Sur l'application des phénomènes de réflexion totale à la mesure des indices de réfraction des cristaux à deux axes

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Sur l'application des phénomènes de réflexion totale à la mesure des indices de réfraction des cristaux à deux axes

SORET, Charles

SORET, Charles. Sur l'application des phénomènes de réflexion totale à la mesure des indices de réfraction des cristaux à deux axes. Archives des sciences physiques et naturelles, 1888, vol. 3e période, t. 20, p. 263-286,pl.III

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SUR L'APPLICATION DES PHÉNOMÈNES

REFLEXION

DE

_TOTALE

A LA MESURE DES

INDICES DE RÉFRACTION

DES

CRISTAUX

^A

DEUX AXES

PAS

M. Charles SOKET

i.

^{La méthode de la} réflexion totale ^offre,

pour

^la me- sure ^des indices ^de réfraction, ^des ressources ^bien connues de tous ^les physiciens;

très

^{commode déjà}

pour

^les corps monoréfringents, ^elle

introduit _surtout

des simplifications notables

dans l'étude

^des cristaux doués ^de

la

^double

ré-

fraction.

Dans ^]e _cas ^des cristaux

à un

^axe optique, il

n'est

plus besoin

d'un

prisme limpide

ayant

_ou bien son angle

réfringent

bisséqué

par

^{la section}

principale,

_{ou bien}

une de ses faces parallèle à

l'axe'.

Une seule face, orientée

d'une

manière quelconque,^suffit

pour

^la mesure ^{des deux} indices principaux.

La question _se présente sous

un

aspect moins simple lorsqu'on aborde ^les cristaux ^à deux _axes. ^{A la} surface

de l'onde ^de Huygens, formée

d'une

sphère _et

d'un

^ellip-

soïde, on doit substituer la surface de l'onde de Fresnel,

avec ses deux nappes qui ne sont

ni

^sphériques

ni

ellip- soïdales, symétriques

par ^rapport

^{à trois axes rectangu-}

laires

d'élasticité, dont l'orientation

peut varier _avec la longueur

d'onde

de

la

lumière employée; _et

par rapport

à trois ^plans principaux, ^qu'elles coupent toujours

l'une

suivant

un

^cercle,

l'autre

suivant une ^{ellipse, et} dont

l'un

contient ^les quatre points singuliers ^seuls communs aux deux nappes. ^{Au lieu de} deux indices

principaux,

_{il y} en ^{a trois à} mesurer

pour

chaque couleur.

Par

la méthode de la déviation minimum, _cette mesure ^exige l'emploi

de

trois prismes ayant leurs arêtes réfringentes respective-

ment parallèles aux ^{tro~s axes}

d'élasticité;

_{ou bien} ^de deux prismes,

dont

l'angle réfringent soit bisséqué

par

^{une des}

sections principales. Au lieu de chercher la déviation mi-

nimum

_on peut opérer _sous l'incidence normale; ^{il suffit} alors ^de deux prismes ayant chacun _une ^{face parallèle à}

une ^section principale.

Ici encore on simplifie

l'opération

_en

ayant

recours ^à la ^réflexion totale.

Je

_{me propose} ^de démontrer dans _ce travail _que,

contrairement

^à _{ce que}

l'on

paraît ^avoir cru

On peut, il est vrai, employer des prismes orientés d'une _ma- nière quelconque pour la détermination ^{des indices} principaux^des cristaux à un axe ^ou à deux axes.^{Mais il} faut alors _en général renoncer aux avantages ^de la déviation minimum _{ou de} l'incidence normale, et ^le calcul est beaucoup plus long. Voyez T. Liebisch, Neues JftM'tfe~ fur Mineralogie, etc., ^188G, I, p. ^{14. Konigl. Ge-} selischaft der Wissenschaften Gottingen. Mai 1888.

jusqu'ici, la simplification

peut

être poussée aussi loin _que

dans

^le _cas ^des _cristaux à

un

^axe.

2.

On

admet

généralement que,

pour déterminer par

la méthode de la réflexion totale les indices

principaux

d'un

cristal à deux _axes optiques, ^il faut

opérer sur

^une

face taillée

parallèlement

à

J'un

_{des axes}

d'élasticité. Sur

les

quatre

valeurs

maxima

_et

minima

^de

l'angle

limite ^1,

il y en

a trois

^qui

donnent directement

les

trois

^indices

principaux par

^{la formule}

M =

sin

¹

où représente l'indice du

milieu

extérieur

au cristal.

On

reconnaît aisément

_ces

trois

valeurs, soit en

répétant l'opération sur une

^{seconde face, soit}

en tenant

compte des

conditions

^de

polarisation

^des deux

rayons.

Si la face

contient

deux _{des axes}

d'élasticité,

alors deux des

quatre

^valeurs

deviennent

^égales,

et toute indétermi- nation disparaît.

