Mathématiques Seconde : Géométrie élémentaire
Thèmes
Exercices de base
Ex.B1 : Longueurs dans un triangle rectangle Ex.B2 : Angles dans un triangle rectangle
Ex.B3 : Aires et volumes usuels (voir aussi 11. Problèmes Ex.B4) Exercices d’approfondissement
Ex.A1 : Longueurs dans un triangle rectangle Ex.A2 : Médiatrices et hauteurs dans un triangle Ex.A3 : Aire d’un triangle (formule de Héron)
Dans tous les exercices de base, on demande de choisir trois entiers .
On pourra les choisir parmi les 44 triplets suivants (6,8,9 est celui utilisé pour les corrigés) :
Énoncés
Exercices de base Ex.B1
1. Choisir trois entiers tels que et . a) Soit un triangle rectangle tel que et .
Justifier que le triangle n’est pas rectangle en .
Calculer dans le cas où est rectangle en puis dans le cas où est rectangle en . b) Soit un triangle tel que
,
et
. Démontrer que le triangle est rectangle.
Ex.B2
1. Choisir trois entiers tels que et .
a) Soit un triangle rectangle en tel que et . Calculer la valeur arrondie au degré de l’angle puis celle de l’angle .
b) Soit un triangle rectangle en tel que et . Calculer la valeur arrondie au degré de l’angle puis celle de l’angle .
c) Soit un triangle rectangle en tel que et (en degrés).
Calculer et et donner leur valeur arrondie au centième.
Ex.B3
1. Choisir trois entiers tels que et .
a) Soit un triangle rectangle en tel que et . On note le symétrique de par rapport à et le projeté orthogonal de sur .
Calculer l’aire du triangle et la longueur .
b) Soit un parallélogramme tel que et . On note le projeté orthogonal de sur et on suppose que .
Calculer l’aire du parallélogramme et, de deux façons, l’aire du trapèze . c) Calculer le périmètre et l’aire d’un disque de rayon .
Donner leur valeur arrondie au centième.
d) Calculer le rayon d’un disque dont le périmètre est et le rayon d’un disque dont l’aire est .
Donner leur valeur arrondie au centième.
2. Choisir trois entiers tels que et .
a) Soit un parallélépipède rectangle (pavé droit) tel que et . Calculer le volume du tétraèdre , le volume de la pyramide et le volume du prisme .
b) Calculer le volume et l’aire d’une sphère de rayon . Donner leur valeur arrondie au millième.
c) Calculer le rayon d’une sphère dont le volume est . Donner sa valeur arrondie au dixième.
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. Soit un triangle rectangle en et le projeté orthogonal de sur . a) Démontrer que .
b) En déduire que et puis que . c) Démontrer que et que . d) En déduire que .
e) Retrouver cette égalité en calculant l’aire du triangle de deux façons.
Ex.A2 (cet exercice utilise les vecteurs) 1. Soit un triangle.
On note le point tel que est un parallélogramme et et les symétriques respectifs de par rapport à et .
On note aussi les médiatrices respectives des segments .
a) Démontrer que et sont sécantes en un point ; démontrer que et en déduire qu’il existe un cercle passant par et (cercle circonscrit au triangle ).
b) Démontrer que les hauteurs du triangle sont les médiatrices du triangle . En déduire qu’elles sont concourantes en un point .
Ex.A3
1. On admet que dans tout triangle il existe au moins une hauteur qui coupe le segment opposé au sommet par lequel elle passe. On nomme les sommets de sorte que si est le projeté orthogonal de sur alors conformément aux figures ci-dessous :
Si le triangle a un angle obtus, on note le sommet de cet angle.
On pose et on note l’aire du triangle.
a) Démontrer que .
b) En remarquant que , démontrer que
. c) En déduire en fonction de et puis démontrer que
. d) Démontrer finalement la formule de Héron d’Alexandrie (1er siècle après J.C.) :
e) Vérifier que si alors . f) Calculer l’aire du triangle si et .
Méthodes et indications Exercices de base
Ex.B1
1. Utiliser le théorème de Pythagore : est rectangle en si, et seulement si, . De plus, dans un triangle rectangle, le sommet de l’angle droit est le sommet opposé à l’hypoténuse c’est-à-dire au côté qui a la plus grande longueur.
Ex.B2
1. Dans un triangle rectangle en , on a :
et
.
On retient
,
et
Si on connaît ou , on trouve à l’aide de la calculatrice (mode degrés) avec , ou .
Remarque. En mathématiques, on note .
Ex.B3
1. a) Si on note les projetés orthogonaux respectifs de sur les côtés opposés dans le triangle et l’aire de , on a b) L’aire d’un parallélogramme est où est la longueur d’un des côtés et la hauteur associée ; c’est l’aire du rectangle obtenu suivant la construction ci-dessous (à gauche) :
La construction de droite permet de retrouver l’aire d’un triangle à partir de celle d’un parallélogramme : .
L’aire d’un trapèze est où est la grande base, la petite base (les deux côtés parallèles) et la hauteur. Elle se déduit de l’aire d’un parallélogramme suivant la construction ci-dessous :
c) Le périmètre d’un disque de rayon est et l’aire est .
