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Chapitre 4 : Les fonctions exponentielles
Objectifs :
*Connaitre l’allure de la représentation graphique des fonctions exponentielles
* Connaitre la dérivée, les variations et la représentation graphique de la fonction exponentielle.
*Connaitre et savoir utiliser les propriétés de cette fonction.
*Connaitre la dérivée d’une fonction de la forme
Exemple : Une population augmente chaque année de 1,5%. En début 2010, cette population était de 55 milliers d’habitants.
1) Déterminer le terme général de cette suite géométrique et en déduire le nombre d’habitants en 2016 et 2025.
2) En supposant que l’augmentation est constante au fil des mois, estimer la population en avril 2010 , en juin 2011 et en décembre 2012.
3) En supposant que l’évolution était la même avant 2010, estimer la population en 2009 et 2008.
I. Les fonctions exponentielles
Propriété : q est un réel et q >0. On considère le nuage de points représentatif de la suite géométrique (qn).
Il existe une unique fonction f définie sur R et qui vérifie :
i) La courbe représentative de f réalise un prolongement continu de ce nuage ; ii) f est dérivable sur R
iii) pour tous nombres réels x et y, on a (il s’agit d’ une relation fonctionnelle)
Définition: La fonction précédente est appelée la fonction exponentielle de base q.
On la note pour tout réel x,
Remarque : q0=1 ; q1=q ; q-1= et pour tout nombre réel x, 1x=1 Conséquence : pour tous nombres réels x et y et pour tout nombre entier relatif n, on a : qx+y=qx qy ;qx-y= ; qx>0 ; (qx)n=qnx=(qn)x
Propriétés : Le sens de variation de la fonction f définie par f(x)=qx est:
Si , la fonction f est strictement décroissante sur R Si , la fonction f est strictement croissante sur R.
Chapitre 4 : fonctions exponentielles Page 2 Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
3p67+20,21,22p74+31 ,35p75
Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette p63+1,2,4p67+23,28,29,30,32,33,34p75+78à85p79
II. La fonction exponentielle
Définition : On appelle la fonction exponentielle l’unique fonction exponentielle ayant 1 comme nombre dérivé en 0.
L’image de 1 par cette fonction est noté e.
L’image d’un réel x est notée ex (ou exp(x)) .
Ainsi cette fonction est la fonction exponentielle de base e où e est un réel tel que e 2,718.
Propriétés :
i) La fonction exponentielle est continue et dérivable sur R ; sa dérivée est égale à elle-même.
exp’(x) = exp(x)
ii) La fonction exponentielle est strictement croissante et convexe sur R.
Propriétés : Pour tout réels x et y, pour tout nombre entier relatif n
ex+y=ex ey ; ex-y= ; (ex)n=enx=(en)x Propriétés : ( Equation, Inéquation) : Pour tout réels a et b,
i) ea=eb équivaut à a=b ii) ea<eb équivaut à a<b
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
6,7,8,10p69+12p71+36,38,39,40,41,42,43,45,46p75+54,55,56,57,58,59p76+64p76+86p79+89,92p81 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
9p69+13p71+24,25,26p74+37,44,48p75+49à53,60à63p76+87,88,91,93à95p81 III. les fonctions de la forme eu où u est une fonction
Propriétés : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I de R et u’ est sa dérivée sur I. La fonction eu est dérivable sur I et sa dérivée est la fonction u’eu.
Exemple : Déterminer la dérivée de la fonction f définie sur R par :
Exercices : Déclic TES/L 2016 Hachette
15,17p72+65,66,68,74p76+96,97,98,99,105p81+113,114,114,116p84+121,122p86 Exercices supplémentaires : Déclic TES/L 2016 Hachette
16,18,19p72+27p74+67,69à73p76+p77+75,76,77p77+100à105p81+p82,83+117,118p85+
119,120,123à126p87