On

ne

^semble pas avoir

remarqué'

_que

la

même

mé-

thode

peut être

^{appliquée à}

une

^{face taillée}

d'une manière

quelconque ^dans

le cristal;

la

démonstration n'est

soumise à

aucune

^{difficulté ni}

restriction,pourvu

que

l'intersection

de cette ^face et ^de

la

surface ^de

l'onde

de

Fresnel

^soit

une courbe

^convexe en tous ^ses points. Les faces qui

ne

satisfont pas ^{à cette}

condition,

_{et qui}

passent

_assez ^près

Voyez en particulier T. Liebisch, Neues J~M~c~fur ^Mine-

ralogie, _etc., 1886,1, _{p. 31.} Groth, Physikalische Krystallogra- phie, 1885, p. ^{102. C.}

Pu!frich,t~MM.,1887,

_{XXXI, p.} ^732.

D'après quelques lignes du mémoire de ^M. W. Kohlrausch, Wied. Ann. ^1879, VII, _p. ^428, _on peut cependant conclure que le principe dont il s'agit ^ici n'avait pas échappé à cet auteur. ^Mais il ne l'a pas développé, et ^les déductions théoriques auxquelles il le rattachait renfermaient_une erreur ^assez grave.

d'un point

^ombilical _pour

entamer

^{le cercle de} contact

du plan tangent

^singulier,

exigent

^des précautions ^spéciales lorsqu'elles ne

sont

pas parallèles ^à

l'un

^des _{axes de} ^plus

grande _ou ^de plus petite élasticité. ^{Nous les} examinerons

séparément.

^{Les faces parallèles à}

l'axe

^de moyenne élas- ticité, et voisines

d'un

_axe optique,

n'échappent

_pas à cette

restriction,

_que ^les

traités

^de cristallographie

ne si-

gnalent _{pas. Les}

erreurs

^{qui peuvent en résulter}

ne sont

d'ailleurs appréciables que pour ^les cristaux fortement biréfringents.

Pour

les autres ^faces, la seule différence _{avec le} cas habituellement considéré, consiste en ^ce que ^les

maxima

et ^les

minima

^des angles limites de réflexion totale ne s'observent plus _en général dans ^des plans

d'incidence

rectangulaires

entre

_eux.

Cette généralisation, qui supprime ^de sérieuses ^diffi- cultés expérimentales, _repose sur trois propositions très simples que je

démontrerai

successivement.

Faces éloignées des ombilics.

3. ^PREMIÈRE PROPOSITION.

Sur

toute section diamé- trale ^de

la

surface ^de l'onde, _ne passant pas

par

^{un point}

ombilical, trois ^des quatre rayons ^{vecteurs maxima et} minima sont ^c~aMa: respectivementaux trois vitessesprincipales.

4.

^H _est ^{facile de} _se

rendre

_compte

intuitivement

^de l'exactitude ^de _cette proposition.

Soient,

_en effet

OX,

OY, OZ les axes ^de plus grande, de moyenne, ^{et de} plus

petite élasticité,

a,

^{b et c les}

^trois

^vitesses principales, maximum, moyenne et minimum.

La surface ^de

l'onde étant

formée ^de deux _{nappes, son}

intersection

_avec

un

^plan

^diamétral

^{quelconque se com-}

pose de deux courbes dont

l'une

^enveloppe

l'autre.

La

nappe extérieure

^{de la surface} coupe ^le plan ^YZ

sui- vant un

^{cercle de}

rayon

a,

la nappe intérieure

coupe ^le plan ^XY suivant

un

^{cercle de}

rayon

_{c; enfin} ^{le plan XZ}

est coupé

suivant un

^{cercle de rayon b, qui}

appartient

en

partie

à la nappe extérieure et ^en

partie

^{à la} _nappe

intérieure. Un

plan diamétra! quelconque

coupant

^forcé-

ment

^les trois plans coordonnés, ^il est clair _{que son}

inter-

section _avec la surface ^de

l'onde rencontrera

_ces ^trois

cercles

et aura

un rayon vecteur ^égat

à a

en

un point appartenant

^à la courbe extérieure,

un rayon

^vecteur

égal à _c

en un point appartenant

^{à la courbe}

intérieure, et un rayon

^{vecteur égal à b} en

un point appartenant

^à

l'une

_ou à

l'autre

^des deux courbes suivant ^la position du plan diamétral.

On sait

d'ailleurs

_que ^les rayons vecteurs ^{de la}

nappe extérieure

^{de la} surface, et

naturellement

aussi ^{de la} courbe extérieure de

l'intersection, sont

^compris

entre

_a et ^b, et que ^{ceux de la} nappe

intérieure,

et aussi de ^la courbe

intérieure, sont

compris

entre

^b et _c.

On en conclut que ^le

rayon

^vecteur a est

un

^maximum

pour

^la courbe extérieure, ^le

rayon

^vecteur c,

un mini- mum pour

^{la courbe}

intérieure,

_et ^le

rayon

^{vecteur b}

un minimum

_ou

un

^maximum

suivant qu'il appartient

^à la courbe extérieure _{ou à la} courbe

intérieure.

Si le plan diamétral passe

par

un

point

ombilical, ^le

point

^de _{rayon vecteur} ^b _{est commun}

aux

deux courbes

et

pour

^{chacune il est}

un point

^{anguleux. Ces} deux points

anguleux opposés

par

^{le sommet} se confondant _en

un

point ^{double, le}

rayon

^{vecteur b}

tout

_en

étant

^{le plus} petit de la courbe extérieure, _{et le} plus grand ^de la courbe

intérieure, _cesse

d'être un

^maximum ou

un

^{minimum de} la courbe complète.