2. Les volumes à connaître sont : - Type cylindre :
Ils sont délimités par des segments parallèles qui s’appuient sur une courbe plane ; ils sont donc compris entre deux plans parallèles.
La base est l’aire délimité par la courbe plane et la hauteur est la distance entre les deux plans c’est-à-dire la longueur de tout segment perpendiculaire aux deux plans ayant ses extrémités sur ces plans.
Selon la courbe plane, on obtient les cas particuliers suivants :
- les prismes (la courbe est un polygone) avec en particulier les parallélépipèdes (la courbe est un parallélogramme)
- les cylindres de révolution (la courbe est un cercle et les segments sont perpendiculaires au plan du cercle)
- Type cône :
Ils sont délimités par des segments ayant pour extrémité un point (sommet) et qui s’appuient sur une courbe plane. La base est l’aire délimité par la courbe plane et la hauteur est la distance entre le plan de la courbe et le sommet c’est-à-dire la longueur du segment d’extrémité qui est perpendiculaire au plan.
Selon la courbe plane, on obtient les cas particuliers suivants :
- les pyramides (la courbe est un polygone) avec en particulier les tétraèdres (la courbe est un triangle)
- les cônes de révolution (la courbe est un cercle et les segments sont perpendiculaires au plan du cercle)
b) Le volume d’une sphère de rayon est et son aire est .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1. a) Utiliser trois fois le théorème de Pythagore c) Remarquer que
Ex.A2
1. a) Utiliser le fait qu’un point appartient à la médiatrice d’un segment si, et seulement si, . Cela signifie que si appartient à la médiatrice de alors et que, réciproquement, si alors appartient à la médiatrice de .
b) Utiliser les deux résultats suivants :
est un parallélogramme si, et seulement si, ou encore si, et seulement si . est le milieu de si, et seulement si, .
Ex.A3
1. a) Utiliser deux fois le théorème de Pythagore
b) Utiliser le fait que si et alors
d) Utiliser plusieurs fois l’identité remarquable .
Corrigés
Exercices de base Ex.B1
1. a) On a et .
Si est rectangle en alors son hypoténuse est ce qui impossible puisque . Si est rectangle en alors, d’après le théorème de Pythagore,
on a donc . Si est rectangle en alors on a de même
donc ou encore .
b) On a
,
et
.
On a donc le triangle est rectangle en Remarque. Le calcul littéral donne
Ex.B2
1. a) et . On a
donc . Comme avec , on a .
Remarque. On peut retrouver ce résultat avec
donc . b) et . On a
donc . Comme avec , on a .
Remarque. On peut retrouver ce résultat avec
donc . c) et . On a donc De même,
donc Ex.B3
1. a) et .
Comme , on a
Comme , on a aussi . Or, comme le triangle est rectangle en on a, d’après le théorème de Pythagore, donc
. Finalement
b) , et .
et, comme est rectangle en , . Ainsi et .
Alors . Et on peut aussi écrire .
c) . Le périmètre du disque de rayon est donc . Son aire est .
d) On a et . Ainsi donc
et donc et . 2. a) et .
On a donc
. De même donc
. Enfin .
b) Le volume d’une sphère de rayon est . Son aire est .
c) donc on a . Ainsi
donc .
Exercices d’approfondissement Ex.A1
1.
a) Dans le triangle , on a
De même, dans le triangle , on a .
En additionnant ces deux égalités membre à membre, on a et, comme est rectangle en , on a . Finalement . b) On a donc ou encore .
De même . On en déduit que est à l’intérieur du cercle de centre passant par et à l’intérieur du disque de centre passant par . Comme est sur la droite , on a . c) D’après a), on a donc . De plus, d’après le théorème de Pythagore, on a
donc .
d) On a et, de même, donc, en multipliant ces deux égalités membre à membre, on obtient .
On en déduit que .
e) Comme , on a et comme , on a aussi . On a donc bien .
Ex.A2 1. a)
Si et étaient parallèles alors et le seraient aussi (car et ) donc les points seraient alignés. Comme c’est faux, et sont sécantes en un point . Comme , on a et comme on a . On en déduit que donc . Autrement dit les trois médiatrices sont concourantes en .
Alors on a donc le cercle de centre passant par passe aussi par et .
b) Comme est un parallélogramme, on a et, comme est le milieu de , on a . Ainsi donc est un parallélogramme. En particulier .
De même, on a donc est un parallélogramme et . Finalement, donc est le milieu de .
La hauteur issue de dans le triangle est la droite passant par et perpendiculaire à . On a vu que donc elle est perpendiculaire à et, comme est le milieu de , c’est la médiatrice de . On raisonne de même avec la hauteur issue de et avec la hauteur issue de . Comme les médiatrices du triangle sont concourantes, les hauteurs du triangle le sont aussi. Leur point d’intersection est l’orthocentre du triangle (c’est aussi le centre du cercle circonscrit au triangle ).
Ex.A3 1.
a) D’après le théorème de Pythagore dans les triangles et , on a et .
En soustrayant ces deux égalités membre à membre, on obtient .
b) donc . Comme , on a donc . Alors donc
. c) D’après a), on a
. Comme , on a
.
d) On a
donc
e) Si alors on a et, de même, et
Donc f) Si et alors et .
En utilisant la formule de d), on a donc .
