On admettra que Lp(U) est un espace complet1

Université des Sciences et Technologies de Lille 1 2015/2016 – Master 2 Mathématiques appliquées

Introduction aux EDP non linéaires

SoitU un ouvert deRⁿ. Pourk ≥1et1≤p≤+∞, nous allons démontrer queW^k,p(U) est un espace de Banach pour la norme

kuk_W^k,p_(U) :=



 X

|α|≤k

kD^αuk^p_Lp(U)





1 p

,

si p <+∞ et

kuk_W^k,∞_(U):= sup

|α|≤k

kD^αuk_L^∞_(U).

On admettra que L^p(U) est un espace complet¹. Commençons par vérifier que k.k_Wk,p(U)

est une norme. Il est immédiat de vérifier que

kuk_W^k,p_(U) = 0 ⇐⇒ u= 0 p.p., et

∀λ∈C, kλuk_W^k,p_(U)=|λ|kuk_W^k,p_(U).

Il reste à vérifier l’inégalité triangulaire. Elle est immédiate dans le cas p = +∞. Dans le cas 1 ≤ p < +∞, on doit utiliser deux fois l’inégalité de Minkowski (une fois la version discrète et une fois la version continue). La version continue nous permet d’écrire

ku+vk_W^k,p_(U) ≤



 X

|α|≤k

kD^αuk_L^p_(U)+kD^αvk_L^p_(U)p





1 p

.

La version discrète nous donne ensuite

ku+vk_W^k,p_(U) ≤



 X

|α|≤k

kD^αuk^p_Lp(U)





1 p

+



 X

|α|≤k

kD^αvk^p_Lp(U)





1 p

=kuk_W^k,p_(U)+kvk_W^k,p_(U).

Nous venons donc de vérifier queW^k,p(U)muni dek.k_W^k,p_(U)est un espace vectoriel normé.

Il reste à montrer qu’il est complet.

On se donne une suite de Cauchy (u_m)_m≥1, i.e.

∀ >0, ∃m₀ ≥1, such that ∀m, m⁰ ≥m₀, ku_m−u_m⁰k_W^k,p_(U) ≤.

En particulier, pour tout α ∈ Nⁿ vérifiant |α| ≤ k, la suite (D^αu_m)m≥1 est une suite de Cauchy dans l’espace L^p(U). En particulier, elle converge (dans L^p(U)) vers une certaine limite u_α. On note ula limite correspondant au multi-indice (0, . . . ,0)∈Nⁿ.

1. Pour une preuve de ce résultat, on renvoie par exemple au chapitre 3 du livre Analyse réelle et complexe de W. Rudin.

1

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On va d’abord vérifier que u est un élément de W^k,p(U). Pour cela, on montre que u_α est la dérivée d’ordreα deu pour toutα vérifiant |α| ≤k. Soitφ ∈ C_c^∞(U). On écrit, pour m≥1,

Z

U

D^αφumdx= (−1)^|α|

Z

U

φD^αumdx.

D’après l’inégalité de Hölder, on a

Z

U

D^αφ(um−u)dx

≤ kD^αφk_Lp0

(U)kum−uk_L^p_(U),

avec ¹_p + _p¹0 = 1. Ceci implique que

m→+∞lim Z

U

D^αφu_mdx= Z

U

D^αφudx.

De la même manière, on trouve

m→+∞lim Z

U

φD^αu_mdx= Z

U

φu_αdx

Finalement, on a montré que, pour tout φ∈ C_c^∞(U)et tout |α| ≤k, Z

U

D^αφudx = (−1)^|α|

Z

U

φu_αdx.

Puisqueu_α est dansL^p(U), on en déduit queuest un élément deW^k,p(U)et queD^αu=u_α pour tout |α| ≤ k. Comme D^αu_m converge vers u_α =D^αu dans L^p(U), on conclut que la suite de Cauchy (u_m)m≥1 converge dans W^k,p(U) vers u. L’espace est donc bien complet.