25 Une échelle est appuyée contre un mur, mais glisse sur le sol et finit à plat (tombera pas plus bas !). La trajectoire de son centre fut alors…
Appelons L la longueur de l’échelle, considérée comme un segment [AB] où A est le pied et B la tête. Envisageons une position quelconque de l’échelle au cours de son glissement : elle forme avec le mur et le sol un triangle rectangle. Les coordonnées de A sont (a, 0) et celles de B sont (0, b) avec a²+b² = L² (Pythagore). Mais l’abscisse du milieu de l’échelle est a/2 et son ordonnée est b/2, si bien que les coordonnées (x, y) de ce centre vérifient la relation x² + y² = L²/4, ce qui est l’équation d’un
cercle
de centre O (intersection du mur et du sol) et de rayon L/2. Le centre de l’échelle décrit un quart de cercle au cours du glissement.26 Jeff fume 15 cigarettes par jour et décide d'arrêter : à partir de demain, une cigarette en moins chaque nouveau jour ! Combien en fumera-t-il encore ?
Il s’agit ici d’ajouter 14, 13, 12, 11, etc., 2, 1. On peut le faire manuellement ou alors retenir la formule suivante : 1 + 2 + 3 + … + n =
(
1)
2 n n+
. Ici, cela revient à calculer 14×15/2 dont le résultat est 105. Jeff fumera encore
105
cigarettes.27 Je monte au sommet d'une montagne de 8h à 14h, puis je la redescends le lendemain de 8h à 14h. Je suis passé au même endroit à la même heure…
Imaginons que nous nous représentions les parcours (aller, puis retour) effectués. Un parcours est l’expression d’une distance parcourue en fonction du temps (donc ce n’est pas une trajectoire qui, elle, montre une image du chemin). Je vous décris le graphique que cela donne (et je vous laisse le soin de le dessiner) : mettons le temps qui s’écoule en abscisses, de 8 à 14, et en ordonnées la distance entre le camp de base et l’endroit où je me trouve
(j’appelle D la distance entre le camp de base et le sommet).
La courtitude de l’énoncé nous impose de supprimer les pauses (disons qu’on le prend au mot : je MONTE toujours pour aller au sommet, je DESCENDS toujours pour en revenir).
Le parcours aller est une ligne, pas forcément droite mais qui monte, reliant les points (8, 0) et (14, D). Le retour est une ligne, pas forcément droite mais qui descend, reliant les points (8, D) et (14, 0).
Eh bien, n’est-ce pas, ces deux lignes se croisent forcément, et qui plus outre se croisent en un seul point ! Traduction : il existe forcément un instant, unique, pour lequel je me trouverai au même endroit lors de la descente et lors de la montée.
La bonne réponse est :
une fois exactement, dans tous les cas
.28 Un élastique de longueur L est peint en rouge sur ses 2/3. De combien dois-je l'étirer pour que la zone rouge soit de longueur L ?
Toutes les parties de l’élastique s’étirent de la même façon, du même pourcentage. La longueur variable Z de la zone rouge et la longueur variable T totale sont donc
proportionnelles, ce qui s’exprime par le fait que le rapport Z/T est constant.
On sait que ce rapport vaut 2/3. Donc si on veut Z = L, il faut T = 3L/2. Par rapport au début où T valait L, T a été multiplié par 3/2 = 1,50, c’est à dire que T a augmenté de
50%
.29 Complétez la suite : kilo - méga - giga - …
téra – péta
1000 est exprimé par le préfixe kilo ;
un million, 10002, est exprimé par le préfixe méga ; un milliard, 10003, est exprimé par le préfixe giga ;
La suite des préfixes exprimant des puissances de 1000 est logique après un milliard : mille milliards, 10004, est basé sur tetra (4) et exprimé par le préfixe tera ;
10005, est basé sur penta (5) et exprimé par le préfixe peta ; 10006, est basé sur hexa (6) et exprimé par le préfixe exa ; etc.
30 Vous croisez 3 gendarmes. Chacun a 30 % de chances de vous demander vos papiers.
Combien de chances de se faire contrôler ?
« Se faire contrôler » est un événement complexe (une fois, ou 2 fois, ou 3 fois) qui nous obligerait à séparer le problème en trois études. Dans ces cas, étudier le contraire est plus simple : combien a-t-on de chances de ne pas se faire contrôler ?
Sans entrer dans un cours de probabilités, citons-en un résultat : lorsqu’on construit une succession d’événements indépendants (sans influence de l’un sur un autre), la probabilité de la succession est le produit des probabilités de chacun. On peut supposer ici que le fait qu’un gendarme vous ait contrôlé ou non n’a aucune influence sur le comportement du gendarme suivant (sinon l’énoncé nous l’aurait dit).
La probabilité qu’un gendarme ne nous contrôle pas est 0,7 (= 70%),
celle que trois fois de suite nous ne soyons pas contrôlé est 0,73 = 0,343 (=34,3%).
Le contraire (se faire contrôler au moins une fois) a donc
