CENTRES DE SURFACES (6)

CENTRES DE SURFACES (6)

En écrivant les moments :

( )

( )

1 1 2 2

1 1 2 2

1 2 2 1

1 2 2

: :

/ /

y n n

x n n

n n

n n

M xA x A x A x A

M yA y A y A y A

x x A x A x A A

yA y A y A y A A

= ∆ + ∆ + + ∆

= ∆ + ∆ + + ∆

= ∆ + ∆ + + ∆

= ∆ + ∆ + + ∆

∑

∑

…

…

…

…

∆ On obtient les coordonnées

du centre de surface:

PREMIERS MOMENTS D’AIRES (6)

Les expressions suivantes :

sont connus sous le termes de premiers moments d’aires par rapport aux axes y et x respectivement, soient :

xdA ydA

∫ ∫

y x

Q =

∫

∫

Que l’on peut exprimer en fonction des centres de surfaces :

MOMENTS QUADRATIQUES (6)

x y

y dx

x

Les moments quadratiques en coordonnées cartésiennes I_x et I_y d’une surface sont définis par

I

= y ∫

dA I

= x ∫

dA

Si on choisit dA comme étant une fine bande parallèle à l’un des axes de coordonnées, le résultat est,

dI = y

dx dI = x

ydx

EXEMPLE : MOMENT QUADRATIQUE D’UNE SURFACE RECTANGULAIRE

dA = bdy dI

= y

bdy

I

= by ∫

dy=1/3bh

y

x

Le moment polaire de la surface A par rapport au pôle O est défini par,

J

= r ∫

dA

La distance de O à l’élément de surface dA est r. Avec r ² =x ² + y ² , l’équation suivante est établie,

J

= I

+ I

x r y

A

dA

O

Le rayon de giration d’une surface A par rapport à l’axe x est

définie par la distance k_x, où I_x = k_x A. Avec des

définitions similaires pour le rayon de giration de A par rapport à l’axe des y et par rapport à O, nous avons,

2

y

k

=

x k_x

O

I

A k

= I

A k

= J

A

A

I = I + Ad

A

B’

A’

B

d

et parallèle à AA’ plus le produit de la surface A et le carré de la distance entre les deux axes d :

Le théorème des axes- parallèles (Théorème de Huygens) dit que le moment quadratique I d’une surface par rapport à un axe donné AA’ est égal au moment quadratique I de la surface par rapport à l’axe BB’

passant par le centre de surface

Cette expression peut aussi être utilisée pour déterminer I quand le moment quadratique par rapport à AA’ est connu :

c

J

= J

+ Ad

d

Le théorème des axes-parallèles est utilisé pour calculer le moment quadratique d’une surface composée par rapport

o

centre de surface sont reliés par la distance d entre les points C et O par la relation

Un théorème similaire peut être utilisé avec le moment polaire. le moment polaire J_O d’une surface par

rapport à O et le moment quadratique J_C de la

surface par rapport à son

c

Moments quadratiques des formes géométriques classiques

Le produit quadratique d’une surface A est défini par

∫

I

= xy dA

I_xy = 0 si la surface A est symétrique par rapport à l’un ou l’autre axes de

coordonnées.

Le théorème des axes parallèles pour les produits quadratiques est

I

= I

+ xyA

Où I_x’y’ est le produit quadratique de la surface par rapport aux axes x’ et y’ qui passent par le centre de surface qui sont

parallèles aux axes x et y.

Les axes x et y sont les coordonnées du centre de surface.

x y

x’

y’

O

θ

Les relations entre les moments et les produits quadratiques

dans deux systèmes de coordonnées obtenus par

rotation anti-horaire d’un angle θ de l’un par rapport à l’autre, sont

I

= + - I

+ I

I

sin 2θ 2

I

- I

2 cos 2θ

I

= - I

+ I

+ I

sin 2θ 2

I

- I

2 cos 2θ

x y

x’

y’

O

θ

Les axes principaux de la

surface par rapport à O sont les deux axes perpendiculaires l’un par rapport à l’autre, et par rapport à qui, les moments quadratiques sont maximum et minimum.

Les angles θ correspondants sont notés θ_m , obtenus à partir de,

tan 2θ

= − 2 I

I

- I

I + I I - I

Les valeurs maximum et minimum de I sont appelées

les principaux moments quadratiques de la surface par rapport à O. Ils sont donnés par,

2 2

I_x ,I_y

I_max I_min

C

X’

X

Y’

Y

I_y’

I_y -I_xy -I_x’y’

A B

I_xy I_x

I_x’

I_xy

I_x’y’

O

2θ

2θ_m

x y

x’

y’

a b

θ θ_m O

La transformation des moments

et des produits

quadratiques d’une surface par une

rotation d’axes

peut être représentée