LICENCE 3 SCIENCES POUR L’INGENIEUR Parcours Ingénierie des ORGANISATIONS

UE 1 – AMPI : Etude et dimensionnement des systèmes mécaniques

COURS 4 : FLEXION DES POUTRES (RDM)

SOMMAIRE

I. Définition de la flexion ... 2

II. MOMENTS QUADRATIQUES ... 2

II.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe de son plan ... 2

II.2. Théorème de Huygens... 3

III. CARACTERISTIQUES DE LA FLEXION ... 3

III.1. Contraintes ... 3

III.2. Conditions de résistance ... 4

III.3. Etude de la déformée ... 4

III.4. Exemple ... 4

FORMULAIRE page 5

O. CALVET

Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2019) p 2

I. Définition de la flexion

Il existe plusieurs types de flexions (pure, plane, déviée). Nous limiterons notre étude au cas de la flexion plane simple.

Une des caractéristiques importantes de la géométrie de la poutre influençant son comportement sous une sollicitation de flexion est son moment quadratique. Il s’agit d’une caractéristique géométrique mesurant l’excentration de la section par rapport à un axe.

II. MOMENTS QUADRATIQUES

II.1. Moment quadratique d'une surface plane par rapport à un axe de son plan Définition

Soit (S) une surface plane et un repère orthonormé (O, x, y) associé.

Le moment quadratique élémentaire de dS par rapport à (O, x) , noté IOx

est défini par —> IOx = y² .dS

et pour l'ensemble de la surface (S) : Iox =



S

y² .dS Remarques :

 L'unité de moment quadratique est le mm⁴ (ou le m⁴)

 Un moment quadratique est toujours positif.

 Les moments quadratiques des surfaces "simples" sont donnés ci-dessous.

II.2. Théorème de Huygens

Le moment quadratique d’une section par rapport à un axe contenu dans son plan est égal au moment quadratique de cette section par rapport à un axe parallèle au premier et passant par son barycentre, augmenté du produit de l’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.

I

oy

= I

Gy

+ S.d

²

I

oy: moment quadratique de (S) par rapport à (O,

y 

) (mm⁴)

I

Gy : moment quadratique de (S) par rapport à (G,

y 

) (mm⁴) S : aire de la section (S) (mm²)

d : distance entre les axes (O,

y 

)et (G,

y 

) (mm)

Exemple : calculer le moment quadratique de l’équerre /

G x 

:

I

^Gx

Rectangle 1 (formulaire)

I1

G1x =𝟏𝟎𝟎.𝟏𝟎^𝟑 𝟏𝟐

Théoréme d’Huygens

I1

Gx =

I1

G1x

+ S1.d1

²

=

^{𝟏𝟎𝟎.𝟏𝟎𝟑}

𝟏𝟐 + 1000.(10)² = 10,83.10⁴ mm⁴ De même pour le rectangle 2

I2

G2x =𝟏𝟎.𝟓𝟎^𝟑

𝟏𝟐

I2

Gx =

I2

G2x

+ S2.d2

²

=

^{𝟏𝟎.𝟓𝟎}_𝟏𝟐 ^𝟑 + 500.(20)2 = 30,41.10⁴ mm⁴



I

Gx =

I1

Gx +

I2

Gx = 41,2.10⁴ mm⁴

III. CARACTERISTIQUES DE LA FLEXION

Une portion de poutre est sollicitée en flexion simple suivant l’axe

z 

(voir ci-contre).si pour chacune des sections droites, le torseur de cohésion se réduit, dans le repère

) , , , ( G x y z

R   



de définition des sollicitations :

Les éléments de réduction en G du torseur des efforts de cohésion s'expriment par :

 

) z , y , x (

G 0 Mfz

0 Ty0 0 Cohésion















  Remarque : si

Ty

est nul, alors la sollicitation est

appelée flexion pure III.1. Contraintes

Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales . Les contraintes de cisaillement  sont négligeables.

La contrainte normale s en un point M d'une section droite (S1) est proportionnelle à la distance y entre ce point et le plan moyen passant par G.

 = ^𝑀

^𝑓

𝐼

_𝐺𝑧

. 𝑦

Décomposer (S) en deux rectangles (1) AKEF et (2) BCDK

x y

z

Licence SPI / Parcours Ingénierie des Organisations -AMPI (version 2019) p 4 III.2. Conditions de résistance

Pour des raisons de sécurité, la contrainte normale  doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension pe. On a : pe = ^𝜎𝑒

𝑐𝑠 où cs est un coefficient de sécurité

La condition de résistance traduit simplement le fait que la contrainte réelle ne doit pas dépasser le seuil précédent, soit : pe

i max Gz

i réelle max

y I

Mf 

 

 

 







III.3. Etude de la déformée

Cette étude permet de donner l'équation de la déformée de la poutre sous la forme y = f(x). Elle est principalement basée sur la résolution de l'équation différentielle suivante :

y I E Mf  . . 

Il faut alors procéder à deux intégrations successives. Les constantes d'intégration s'obtiennent grâce aux conditions aux limites (appuis, encastrements...).

Exemple de conditions aux limites :

Appui simple y = 0

Encastrement y = 0 y' = 0

III.4. Exemple

GZ GZ

GZ fz

I E F x I

E x F I

E x M

y 2 . . .

. 2 . ) .

(

''   





x F y I

E .

^GZ

. '' . .

2  

Première intégration :

2

1

. ² ' . . .

2 E I

^GZ

y   F x  C

²

1

. ' . . .

4 E I

^GZ

y   F x  C

Recherche de C1 : y’=0 pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

4

² . 4

. ²

0   F l  C

¹

 C

¹

 F l 4 . ²

² . ' . . .

4 E I

^GZ

y   F x  F l

Deuxième intégration :

3 2 3 2

3 2

12

².

. . 3 . . 4 4

².

. 3 . .

4

² . . 3 . . .

4 E I

^GZ

y   F x  F l x  C   F x  F l x  C   F x  F l x  C

recherche de C2 : y=0 pour x = 0 (appui ponctuel d’axe

y 

)

I

GZ

E

x l F x y F

. . 48

².

. . 3 . . 4

3



 

y est maxi pour x = l/2 (symétrie de la déformée)

GZ GZ

GZ

GZ

E I

F l I

E l F l

I E

l F l

I E

l l l F F

y 48 . .

2 ) ( 2 .

. 48

2 ) 3 ( 2 .

. 48

2 ) 3 8 ( 4 .

. 48

². 2 . . 8 3 . .

4

^{3 3 3 3 3}

3

 

 



 



 

I

GZ

E l y F

. . 48

.

3



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