5. La démonstration analytique

n'est

_{pas moins aisée.}

En

_conservantles mêmes notations,

l'équation

^bien _connue

de la surface ^de

l'onde rapportée

_{aux axes} d'éiasticité _est

Considérons une section quelconque

passant

_par

l'ori-

gine ^des coordonnées, _et rapportons la ^{surface à}

un ^nou-

veau système d'axes rectangulaires, dont deux,

OX'

_et

OY soient

_contenus dans cette section, et dont ^le

troi-

sième

_j3y, OZ'

_{lui soit} perpendiculaire. Soient _o~,

a,

^e~;

j3~; les cosinus ^des angles formés

par

les nouveaux ^{axes avec les} anciens, entre ^lesquels sub- sistent ^les relations connues

et leurs ^analogues. Dans

l'équation

(1) transformée _en

x', j/

^{nous ferons}

₌

^{o, et}

nous aurons l'équation

de l'intersection ^de

la

^surface

del'onde

_{et du plan} diamé-

tral

considéré. ^Cette équation peut

s'écrire

en

^{posant pour abréger}

tions

(4)

_et

(2)

^les valeurs ^des cosinus

a,

^{et des}

vitesses principales _{a, b, c,}

en

^{fonction des} coefficients A, B, C, D,

E,

F ^de

l'équation (3)

^de

l'intersection.

On trouve en ^effet

et ^des valeurs analogues

pour

^{jSy, tandis que les}

carrés

des vitesses principalesa, ^b, c sont trois ^des

quatre

^racines

de

l'équation

Cherchons

maintenant à

^{déterminer les} valeurs

ma-

xima et

minima

^du

rayon

^{vecteur de}

l'intersection

donnée

par l'équation (5);

_nous

_aurons à

^{éliminer <p}

entre

cette

équation

_{et la suivante,} qui

s'en déduit par

dérivation en

exprimant qu'aux

points ^cherchés

_sp =

^o.

ebenen Centralschnittederselben. Sitzungsb. der ^jUba~. der Wis- sensch. München, 1883, XIII, p. ^423.

En

développant ces

équations(5) et (9),

conformément

aux

^relations

(6),

_nous

_aurons

Pour faire

^F élimination ^{de fp}

nous

remplacerons ^2co~<?

par

^{1 -j- co~2<p;} 2s!'?~<p

par i

^{co~2<p et} 2~<pc<M<p

par

s!M2<p; nous poserons

pour

^abréger

Cette équation, ^du

4'

^degré _en ^p', qui donne les qua- tre ^valeurs maxima et minima ^du rayon ^{vecteur de} l'intersection, _est identique à

l'équation (8)

^{de M. Brill} qui compte ^les carrés ^des

trois

vitesses principales parmi

ses

racines;

donc

parmi

^les quatre rayons ^vecteurs ma- xima et minima

d'une

section diamétrale quelconque de la surface de

l'onde,

^il _{y en a} toujours trois qui sont égaux aux ^vitesses principales a, ^{b et c.}

6. ^DEUXIÈME PROPOSITION.-Le cristal étant _{en contact} avec ^:<a milieu plus réfringent d'indice

–

_{quantité 7~}

déduite

par

^{la formule}

de l'angle limite

I

^{de réflexion totale} _sur une face plane quel- conque, ^{est le} rayon^{vecteur, comprisdans}

le

plan d'incidence, de

la

^{podaire de} l'intersection de la ^{surface de l'onde} _avec

la face considérée.

7. Je reproduirai ^{ici la} démonstration géométrique très simple que

j'ai

^déjà donnée ^de _ce théorème, dans une

note communiquée en

1885,

à propos

d'un

mémoire

de ^M.

Liebisch',

à la Société ^de physique et d'histoire naturelle ^de Genève.

On sait _que

lorsqu'un

corps monoréfringent ^{est plongé} dans

un

^{liquide d'indice} plus étevé, la vitesse ^{V de la}

C. Soret, Sur la réflexion totale ^à la ^{surface des} _corps biré-

fringents. Archives, 1885, XIV, p. ^96.

T. Liebisch, Ueber die Totalreflexion an optisch einaxigen KlystaUen. Neues Jahrbuch^/'Mf Mineralogie, ^1885, 1, _p. 246.

lumière

dans

_{ce corps}

peut

_se

déduire

de

la

vitesse _v

dans

le liquide et de

l'angle

_limite de réflexion totale I,

par

^la

relation

V,

dans

_{ce cas, est à}

la

^fois la vitesse du

rayon lumineux

et la vitesse ^de

propagation normale

^de

l'onde plane ré-

fractée.

Quelle est

maintenant

la signification physique ^de la

quantité

^V,

déduite

^de

l'équation (13),

lorsque ^le corps à

la

surface duquel s'effectue la réflexion totale est

un

cristal

biréfringent.

Soit

^{MM le}

plan

^de

séparation

^de deux milieux homo- gènes,

l'un

^A

monoréfringent, l'autre

^B quelconque

et

moins

réfringent

_que A.

