A 1 L Chapitre 4 Les fonctions

(1)

1

^ère

L Chapitre 4 Les fonctions

I. L’expression « en fonction de » ; aspect calcul 1°) Exemple 1

J’achète 6 œufs.

Chaque œuf coûte x euros.

Le prix de la boîte est de 6x euros.

Le prix de la boîte est exprimé en fonction de x.

2°) Exemple 2

Un commerçant vend un article 10 euros pièce.

Le bénéfice réalisé en euros pour la vente de x articles est égal à : 10x. 3°) Exemple 3

La vitesse moyenne est donnée par la formule d v t.

On dit que la vitesse moyenne est exprimée en fonction de la distance parcourue d et du temps de parcours t.

4°) Exemple 4

L’aire d’un carré de côté a est donnée par la formule A a². II. L’expression « en fonction de » ; aspect graphique Passage tableau graphique étudié en 6^e

1°) Rappel

abscisse ordonnée

2°) Représenter une grandeur en fonction d’une autre

Exemple 1

Distance parcourue en fonction du temps Ordonnée Abscisse Le temps en abscisse ; la distance est en ordonnée.

temps distance

Exemple 2

Température en fonction du temps Ordonnée Abscisse.

(2)

III. Mots-clefs sur les fonctions

Fonction Exemple

Fonction f x: x²3 (flèche  : « a pour image ») Fonction f définie par ^{f x}

 

^x²³

Image Image de 2 : ^f

 

² ²² ^{3 1} Antécédent 2 est un antécédent de 1 par f.

Représentation graphique Courbe représentative

O Maximum

Minimum Variations

(Fonction croissante ; Fonction décroissante)

Tableau de variations

x

Variations de f … …

IV. Fonctions linéaires ; fonctions affines 1°) Définition

:

f xaxb fonction affine de coefficients a et b :

f xax fonction linéaire de coefficient a Cf

2°) Représentation graphique

f:xaxb  droite d’équation  

coeff. ordonnée à l'origine dir.

y a x b

O b

f:xax  droite d’équation yax (cette droite passe par l’origine)

O

3°) Formule du coefficient directeur :

f xaxb

x et 1 x sont deux réels tels que ₂ x₁x₂.

 

2

 

1

2 1

f x f x

x x a

 



4°) Exemples

 f x:  2x3 fonction affine de coefficients a = 2 et b = 3.

la variable

(2 : nombre multiplicateur devant la variable ; 3 : constante)

 f x: 4x fonction linéaire de coefficient a = –4 (fonction affine de coefficients a = –4 et b = 0).

: D yax

:

D yax b

(3)

5°) Cas particulier : fonctions constantes

 

f x a (a nombre fixé)

Dans ce cas, la fonction f est représentée par une droite D parallèle à l’axe des abscisses d’équation ya. 6°) Sens de variation d’une fonction affine

:

f xaxb

 Si a > 0, alors f est croissante.

 Si a < 0, alors f est décroissante.

V. Exemples concrets de fonctions 1°) Fonction du temps

- Température en fonction du temps : ^T^ ^{f t}

 

- Altitude en fonction du temps : ^h^{f t}

 

2°) Fonctions économiques x : nombre d’articles produits

 Coût de la fabrication : C(x)

 Recette : R(x) = prix d’un article  x

 Bénéfice : B(x) = recette – coût de production = R(x) – C(x)

Application aux études de marché.

VI. Utilisation d’un tableur 1°) Calculs d’images

 

³ ³ ²

f x x  x

Calcul des images de 1 à 10 avec un « pas » de 1.

A B

1 x ^{f x}

 

2 3 4

Colonne A

 Dans A1, on écrit 1.

 Dans A3, on saisit la formule « = A2 + 1 ».

 On recopie vers le bas de A2 à A11.

Colonne B

 Dans B2, on saisit la formule « = A1^3 – 3*A1 + 2 ».

 On recopie vers le bas de B2 à B11.

2°) Représentation graphique

On effectue d’abord un tableau de valeurs.

On va dans l’assistant graphique (icône ).

