Opt 3 : L ENTILLES SPHERIQUES MINCES DANS LES CONDITIONS D ’ APPROXIMATION DE GAUSS .
Les lentilles sont des systèmes optiques destinés à former des images par transmission et non par réflexion (contrairement aux miroirs).
Elles sont utilisées dans la vie courante (verres de lunettes, loupes, visionneuse diapos, certains verres de montre...) mais aussi dans des instruments d’optique de grande précision comme les microscopes et les télescopes.
I. D EFINITIONS ET PROPRIETES .
1. Lentille sphérique.
a. Définition.
Une lentille sphérique est un bloc de matière transparente homogène et isotrope (en verre par exemple) délimité par deux dioptres dont un au moins est sphérique.
On note . . . le centre des dioptres sphériques
Ce dispositif possède un axe de symétrie de révolution (passant par C1 et C2), on dit que ce système optique est . . .
Cet axe de symétrie de révolution est appelé . . . Il passe par le(s) centre(s) du(des) dioptre(s) . . . et intercepte la(les) calotte(s) sphérique(s) en . . . , le(s) . . .
b. Lentilles convergentes ou divergentes ?
Lentilles à bords minces.
Marche d’un rayon dans une lentille à bords minces :
Lentilles à bords épais.
Marche d’un rayon dans une lentille à bords épais :
La marche d’un rayon incident à travers une lentille sphérique montre donc que :
une lentille à bords minces est un système optique . . . une lentille à bords épais est un système optique . . .
une lentille à bords minces donne d’un objet infiniment éloigné une image . . . une lentille à bords épais donne d’un objet infiniment éloigné une image . . .
2. Lentilles sphériques minces.
a. Définition.
Une lentille sphérique est dite mince si :
Remarque : toute distance inférieure à l’épaisseur de la lentille sera alors considérée comme négligeable.
b. Centre optique.
Dans le cas où une lentille sphérique peut être dite mince, elle est assimilable au voisinage proche de l’axe optique à une lame à faces parallèles.
Un rayon incident arrivant au niveau de l’axe optique ressort . . . . . . Le centre optique O de la lentille est l’intersection du rayon et de l’axe optique.
Pour cette lentille mince, on suppose donc que . . . Et on retient qu’un rayon passant par le centre optique O de la lentille . . . . . .
3. Stigmatisme et aplanétisme approchés.
Après le chapitre Opt2 sur les notions de stigmatisme et d’aplanétisme, on sait que les lentilles sphériques ne sont pas stigmatiques, mais que l’on peut atteindre un stigmatisme approché en utilisant ces instruments dans des conditions particulières, celles de l’approximation de Gauss.
Pour tout point de l’espace, il y a stigmatisme approché et aplanétisme approché à condition de travailler dans les conditions d’approximation de Gauss c’est à dire en limitant les rayons incidents :
aux rayons peu éloignés de l’axe optique ; aux rayons peu inclinés sur l’axe optique.
Conséquence :
Nous pouvons rechercher des relations de conjugaison entre point objet et point image.
Remarques :
Les conditions d’approximation de Gauss limitent les aberrations géométriques (sphéricité, astigmatisme, coma, distorsion...).
Il pourra y avoir des aberrations chromatiques car le matériau qui constitue la lentille est dispersif (et traversé par la lumière). Les conditions d’approximation de Gauss limitent ces aberrations tout comme l’emploi d’achromats.
4. Lentilles sphériques minces dans les conditions d’approximation de Gauss.
a. Incidence sur les lentilles sphériques dans les conditions d’approximation de Gauss.
Dans les conditions de l’approximation de Gauss, les rayons frappent les lentilles au voisinage du sommet S du premier dioptre :
. . .
On modélise la lentille sphérique au voisinage de son centre optique par un plan perpendiculaire à l’axe optique passant O ≅ S1 ≅ S2 .
Ceci ne fait en rien de ces dioptres des dioptres plans !!!
b. Modélisation des lentilles sphériques dans les conditions d’approximation de Gauss.
Lentille convergente Lentille divergente
5. Notion de foyer.
a. Foyer image.
Définition : L’image d’un point objet situé à l’infini sur l’axe optique par un système optique centré est appelé . . . et est noté . . . .
b. Foyer objet.
Définition : Le point objet dont l’image par un système optique centré est situé à l’infini sur l’axe optique est appelé . . . et est noté . . . .
c. Plans focaux.
Définition : Le . . . est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer objet F.
Définition : Le . . . est le plan perpendiculaire à l’axe optique passant par le foyer image F’.
Les plans focaux rassemblent outre F (resp. F’) les foyers secondaires.
Définition : L’image d’un point objet situé à l’infini en dehors l’axe optique, noté B, par un système optique centré est appelée. . . .