Soit

^SO

un rayon incident

^quel- conque, SOP ^le

plan d'incidence,sur

^{lequel la fig.}

i

^{(PI. 111)}

est supposée projetée.

Pour obtenir, par la construction

d'Huygens,

le

rayon réfracté

^et

l'onde plane réfractée,

nous

^devons

d'abord tracer autour

^de

0

_comme

centre,

une

^{sphère F de}

rayon

v; prolonger ^{SO jusqu'à sa}

ren-

contre

_en

S'

_avec F,

et mener

_en

S'

^un

plan tangent à

F.

^Ce plan

sera

^évidemment

normal

_{au plan}

d'incidence,

et coupera ^le

plan réfringent

^MM

suivant un~

^{droite L,} également

normale

_{au plan}

d'incidence.

^On

a

^alors

A la limite de réflexion totale l'angle d'incidence

prend

la valeur

particulière

¹ _on

aura

^donc

sin

l= ^v

~=UT

relation qui, comparée à l'équation

(13), montre

que OL

représentera

^à _ce moment la

quantité

^{V, dont}

nous

^cher-

chons

l'interprétation.

Reprenons la construction générale. Nous devons

main- tenant tracer, autour

^de

0

_comme centre,

la

^{surface de}

l'onde

(surface ^de Fresnel, Strahlenflâche) relative au milieu

B;

soit ^G cette surface que nous ^laissons

indéter-

minée comme ^la

structure

^{du milieu B elle-même. Par} la droite ^L

nous

devrons mener ^{à G} un plan

tangent,

qui sera encore

normal

au plan d'incidence, et ^représen-

tera l'onde

^{plane réfractée le point de contact R} _sera généralement en ^{dehors du} plan d'incidence, et ^OR sera

le rayon réfracté.

Augmentons progressivement l'angle d'incidence

i;

^la construction

sera

possible, et la réfraction

aura

^{lieu régu-}

lièrement,

tant

_que ^{la droite} L sera extérieure ^{à la}

sur-

face G. Dès que ^L coupera ^G, on ne

pourra

^plus

mener

le plan

tangent

qui représente l'onde réfractée, et _{il y}

aura

réflexion totale. A la limite ^{de réflexion} totale, ^L

sera

tangente ^{à G,} donc la dernière onde plane ^réfractée

qu'il

sera possible de

construire aura

son point ^de contact ^R avec ^G sur ^la droite L elle-même,

c'est-à-dire

_sur ^le plan réfringent. ^Il _est clair d'ailleurs _que l'inclinaison de cette onde plane

sur

^le plan réfringent dépendra de la forme de

la surface de

l'onde,

_{et que} ^le point ^de contact ^R _ne sera généralement pas dans ^le plan d'incidence.

Donc ^à la limite de réflexion totale: le rayon

tv/rac~

-est compris ^dans

le

plan réfringent, mais s'ceor~ générale- ment ^du plan d'incidence; 2° la ^normale à l'onde plane ré- fractée _{est, comme} <ot<OMrs, comprise dans

le

plan

d'inci-

dence, mais s'écarte généralementdu

plan

réfringent.

Prenons maintenant

^MM

_{pour plan}

^de la figure

2.

Soit

NN la

trace

^du

plan d'incidence,

_et

H l'intersection

de MM avec

la

surface de

l'onde

G. A la limite ^de réflexion totale, la

droite

L,

perpendiculaire au plan d'incidence,

est, comme nous venons ^{de le} voir,

tangente

^{à la courbe}

H;

OR est ^le

rayon

^réfracté

OL=V, _{dont nous}

cherchions

l'interprétation,

est donc la ^projection sur ^le

plan d'inci-

dence de

la

^vitesse du rayon réfracté. Si

l'on

^fait

tourner

le plan

d'incidence autour

^{de la}

normale

_en

0 à

^la

sur-

face de

séparation

^des deux milieux, la courbe, lieu des

po<H< L, _que ^~'OM

pourra

^{déduire de la} détermination dps angles limites, sera ^la podaire

par ^rapport

^SM

^point

^{0 de la}

a~e~'oM faite^par

le plan

réfringent ^dans la surface de l'onde décrite autour ^de

0

_comme centre.

Ces

résultats étant indépendants

^de la forme de

la sur-

face de

l'onde, s'appliquent à un

milieu homogène

ani-

sotrope quelconque; toutefois

leur

application

demande

quelques

précautions lorsque la

possibilité de

mener par

la

droite

L

un

^plan

tangent

^{à la surface de}

l'onde ne

^cesse pas

au moment où

^{L commence à}

entamer

^la surface, et

lorsque

^le plan

tangent mené par

^{L a avec la surface des}

points de contact

autres

_que ^{R. C'est} _ce ^qui

a

^lieu

pour

les

cristaux

à deux _axes, ^si la ^face

réfringente

_{passe assez} près ^des points ombilicaux

pour entamer

^{le cercle de}

contact du

^plan

tangent

^singulier.

8.

