cas où on doit modifier les deux écritures fractionnaires Compare 2
3 et 3 5 .
• On réduit au même dénominateur : 2
3=2×5 3×5=10
15 ; 3
5=3×3 5×3= 9
15
• 10 15 9
15
• Conclusion : 2 33
5 .
IV.
IV. Addition et soustraction Addition et soustraction
1/
1/ Activité Activité
On considère l'expression 1 31
6 . L'objectif est d'obtenir un résultat sous la forme d'une fraction sans jamais poser de division (on reste en écriture fractionnaire).
On ne peut pas additionner si les dénominateurs sont différents (on a des parts de gâteau de tailles différentes).
On va donc multiplier 1
3 par 2 afin d'obtenir le même dénominateur que dans 1 6 (réduction au même dénominateur) : 1
3=1×2 3×2=2
6 .
Maintenant que l'on a les mêmes dénominateurs (parts égales), on additionne les numérateurs (on compte les parts).
Le résultat est donc 3 6 .
2/
2/ Présentation des calculs et exemples Présentation des calculs et exemples
A=1 31
6 A=1×2
3×21 6 A=2
61 6 A=3
6
B=3 5– 1
15 B=3×3
5×3– 1 15 B= 9
15– 1 15 B= 8
15
C=15 7 –9
7 C=6
7
3/
3/ Description de la méthode Description de la méthode
• On recopie le calcul donné dans l'énoncé.
• On réduit au même dénominateur une ou plusieurs des écritures fractionnaires.
• On fait le calcul sur les numérateurs en conservant le même dénominateur.
• On simplifie.
4/
4/ Exemples de cas particuliers Exemples de cas particuliers
A=14 5 A=5
54 5 A=9
5
B=1–5 7 B=7
7–5 7 B=2
7
C=38 5 C=15
5 8 5 C=23
5
Commentaires Commentaires
Lorsqu'on a un nombre entier dans le calcul, on le transforme en fraction avec le
dénominateur qui nous intéresse. Dans le C, 3 est égal à 6 2 ,
45 15 ,
27
9 … mais c'est 15
5 qui va servir dans le calcul car il faut 5 au dénominateur.
V. V. Simplification des fractions Simplification des fractions
Exemples Exemples
14 21=2
3 ; 122 18 =61
9 ; 121 22 =11
2
Méthodes et présentations possibles Méthodes et présentations possibles
• 28
32=4×7 4×8=7
8 (on décompose puis on simplifie en barrant les mêmes nombres)
• 28
32=28: 4 32 : 4=7
8 (on divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre)
• 28 32=7
8 (on fait tout de tête sans écrire le détail)
VI.
VI. Problèmes Problèmes
Un exemple Un exemple
Lors d'un goûter, Adel mange la moitié d'un gâteau et Guillaume en mange le tiers.
Quelle fraction du gâteau reste-t-il ? Réponse
Réponse
• 1ère étape : on calcule la portion mangée par Adel et Guillaume.
1 21
3
= 1×3
2×31×2 3×2
= 3 62
6
= 5
Ils ont donc mangé les cinq sixièmes du gâteau.6
• 2ème étape : on calcule la fraction restante
1–5 6
= 6 6– 5
6
= 1 6
Il reste donc un sixième du gâteau.