Définition : Le point objet dont l’image par un système optique centré est située à l’infini en dehors l’axe optique, notée B’, est appelé . . . .
d. Cas des lentilles sphériques minces.
Pour une lentille convergente, le foyer image F’ est une image . . .
Pour une lentille divergente, le foyer image F’ est une image . . .
Le principe de retour-inverse de la lumière permute les rôles des foyers image et objet F’ et F.
On montre ainsi que . . . Justification du lieu des foyers secondaires pour une lentille :
Lentille convergente Lentille divergente
e. Distance focale, vergence.
Définition : La . . . est la distance algébrique f'=OF' . Définition : La . . . est la distance algébrique f =OF . Dans le cas des lentilles sphériques minces, ces grandeurs sont opposées : f'= −f
Remarques :
Une distance focale s’exprime en mètres.
Elle pourra être positive ou négative, selon la nature convergente ou divergente de la lentille.
Définition : La vergence d’une lentille sphérique mince est la grandeur algébrique 1 1 ' v '
f OF
= = .
Remarque :
Elle s’exprime en dioptries (δ) et pourra être positive ou négative, selon la nature convergente ou divergente de la lentille.
f. Résumé.
Lentille convergente f’ 0 Lentille divergente f’ 0
II. C ONSTRUCTIONS FONDAMENTALES .
1. Construction d’une image.
Il s’agit de construire l’image d’un objet AB perpendiculaire à l’axe optique.
Le système étant aplanétique approché, c’est à dire stigmatique approché pour tout couple (A, A’) et (B, B’), il suffit de construire l’image B’ de B par le système optique et de projeter ensuite B’ orthogonalement sur l’axe optique pour en déduire A’.
a. Construction de l’image B’ d’un objet B situé en dehors de l’axe optique :
Les trois rayons utilisables.
Pour construire l’image B’ de B par le système optique, on utilise des rayons parmi les trois rayons dont la traversée est remarquable :
•
•
•
b. Construction de l’image A’ d’un objet A situé sur l’axe optique.
Pour construire l’image A’ d’un point objet A situé sur l’axe optique, on introduit un second point objet B en dehors de l’axe optique, appartenant au plan perpendiculaire à l’axe optique passant par A, afin de se ramener à la construction de l’image A’B’ de l’objet AB par le système optique.
On conclut en utilisant le caractère aplanétique approché du système.
c. Exemples.
F O F’
A.O.
A B
F O F’
A.O.
A B
F O F’
A.O.
A B
F O F’
A.O.
A B
F’ O F
A.O.
F’ O F
A.O.
F’ O F
A.O.
F’ O F
A.O.
A A
A A
B B B
B
d. Construction de l’objet AB dont l’image est l’objet A’B’.
2. Construction de rayons émergent ou incident.
a. Méthode.
Pour construire des rayons émergents ou incidents (sans qu’il y ait d’objet), on utilise la propriété des foyers secondaires :
Remarque :
On peut choisir comme rayon auxiliaire un autre rayon que celui passant par O ; on peut choisir un des trois rayons remarquables, mais le rayon qui passe par O et qui n’est pas dévié est le plus facile à tracer et celui qui encombrera le moins le schéma.
b. Exemples.
On utilise un rayon auxiliaire parallèle au rayon incident proposé (resp.
au rayon émergent proposé) et passant par le centre optique O de la lentille.
On sait alors que ces deux rayons parallèles convergent dans le plan focal image (resp. sont issus d’un objet dans le plan focal objet).
F O F’
A.O.
A’
B’
F’ O F
A.O.
A’
B’
F O F’
A.O.
F’ O F
A.O.
F O F’
A.O.
F’ O F
A.O.
III. R ELATIONS DE CONJUGAISON POUR UNE LENTILLE SPHERIQUE MINCE DANS LES CONDITIONS D ’ APPROXIMATION DE G AUSS .
1. Relations de conjugaison avec origine aux foyers.
a. Démonstration.
Le grandissement est défini par le rapport suivant : A B' ' γ= AB
b. Relations de conjugaison (formules de Newton).
Pour la position : Pour le grandissement :
2. Relations de conjugaison avec origine au centre optique O.
a. Démonstration.
b. Relations de conjugaison (formules de Descartes).
Pour la position : Pour le grandissement :
IV. A SSOCIATIONS DE LENTILLES SPHERIQUES MINCES DANS LES CONDITIONS D ’ APPROXIMATION DE G AUSS .
1. Lentilles minces accolées.
Deux lentilles minces
(
O f1, '1)
et(
O f2, '2)
sont supposées accolées si . . .On a alors . . . et le système équivaut à une seule lentille mince de centre optique . . . et de distance focale f' donnée par
1 2
1 1 1
' ' '
f = f + f et de vergence v=v1+v2. Démonstration :