^TROISIÈME PROPOSITION.– Sur toute section coupant

la

surface ^{de l'onde} suivant _«Me ^courbe eoKM.re, les maxima

et

les minima de

la

podaire _se ^confondent _{avec ceux} ^de

l'inter-

se'c<'MMc~-M!~me.

9.

Je

^{dois à} l'obligeance ^de _{M. C.} Cellérier

une démons- tration

_{de cette} proposition, plus simple et plus ^complète*

que ^celle que ^je

m'étais d'abord

donnée _à

moi-même.

Soient~=(.r")~

_le rayon vecteur

d'un point

de

l'intersection,

_{a celui du}

point correspondant

de la

po-

daire en ^Dosant

Ainsi a devient maximum _ou

minimum,

soit

quand

p!r'=o,

^{auquel cas} _p ^{est aussi}

^maximum

_ou

^mini-

mum,

^{soit quand}

q=o.

Si _q était

nul

_{sans que} ^le

point

^(a;

!)

^fût

_{un point} ^d'in-

Oexion, et sans ^{que la} courbe cessât d'être convexe, on devrait avoir _{en même} temps

–==o.

_Mais

on ne

pour- rait

avoir en outre

.==0) _puisqu'une

_{droite ne}

_peut

avoir cinq points communs ^avec

une

^courbe

du qua-

trième ^degré.

Or, en ^posant

Si

^S

^{était maximum}

_ou

minimum,

il

faudrait

_que

l'on

(~3⁸

<eut

,y-~=o,

_{tl en}

résulterait ~=o,

_et

_par

conséquent

py'-{-.r'=o;

_{p se}

trouverait

être aussi maximum

ou

^mi-

nimum, et

³ coïnciderait _{avec p.}

III

10. En résumé,

et ^à

condition d'opérer sur

une ^face

du

cristal qui

n'entame

_pas ^le cône ^de

réfraction

_conique

intérieure,

^les

^quantités

^V,

^obtenues

_en

substituant

dans

la

^formule

(13)

ci-dessus ^les

quatre

^valeurs

maxima

_et

minima

^des angles limites ^de réflexion totale, sont, en

vertu

^{de la seconde}

proposition,

^les

_rayons

_vecteurs

maxima

_et

minima

^de la

podaire

de

l'intersection

de la surface ^de

l'onde

et du plan

réfringent;

lesquels

sont

~gaux,

_{en vertu} ^{de la} troisième proposition, aux

rayons

vecteurs

maxima

_et

minima

^de

l'intersection

elle-même;

et trois ^de ceux-ci, en

vertu

^de la première proposition, sont ^égaux aux trois ^vitesses principales, _{ou aux} inverses

des trois ^{indices de} réfraction

principaux.

I! résulte ^des considérations développées plus

haut

(§

4),

_que le plus grand et ^{le plus} petit ^angle limite don-

neront

^{toujours le plus}

grand

_et le plus

petit

^indice, tandis que l'indice moyen

correspondra à l'un

des deux angles limites

intermédiaires.

Pour

faire

disparaître

_cette

indétermination,

il suffira de

répéter

^les _mesures

sur une

^{seconde face différem-} ment ^orientée _on

retrouvera

_sur cette nouvelle ^face les trois mêmes valeurs utiles de l'angle limite, tandis _que

la

quatrième, qui est sans emploi, sera ^d)fîérente et ^facile

a

reconnaître.

il.

^Si

l'on détermine

expérimentalement,

non seu-

lement ^les angles limites maxima et

minima, d'où l'on

^{déduit les}

_rayons

_{vecteurs p} correspondants,

mais

encore ^{les angles (p}

formés

par leurs plans

d'incidence

avec la droite ^fixe choisie comme axe ^OX' on obtiendra quatre ^{couples de} valeurs ^de _{p et !p,}

dont

chacun devra

sa-

tisfaire aux deux équations

(tO).

Leur substitution dans

(10) fournira

donc

huit

équations, plus que suffisantes pour

déterminer

les coefficients A, B, C, D, E, F. ^Ces

coefficients

étant une

^fois connus, ainsi que ^les vitesses principales, ^les formules

(7)

^de M. Brill fixeront la

po-

sition de la surface de

l'onde

^par

rapport à

^{la face}

réfrin-

gente. Cette méthode,

intéressante

en théorie, ^est

assuré-

ment _peu

pratique

_et

ne

comporte pas grande

pré-

cision.

IV

Faces qui

entament ^les

^ombilics.

12. Il nous ^reste

maintenant

^{à voir} _{comment on}

peut

utiliser, pour ^la détermination ^{des indices} principaux, ^les faces qui passent

dans

le ^{voisinage des} points ombili- caux.

Nous remarquerons

d'abord

_que ^{si la} face réfringente passe dans ^le voisinage

d'un

^ombilic,

l'incertitude

qui en

résulte

_{ne porte} jamais que

sur

^{la mesure de}

l'indice

moyen

–. ^Les

restrictions ^auxquelles sont soumis, dans

ce cas, ^les trois théorèmes démontrés ^plus haut, ne con-

cernent,

_en ^effet, que les environs immédiats ^des points

ombilicaux;

la

détermination

^des vitesses principales maximum _et

minimum, a

^et c, qui s'observent toujours dans le plan ^des yz ^et dans celui ^des xy,

n'en

_{sera pas}

affectée.

