Td corrigé chapitre 4 fonctions exponentielles et logarithmes pdf

CHAPITRE 4

FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES

Exercice 1

Calculez sans calculatrice : 1) log₃ 3

2) ₂ 1

log 16 3) log 3437

4) 3

log 1 3 5) ^{log 31}₃

6) 1

log1000000 7) log 1255

8) ^{log 24 57}



^{ 2}



9) log 0,00001 10) ^{log 35}



^242



11) ^{log 81}₂ 12) ^{log 0,51}₂ ⁷

13) 10^log8,7 14) ₆^{log 136}

15) ₂ 1 ₂

log8 6

16) 100 log 0,001

17) log 16² log 0,0001 18) log 5 log 2 19) log 700 log 7 20) log 8 log100







Exercice 2

Soient a et b les deux réels strictement positifs tel que ^loga2,5 et ^{logb 3,5}. 1) Calculez sans calculatrice :

a) loga⁵ b) log a

b c) ^log



^{a b2 3}



d) log a b e)

10

loga4

b

2) Expliquez pourquoi on ne peut pas calculer ^log



^{a b}



sans calculatrice. Montrez comment on peut trouver une valeur approchée de ce nombre (par exemple au centième près) en se servant d’une calculatrice.

Exercice 3

Les graphiques suivants représentent des fonctions logarithmes ou des fonctions exponentielles. Trouvez l’expression analytique de chacune de ces fonctions en justifiant votre réponse.

2

Exercice 4

Pour chacune des quatre fonctions ci-dessous, trouvez la courbe qui lui correspond parmi les huit courbes du graphique :

( ) 4 log 

f x x

( ) 3 ^x2

g x

 

( ) log 4

h x x

( ) 5 ^x12 k x

Exercice 5

Résolvez les équations suivantes (solutions exactes et solutions approchées au centième près).

1) ₄^x _2 2) log2x 6

3) 1

3 81

  

  

x

4) log 32



x5



5 5) 5^x3  5 6) log 34



x 1



3 7) 4 7 ^2x 5

8) ^5log



^{x  2}



^{7 16 2 log}



^x2



9) ^{log 5 4}



^{ x}



^{log 3}



^x2



10) 3 7 ^{`8 3 x</sup>   4 1 10 7<sup>`8 3 x}

4

11) 11 log( x 5) 14

12) log 25



x11



log 7 55



 x



0 13) ₁7

8^_x 112

14) 3 2 ^5x1  7 11 2^{5 1x} 23 15) ^{log 12}



^{x 8}



²

16) log 39



x2



0,5 17) ^{log 5 log}



^x3



^2

18) ^{log 5}



^3x4



^0

19) ₁₁^{5 log x}_1

20) ^{2 3}



^x14



^{ 11 3x  2 5 6 3}



^{ x}



SOLUTIONS

Exercice 1 (corrigé complet)

1) 3 3

1 1

log 3 log 3

2 2

 

2) 2 2 2 ⁴ 2

log 1 log 16 log 2 4log 2 4

16       

3) log 343 log 77  7 ³ 3log 7 37 

4) 3 3

log 1 log 3 1

3   

5) 1 1

3 3

log 3 log 1 1

  3 

6) 1 ⁶

log log10 6log10 6

1000000     

7) log 125 log 55  5 ³ 3log 5 35 

8) ^{log 24 57}



 ²



^{log 24 257}

^



^

log 49 log 7⁷  ^{7 2} 2 og 7 2⁷  9) log 0,00001 ¹log10 ^{5 1}

 

5 log10 ⁵

2 2 2

     

10) ^{log 35}



²⁴²



^{log 9 165}

^



^

log 25 log 5⁵  ^{5 2} 2log 5 2⁵ 

11) 1 1 1 1

2 2 2 2

3 1

log 8 log 2 3log 2 3log 3

    2  

12) 1 1 1

2 2 2

7 1

log 0,5 7 log 0,5 7 log 7

  2 

13) 10^log8,78,7 14) 6^{log 136} 13

15) ₂ 1 ₂ 1 1 ²

log log log log10 2log10 2

8 6  64 36  100      

 

6

16) 100 ² 1 ³ 3 3 7

log log100 log 0,001 log10 log10 2log10 log10 2

2 2 2 2

0,001

         

17)

4

2 2 2

4

log 16 log 2 4log 2 4

log 0,0001 log10 ^  4log10 4 1

 

18) log 5 log 2 log 5 2 







log10 1

19) 700 ²

log 700 log 7 log log100 log10 2log10 2

  7    

20) log 8 log100







log 8 log10



 ²



log 8 2

^



^

log10 1 Exercice 2

1) loga⁵ 12,5 log a 4,75

b ^log



^{a b2 3}



^{ 5,5 log a 3}

b

10

loga4 39 b

2) Il n’existe pas de formule qui permet d’exprimer ^log



^{a b}



en fonction de ^loga et de ^logb donc on ne peut pas calculer ^log



^{a b}



sans calculatrice.

Calculatrice : loga2,5 a 10^2,5 et logb 3,5 b 10^3,5 donc ^log



^{a b}



^{log 10}



^{2,5103,5}



^2,50

Exercice 3

1) La courbe de f1 admet (Ox) comme A.H. donc f1 est une fonction exponentielle et comme f1

 

1 4 on a f x1

 

4^x.

2) La courbe de f2 admet (Oy) comme A.V. donc f2 est une fonction logarithme et comme f2

 

3 1 on a f x2

 

log3x.

3) La courbe de f3 admet (Oy) comme A.V. donc f3 est une fonction logarithme et comme f3

 

0,5 1 on a

 

¹

3 log0,5 log2

f x x x.

4) La courbe de f4 admet (Ox) comme A.H. donc f4 est une fonction exponentielle et comme f4

 

1 1,5 on a f x4

 

1,5^x.

5) La courbe de f5 admet (Ox) comme A.H. donc f5 est une fonction exponentielle et

comme 5

 

1 0, 25 1

  4

f on a 4

 

0, 25 1 4

     

x

f x x .

8

Exercice 4 (corrigé complet)

Les courbes 1 à 4 ont des A.V. donc elles ne peuvent pas représenter des fonctions exponentielles, alors que les courbes 5 à 8 ont des A.H. donc elles ne peuvent pas représenter une fonctions logarithmes. Par conséquent les courbes de f et h ne peuvent être que parmi les courbes 1 à 4 et les courbes de g et k ne peuvent être que parmi les courbes 5 à 8. De plus :

 

^{1  4 log1 4}

f donc C_f C3

 

^{2 30 1}

g donc C_g C5

 

^{ 3 log1 0}

h donc C_h C1

 

^{ 1 50  2 1}

k donc C_k C6

Exercice 5 1) ^S

 

^0,5

2) ¹



^0,015625



64

   S   3) ^{S }

 

⁴

4) ^S

 

⁹

5) ^{S }



^2,5



6) ^S

 

²¹

7)

log5 4 2log 7

 

 

  

 

 

S avec

log5

4 0,06 2log 7  8) ^S



¹⁰⁰²



9) ^S

 

¹

10) S  11) ^{S }



^4,999



 4

13) 7 3

    S  

14) 2

5

    S   15) ^S

 

⁹

16) ^S

 

³

17) ^S

 

¹⁷

18) ^S

 

²

19) ^S



¹⁰⁰⁰⁰⁰



20) S 

10