VII. Variations ; taux de variation 1°) Exemple

Le tableau suivant indique les températures relevées toutes les 4 heures dans une ville au cours d’une journée : Heure t 0 ^h 4 ^h 8 ^h 12 ^h 16 ^h 20 ^h 24 ^h

Température T 5° 3° 8° 10° 15° 9° 6°

Variation absolue de la température entre 0^h et 4^h : T=3°-5° = –2°

Variation absolue de la température entre 4^h et 8^h : T=8°-5° = 3°

Taux de variation (ou accroissement moyen) entre 0^h et 4^h : 3 5 2 4 0 4 0, 5

 

  



Taux de variation (ou accroissement moyen) entre 4^h et 8^h : 8 3 5 1, 25

8 4 4

  



2°) Définition

Le taux de variation ou taux d’accroissement d’une fonction f entre x et ₁ x (₂ x₁x₂) est égal à :

 

2

 

1

2 1

f x f x

t x x

 

 .

3°) Propriété

Pour une fonction affine f:xaxb, le taux de variation entre deux nombres est toujours égal à a.

Si x , ₁ x , ₂ x , ₃ x sont tels que ₄ x₁x₂ et x₃x₄, alors on a :

       

 

2 1 4 3

f x f x f x f x

x x x x a

 

 

  .

(4)

VIII. Interpolation linéaire 1°) Exemple

Le tableau suivant indique les températures relevées toutes les 4 heures dans une ville au cours d’une journée : Heure t 0 ^h 4 ^h 8 ^h 12 ^h 16 ^h 20 ^h 24 ^h

Température T 5° 3° 8° 10° 15° 9° 6°

Dans un repère du plan, l’axe des abscisses représente le temps (0,5 cm pour 1 h) et l’axe des ordonnées représente la température T (0,5 cm pour 1°).

On place les sept points donnés par le tableau.

0

t (en h) T (en °C)

4 8 12 16 20 24

5

13

Le tableau ne nous donne pas les températures en dehors des valeurs mesurées. Pour estimer ces valeurs, on fait une interpolation linéaire.

On relie les points par des segments de droites.

On obtient ainsi une ligne brisée ouverte appelée « courbe d’interpolation linéaire ».

Graphiquement, on peut donner une estimation de la température à 13 ^h : 11,3°.

On va calculer une valeur approchée de cette température par la méthode d’interpolation linéaire.

On exprime que le taux de variation entre 12 ^h et 13 ^h est le même qu’entre 12 ^h et 16 ^h :

 

13

 

12

 

16

 

12

13 12 16 12

T T T T

  

 

13 10 15 10

13 12 16 12

T  

  

 

¹³ ¹⁰ 5

1 4

T 



 

¹³ ^{10 1, 25}

T  

 

¹³ ^{11, 25}

T 

2°) Méthode

On traduit par une équation en utilisant une égalité de taux de variation.

IX. Equations de droite 1°) Propriété

Toute droite non parallèle à l’axe des ordonnées admet une équation réduite de la forme : ymxp.

2°) Vocabulaire

m s’appelle le coefficient directeur de la droite.

p s’appelle l’ordonnée à l’origine.

3°) Formule du coefficient directeur A et B sont deux points tels que x_Ax_B.

Le coefficient directeur de la droite (AB) est égal à : ^B ^A

B A

y y

m x x

 

 .

Toujours l’ordonnée sur l’abscisse.

4°) Exemple

 

A 3 ; 4 ; ^{B 4 ; 7 .}

 

Déterminer l’équation réduite de la droite (AB).

Rédaction-type :

A B

x x donc (AB) n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées.

Par conséquent, la droite (AB) admet une équation réduite de la forme ymxp. Calcul de m :

B A

7 4 3

4 3 y x

m x x

 

  

 

Calcul de p :

L’équation réduite de (AB) s’écrit : y3xp.

A 3 A

y  x p 4  3 3 p

5 p 

L’équation réduite de (AB) est donc y3x5.

(5)

X. Autour des unités de temps 1°) Exemples

- Convertir 5,3 h en heures et minutes.

5,3 h = 5 h + 0,3 h = 5 h + (0,3  60) min = 5 h + 18 min

- Convertir 2,37 h en heures, minutes et secondes 2,37 h = 2 h + 0,37 h

= 2 h + (0,37  60) min = 5 h + 22,2 min = 5 h + 22 min + 0,2 min = 5 h + 22 min + (0,2 60) s = 5 h + 22 min + 12 s 2°) Cas particuliers

0,5 h = une demi-heure = 1

2 h = 30 min 0,25 h = 1

4 h = un quart d’heure = 15 min 1

3 h = 20 min

XI. Croissance/décroissance linéaire Il s’agit de phénomène chronologique.

On modélise un phénomène par une fonction affine f en fonction du temps t.

Voir exercices.