Nous voyons de plus que,

sur une

^{face parallèle à}

l'un

des axes OX ou ^{OZ, de} plus grande _ou ^{de plus} petite élas- ticité, _et

passant

près

d'un point

ombilica), la détermi-

nation

^des trois indices peut _se ^{faire à la}

manière

^ordi-

naire, attendu

_{que daws ce cas} le

minimum ou

^le maximum, qui donne

l'indice

moyen, s'observe précisé-

ment

_{sur l'axe} ^{des x} _ou

sur l'axe

^{des z, à distance suffi-}

sante

^{des ombilics.}

Sur

_une face oblique quelconque _ou

sur

^{une face parallèle à}

l'axe

de moyenne élasticité ^OY,

il

n'en

_{sera pas} ^de

_même;

le rayon ^{vecteur 6}

étant tou-

jours dans le plan ^{des le} maximum _ou ^le

minimum

correspondant tombera précisément dans ^la région ombi- licale, si la face traverse cette ^région.

13. Les particularités qu'offrent, dans _{ce cas, les} phé- nomènes ^de la réflexion totale

ont

^{été signalées} _par ^de

Sénarmont _et plus récemment

par

^{M. Liebisch. M. W.}

Kohlrausch les a observées

sur

^des cristaux d'acide

tar-

trique, et ^M. Mallard en

a

^{fait l'objet}

d'une

étude ^géomé-

trique

^basée _sur ^la

considération

^de la surface dite ^des indices. Cette surface, qui

n'a

_pas de signification physique, est

rarement

^employée

et, partant,

peu

connue;

^il

n'est

pas inutile, ^{je crois, de}

montrer

que l'on peut arriver _aux mêmes résultats _{en se} servant simplement, _comme nous

l'avons

fait jusqu'ici, ^{de la} surface d'onde ^de _{Fresnel et} ^de la constructiond'Huygens, familières à tous ^les physiciens'.

Soit (ng.

3,

Pl. 11~

l'intersection

^{de la surface de}

l'onde

_et

d'un

plan réfringent qui traverse un ombilic.

La ^co.urbe intérieure

Il' ^n'offrira

rien ^{de spécial, si} _ce

n'est,

_en ^{face de} la région ombilicale, un accroissement

de courbure _{et un} point _m ^de rayon ^vecteur maximum qui _se transformera _en

un

point saillant ^{anguleux si la} section passe exactement

par

^{le sommet de l'ombilic. La}

courbe extérieure

EE' présentera

dans la même région

une

^{partie rentrante avec} deux points d'inflexion^A

et

^A",

De Sénarmont, Sur la ^réflexion totale ^de la lumière extérieu- rement ^à la surface des cristaux Mréfrmgents.Journal^de Liouville, 1856,1, _p. 305. T. Liebisch, Ueber die Totalreflexion an ^dop- peltbrechenden KrystaIIen. Neues JaMtK~fur ^.MÏMer~o~ etc., 1886, II, _p. 47. W. Kohlrausch, Ueber die experimentelle Be- stimmung _von Lichtgeschwindigkeitenin Krysta.IIen. Wied. Ann.,

1879, YI, p. ^{86. Voy.} aussi J. Norrenberg. Thèse, Bonn, Georgi, 1888; A. Mülheims, Thèse, Leipzig,Engelmann,1888. Mallard, Sur la théorie de la réflexion totale cristalline. Journ. de phys.,

1886, V, p. ^389.

entre

^lesquels _se

trouvera un point

^{k de}

rayon

^vecteur

minimum. Et

^si

la

section considérée passe

par

^{le sommet} de l'ombilic,

h"

_{et k se} confondent en

un point angu-

leux

rentrant,

^coïncidant _avec ^le

point saillant

^de la courbe

intérieure.

D'après

_ce qui _a été dit

au

^§

^7,

il y

aura ^réfraction régulière

ou réflexion totale pour chacun ^des deux

rayons, suivant

que

par

^{la droite L, menée}

dans

^le plan

réfringent perpendiculairement

_{au plan}

d'incidence,

à

une distance du centre V==~–

_on

_pourra,

_ou

_non,

sin t

construire un

^plan

tangent

^{à la}

nappe correspondante

^de

la

surface ^de

l'onde, ayant

_son

point

^de _contact

au-des-

sous ^du

plan réfringent.

Soient L' et ^L"

les tangentes ^à ['intersection aux ^points

d'inflexion h'

_et ^{A"; ON'} _{et ON"} ^les _traces ^des plans

d'incidences

qui leur sont

perpendiculaires. Tant

_que ^le

plan d'mcidence

ON ne sera pas compris

entre

^{ON' et}

ON",

les choses _se passeront ^{à la}

manière ordinaire;

si

l'on _augmente

progressivement l'angle d'incidence, ^la réflexion totale _se

produira,

comme nous l'avons

démon- tré, d'abord pour l'un

^des

_rayons,

puis

pour l'autre,

lors-

que

la droite

^L

atteindra

successivement ^les deux posi-

tions

L, et

L,, où

^elle _sera

tangente

aux deux courbes ^de

l'intersection.

