Lycée Kléber PC* 2ème année
F ICHE : D ÉVELOPPEMENTS LIMITÉS
Les petits o...
x→0o (1)=ε(x) et o x→0
¡xn¢
=xnε(x) oùε(x)−−−→
x→0 0.
Définition
Soient une fonction f : I→Retx0∈I. Soitn∈N. On dit quef admet undéveloppement limité à l’ordrenau voisinage dex0s’il existe :
(un polynômePde degréÉn
une fonctionε: I→Rvérifiantε(x)−−−−→
x→x0 0 tels que
∀x∈I,f(x)=P (x)+(x−x0)nε(x)
| {z }
= o x→a(xn)
— Pest appelépartie régulièreoupartie principaledu développement limité def enx0.
— (x−x0)nε(x)est appelérestedu développement limité def enx0. Propriétés Soitf une fonction admettant un DL d’ordrenen0alors :
• la partie régulière du DL d’ordrenen0def est unique.
• Sif est paire (resp. impaire) sur un voisinage (symétrique) de0alors la partie principale de son DL à l’ordrenen 0ne contient que des puissances paires (resp. impaires).
Formule de Taylor-Young
Soientf une fonction de classeCnsur un intervalleIdeReta∈I. Il existe une fonctionεdéfinie surItelle que :
∀x∈I, f(x)= Xn k=0
f(k)(a)
k! (x−a)k+(x−a)nε(x) et
ε(x)−−−−→ x→a 0 Autrement dit, on a : ∀x∈I, f(x)=Pn
k=0 f(k)(a)
k! (x−a)k+ o x→a
¡(x−a)n¢ .
Opérations sur les DLs
Soientf etgdeux fonctions réelles définies surIadmettant en0des DL d’ordren:
∀x∈I, f(x)=P (x)+ o x→0
¡xn¢ et g(x)=Q (x)+ o x→0
¡xn¢
oùPetQsont des polynômes réels de degrénalors
• f+gadmet un Dl d’ordrenen0donné par, pour toutx∈I:
¡f+g¢
(x)=(P+Q) (x)+ o x→0
¡xn¢
• f gadmet un Dl d’ordrenen0donné par, pour toutx∈I:
¡f g¢
(x)=R (x)+ o x→0
¡xn¢
oùR (x)est égal au produitP (x) Q (x)auquel on a retiré tout les terme de degré>n.
• Si de plus f(x)−−−→
x→0 0 alorsg◦f admet un DL d’ordrenen0de partie régulière obtenue en ne gardant que les termes de degréÉndans le polynômeG◦F.
• Sigadmet une limite non nulle en0alorsgf admet un DL d’ordrenen0. Comment inverser un DLs On suppose queg(x)=1+a1x+. . .+anxn+ o
x→0
¡xn¢. Alors : 1
g(x) = 1
1−u avecu= − µ
a1x+. . .+anxn+ o x→0
¡xn¢¶
= 1+u+u2+. . .+un+ o x→0
¡un¢
= 1−¡
a1x+. . .+anxn¢ +¡
a1x+. . .+anxn¢2
+. . .+(−1)n¡
a1x+. . .+anxn¢n+ o x→0
¡xn¢
qu’on développe et tronque en ne gardant que les termes de degréÉn. Primitivation SoitIun intervalle deRcontenant0etf: I→R. Si :
H1 f est dérivable surI.
H2 f′admet un DL d’ordrenen0:
∀x∈I, f′(x)=
P′(x)
z }| {
a0+a1x+. . .+anxn+ o x→0
¡xn¢
alorsf admet un DL d’ordren+1en0obtenu en primitivant la partie régulière du DL def′et en ajoutantf(0). Pour toutx∈I:
f(x)=f(0)+a0x+a1
2x2+. . .+ an n+1xn+1
| {z }
P(x)
+ o x→0
³ xn+1´
ATTENTION ! ! ! On ne peut pas, en général, dériver un DL
