Écritures fractionnaires 1

(1)

Quotient

a

et

b

désignent deux nombres et

b

≠ 0.

Le quotient de

a

par

b

est le nombre qui, multiplié par

b

, donne

a

. Il est noté :

a

b

^.

Il vérifie l'égalité :

a

b

^×

b

=

a

. Dans le quotient

a

b

^,

a

est appelé le numérateur et

b

le dénominateur.

Exemple 1 :

Le quotient de 3 par 4 est noté 3

4. Ce nombre vérifie l'égalité 3

4×4=3.

C'est le résultat de la division 3 ÷ 4. En effet, on vérifie que 0,75 × 4 = 3. On a donc 3

4=0,75.

Le quotient de 3 par 4 est donc un nombre décimal.

Exemple 2 :

Le quotient de 1 par 3 est noté 1

3. C'est le nombre qui, multiplié par 3, donne 1 : 1

3×3=1.

Le résultat de la division 1 ÷ 3 ne tombe jamais juste.

Le quotient de 1 par 3 n'est donc pas un nombre décimal. On ne peut écrire que 1

3  0,333.

Remarque :

Tout nombre décimal possède une infinité d'écritures fractionnaires.

Par exemple : 3,05 = 3,05 1 =6,1

2 mais un quotient n'est pas nécessairement un nombre décimal.

Proportions

Exemple 1 :

Dans une classe de 28 élèves, il y a 21 filles.

La proportion de filles dans cette classe est 21 28.

La proportion de garçons dans cette classe est égale à 7 28. Exemple 2 :

Le disque ci-contre est divisé en 8 parts égales, chaque part représente 1

8 du disque.

La proportion du disque coloriée en vert est donc 3 8. La proportion du disque non coloriée est 5

8.

N2 • Fractions

16

26

A

B

Écritures fractionnaires

1 Définitions

22

(2)

Quotients égaux

Si on multiplie ou si on divise le numérateur et le

dénominateur d'un quotient par un même nombre non nul, alors on obtient une nouvelle écriture fractionnaire de ce quotient.

a b

⁼

a

×

k b

×

k

^et

a b

⁼

a

÷

k

b

÷

k

^où

a

et

b

sont deux nombres tels que

b

≠ 0 et

k

≠ 0 Exemples :

0,2

1,2 = 0,2×5 1,2×5 =1

6 et 24

18= 24÷6 18÷6 = 4

3

Simplifier une fraction

Lorsque

a

et

b

sont deux nombres entiers, avec

b

non nul, le quotient

a

b

est appelé fraction.

Exemple :

On sait que 0,75=3 4=1,5

2 .

Ce sont trois écritures d'un même nombre mais seule l'écriture 3

4 est une fraction.

Simplifier une fraction, c'est chercher une fraction qui lui est égale mais avec un dénominateur plus petit.

Exemple : La fraction 25

15 peut être simplifiée car 25 et 15 sont tous les deux divisibles par 5.

25

15 = 5×5 3×5 = 5

3. La fraction 5

3 ne peut pas être simplifiée davantage.

Remarque : Pour simplifier une fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité.

• Un nombre est divisible par 2 s'il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.

• Un nombre est divisible par 5 s'il se termine par 0 ou 5.

• Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.

• Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.

Division de deux nombres décimaux

Tout quotient de décimaux peut s'écrire sous la forme d'un nombre en écriture fractionnaire dont le dénominateur est un nombre entier.

Exemple :

Pour effectuer la division 9 ÷ 0,4, on détermine un nombre égal, en écriture fractionnaire, dont le dénominateur est un nombre entier.

9÷0,4= 9

0,4= 9×10 0,4×10=90

4 =22,5

Fractions • N2 36

49

23 A

B

C

Égalité de quotients, fractions

2 Définition 1

Définition 2 Propriété

Propriété

(3)

Fraction décimale

Les fractions décimales sont les fractions qui ont pour dénominateur 1, 10, 100, 1 000, etc.

Exemple : 475

100 est une fraction décimale.

Tout nombre décimal peut s'écrire sous la forme d'une fraction décimale.

Exemple : 4,75=4,75

1 =4,75×100 1×100 =475

100 Remarque :

Il est parfois possible de simplifier la fraction décimale obtenue : 4,75=475

100=25×19 25×4 =19

4 .

Proportion et pourcentage

Quand une proportion est écrite sous la forme d'un quotient qui a pour dénominateur 100, on obtient ce que l'on appelle la proportion en pourcentage.

Exemple :

Une ville de 50 000 habitants est traversée par un canal.

18 250 habitants ont leur logement sur la rive droite du canal.

La proportion d'habitants ayant leur logement sur la rive droite est égale à 18 250

50 000.

On peut écrire ce quotient avec 100 au dénominateur : 18 250

50 000=18,25×1 000

50×1 000 =18,25

50 =18,25×2 50×2 =36,5

100 La proportion est donc égale à 36,5

100.

On dit que le pourcentage d'habitants ayant leur logement sur la rive droite est de 36,5 %.

Si deux fractions ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur.

Exemple :

Rangeons dans l'ordre croissant les fractions suivantes : 5 7,9

7,8 7, 4

7.

Ces fractions ont toutes 7 pour dénominateur ; elles seront donc rangées dans l'ordre croissant de leur numérateur.

Comme 4



5



8



9, on en déduit que 4

7



⁵₇



⁸₇



⁹₇.

N2 • Fractions

24 D

E

Comparaison de fractions

57