'14. Mais si ^(fig.

4)

^le _plan

d'incidence

^ON _{est com-}

pris entre ON' et ON",

^{les phénomènes} _se

compliquent;

au ^{lieu de} deux positions de tangence ^{de la}

droite

^L,

l'une

_{avec la} courbe

intérieure, l'autre

_avec la courbe _ex-

térieure, nous

en avons

généralement quatre, dont

^trois,

L,, L,,

_{L,, avec la} courbe extérieure, et

une

^{L~ avec la}

courbe intérieure,

et _ces

quatre

^lignes

partagent

^ON _en

cinq régions ^de propriétés différentes. On trouve, en

par-

ticulier, _{que par} toute position ^{de L}

intermédiaireentre L,

et

L,, _traversant

_{par conséquent} de

part

_en

part

^le _creux

de l'ombilic, il est possible ^de

mener

^deux plans tangents à la surface ^de l'onde, tels que leurs points de contact soient au-dessous du plan réfringent.

Pour

les valeurs

correspondantes

^de l'angle d'incidence, les deux rayons

sont

donc réfractés régulièrement, _et ^la réflexion totale

n'a

_pas ^lieu.

Projetons, en ^{effet, la} figure 5 sur ^{le plan} d'incidence, soient

IAI'

^la nappe intérieure,

EAE'

la nappe exté-

rieure, PAP'

^le cône tangent _en

A;

^MM'

_un

plan

réfrin-

gent quelconque. ^Ce plan coupe la nappe extérieure sui- vant une courbe ^{analogue à celle de la figure} 3.

Imaginons

d'autre

_{part un} plan mobile mené

par

^L.

Si L traverse l'ombilic ^de

part

_en part, _{on pourra} ^évidem-

ment donner

_{à ce plan une} ^position

M,M/

telle _que son intersection _{avec la} nappe extérieure se compose ^de deux courbes fermées, enveloppées

l'une

^dans

l'autre.

^Nous

pourrons

ensuite amener ^le plan ^{mobile de la} position

M,M.' _à

la position ^{MM' en}

le

faisant

tourner autour

de L dans

un

sens ^ou dans

l'autre,

_et dans ^les _{deux cas}

l'intersection

devra _passer

continûment

^de

l'une

^des

formes _à

l'autre;

^il _y

_aura

donc forcément deux positions du plan ^mobile,

l'une

dans l'angle ^M.LM,

l'autre

dans

l'angle

^{M' ,LM,} _pour lesquelles les deux courbes

d'abord

enveloppées

l'une

dans

l'autre arriveront

à _se toucher

avant

_que ^{la boucle ainsi formée} _{s'ouvre en} sens inverse.

Dans _ces ^deux positions ^le plan mobile sera

tangent

^à

la nappe

extérieure, ^{les deux} points de contact seront situés dans les régions AE _et

AE'

_{du creux} de l'ombilic,

l'un

au-dessus,

l'autre

_au-dessous du plan

réfringent

M.

Tant

_que la

droite

L coupe ^{le cône}

PAP' _{on peut}

évidemment

mener

encore deux plans, tangents ^à la

nappe intérieure,

lesquels

auront

^leur

^point

^de contact,

l'un

dans

la région ^AI au-dessus de ^MM,

l'autre

dans ^la région

AI'

_{au-dessous du} plan réfringent.

Si L

ne

coupe pas ^le cône

PAP', l'un

^de _ces deux

plans'

^disparaît si

par

^{exemple L} passe dans l'espace PAE, _on ne peut ^plus

mener

^{le plan}

tangent

^{à la région}

AI'

de la nappe

intérieure.

^Mais dans _{ce cas} ^(fig.

6),

_on voit facilement en

donnant

successivement au plan mobile ^les positions MM',

M,M\,

M,M~. ^M.M',

et

^MM',

et en

suivant

comme ci-dessus ^les modifications ^de la courbe

d'intersection,

_que

l'on peut mener par

^{L trois} plans tangents ^{à la}

nappe

^{extérieure le}

premier

compris

dans

l'angle _{M,LM~ a} son

point

^de contact dans ^)a

région

AL de l'ombilic, au-dessous

du

plan réfringent le second compris dans l'angle ^M~LM, touche ^la surface au-dessus du plan

réfringent dans

^la région

LE;

le troisième est compris

dans l'angle

^M',LM

et

_{a son}

^point

^de contact dans la région

AE'

au-dessous ^du plan réfringent.

On voit donc _{que, pourvu que} la droite ^L traverse l'ombilic ^de

part

_{en part, on} peut

toujours mener par

cette droite

quatre

^plans tangents ^{à la} surface ^de

l'onde dont

deux

ont

^leurs

points

^de contact au-dessous du plan

réfringent.

15. Il

résulte

de _ces considérations,

qu'il serait

aisé ^de compléter en ^les

étendant

à toutes ^les positions que ^L

peut prendre sur

^la

droite

_{ON, que} ^si l'on augmente

progres-

sivement l'angle

d'incidence

^(fig.

4),

les deux

rayons sont d'abord

réfractés

régulièrement tant

_que

l'expression

V

= ––

_est

_supérieure

_à

_OL,.

_{Lorsque V est compris}

smt

entre ^{OL, et} OL,

l'un

^des deux rayons est réfléchi totale-

ment mais ^il est ^de nouveau réfracté régutiërement

quand V,

diminuant

toujours, _se trouve compris

entre

OL, et ^OL3 puis de nouveau ^réfléchi totalement quand

V passe de ^la vateur OL, à la valeur ^{OL~. A} _ce moment

le second _rayon

atteint

^à _son

tour

_{son angle} ^{limite, et}

pour

^{toutes les valeurs plus grandes de l'angle}

d'inci-

dence les deux rayons subissent la réflexion totale.

Si nous ^faisons

tourner

^le plan d'incidence

autour

^de

0,

le point ^L~ décrira la podaire

F,

^(ug,

⁷⁾

^{à la courbe}

inté- rieure

^de

l'intersection;

^les points

L,, L,,

^L~

décriront

la podaire F, à la courbe extérieure. ^Cette podaire

F,

forme une sorte ^{de boucle qui} présente ^{deux points}

de rebroussement

l'

^{et <"}

correspondant

_{aux points}

d'in-

flexion /t' et ^A", et qui est tangente ^{à la courbe} au point ^{A de} rayon vecteur

minimum.

Si l'extrémité^d</ rayon

Tc~w

^{V ~o;H~} _en ^{dehors de}

^la

^podaire à la courbe exté-

rMMt'f. _0!< bien dans

la

&0!<f~ deux rayons ^sont

)'C~;

elle /OM~ en (f~nM! de la ~o~a/?v à ^{la courbe}

M/Mr~,

~'s ^Jp!<.r rayons sont réfléchis

Ma/t'me~;

^{si elle tombe} entre

les deux podaires, ^/'MM des rayons ^est réfracté _et l'autre

~ee/H

totalement.

Les limites de réflexion totale _que

l'on

^{observera dans}

un réfractometre quelconque

auront l'apparence repré-

sentée par ^{la figure}

8;

c'est presque exactement ^ce que

MM. Kohlrausch _a observé

sur

^l'acide

tartrique'.

16. D'après ^le premier théorème, qui est encore appli- cable

tant

_que ^{la face} _{ne passe pas} ^exactement

par

^le

sommet ^de l'ombilic,

la

vitesse principale ^b _{est égale}

au

Loc. cit. La fig. 10

<

^{1 de M. Kohlrausch me semble se rap-}

porter à _{ce cas, bien que} la portion _M de la limite Fi n'y soit pas

indiquée.

rayon

^vecteur

maximum

^{de la courbe 1} _ou

au rayon

^vec-

teur ^minimum

^de

^la

^courbe

^E.

^Or

_{un maximum}

^de

^la podaire F,

coïncide _avec ^le

maximum

_ln ^de la courbe I, et

un maximum

^{de la}

branche l'kl"

de la

podaire F,

coïn- cide _avec ^le minimum

k

^{de la courbe E. On devra donc}

déterminer l'angle limite minimum

sur

^{la linzile}

F,

^(Hg.

8)

et sur

le

^bord _concave du croissant

<f/ ^l'un

^{de ces d~M.y}

angles ^donnera

la t'Me

^{principale 6}

par

^{la formule ordi-}

HaM'e.

17.

^Si la ^face

réfringente

_se

rapproche

^du

bord

^de

l'ombilic,

^les deux courbes

F,

_et

F, s'écartent

^davantage,

et

^le

croissant

^{se confond de plus} _en plus avec

F,.

Si la

^face

réfringente

_passe

par

^{le sommet de l'ombilic,}

la construction

_se ^modifie

un

peu ^(fig.

9). L'intersection

se réduit à deux courbes ^{IAE' EAF} qui _se

coupent

_en A

au ^point

^{ombilical. Les} deux podaires

forment

^deux

branches F,F', et ^F,F',

^{qui se} coupent égatement, mais

en

^{dehors de}

^la

^{surface de}

l'onde; l'espace

singulier

dans

lequel ^il

n'y

_a réflexion totale

pour aucun rayon,

^{est com-}

pris entre

^{les branches F~}

et F', de

ces podaires

et un arc

^{de cercle}

décrit sur

^OA comme

diamètre.

^On _{voit en}

effet en

reprenant _pour

_{ce cas les}

raisonnements

^ci-des- sus, ^que la ^ligne

L,

^de la ^{figure 4} doit

toujours

_passer

par

le

point

^ombilical

^tandis

_que ^{les plans L,} et ^L~ _se confon-

dent

_en

un

^seul. La figure 9

représente

_{cet espace} ^singulier

pour une

^{face parallèle à l'axe de}

moyenne

élasticité, et la figure

10 pour une

^{face parallèle}

au plan

^{des axes}

opti-

ques.

La

figure ^'11

indique l'apparence

générale qu'offri-

ront

^les limites de réflexion totale. ^{La vitesse}

principale

b est ^égale

à

^OA, _et OA est évidemment ^le

rayon

^vecteur

maximum du bord

_{concave de} l'espace singulier.

On devra donc _{mMHrer, non} pas l'angle ^limite qui _corres-