Universit´e de Nice - Sophia Antipolis 2012/2013
L3MA - Calcul Diffrentiel Semestre 1
RAPPELS SUR LES ENSEMBLES
D´efinitions.
x∈A : le pointx est un ´el´ement de l’ensembleA.
A⊂B (ouB⊃A) : l’ensembleA est contenu dans l’ensemble B, i.e.A est une partie de B, i.e. x∈A implique x∈B.
P(A) : ensemble des parties deA, i.e. B∈ P(A) ´equivaut `a B ⊂A.
A∪B : r´eunion de AetB, i.e.x∈A∪B ´equivaut `a x∈A oux∈B.
A∩B : intersection deA etB, i.e. x∈A∩B ´equivaut `ax∈Aetx∈B.
B\A : compl´ementaire de Adans B, i.e. ensemble des points deB qui ne sont pas dansA.
A×B: produit de A etB, i.e. ensemble form´e de tous les couples (a, b) poura∈A etb∈B.
Card(A) : cardinal de l’ensembleA, i.e. (si Aest fini) le nombre d’´el´ements de l’ensembleA.
Soit f :X→Y une application de l’ensembleX dans l’ensembleY. y=f(x) : le point y est l’image du pointx par l’application f.
f(A) : image d’une partieA de X, i.e. partie deY form´ee de tous lesy=f(x) pour x∈A.
f−1(B) : image r´eciproque parf d’une partieB de Y, i.e. partie deX form´ee de tous lesxtels que f(x)∈B.Attention, remarquez que cette notation a un sens mˆeme sif n’est pas injective (ne pas confondre avec l’application inverse def).
Par exemple, dans le casX =Y =Retf(x) =x2, on af(]−1,2[) = [0,4[ etf−1([0,4[) =]−2,2[.
g◦f : application compos´ee de f (d’abord) et de g(ensuite), i.e. (g◦f)(x) =g(f(x)).
Propri´et´es.
Soit f :X→Y,AetA0 parties deX,B etB0 parties deY. On a alors les relations suivantes : B∩(A∪A0) = (B∩A)∪(B∩A0) et B∪(A∩A0) = (B∪A)∩(B∪A0)
X\(A∪A0) = (X\A)∩(X\A0) et X\(A∩A0) = (X\A)∪(X\A0) (A∪A0)×B = (A×B)∪(A0×B) et (A∩A0)×B= (A×B)∩(A0×B) A×(B∪B0) = (A×B)∪(A×B0) et A×(B∩B0) = (A×B)∩(A×B0)
Card(A∪B) + Card(A∩B) = Card(A) + Card(B)
f(A∪A0) =f(A)∪f(A0) mais f(A∩A0)⊂f(A)∩f(A0) f−1(A∪A0) =f−1(A)∪f−1(A0) et f−1(A∩A0) =f−1(A)∩f−1(A0)
f−1(Y \B) =X\f−1(B)
Pi`eges. En g´en´eral on af(A∩A0)6=f(A)∩f(A0) et il n’y a aucune relation d’inclusion entre f(X\A) et Y \f(A). Notez de plus que
1
f−1(f(A))⊃A, avec ´egalit´e sif est injective.
f(f−1(B)) =B∩f(X) et donc vaut B lorsquef est surjective.
Remarques. Les propri´et´es pr´ec´edentes s’´etendent `a une famille (Ai)i∈I de parties d’un ensemble d’indicesI (par exemple l’ensembleNdes entiers). On note alors[
i∈IAi la r´eunion et\
i∈IAi l’intersection de la famille des ensemblesAi. Par exemple, si (Ai)i∈Iet (Bj)j∈J sont des familles d’ensembles, alors on a
(\
i∈I
Ai)∪(\
j∈J
Bj) = \
(i,j)∈I×J
Ai∪Bj et ([
i∈I
Ai)∩([
j∈J
Bj) = [
(i,j)∈I×J
Ai∩Bj
Questions.
1. D´emontrer les propri´et´es pr´ec´edentes et donner un contre-exemple pour chacun des pi`eges d´enonc´es plus haut.
2. 28% des fran¸cais poss`edent au moins un chien, 25% des fran¸cais poss`edent au moins un chat et 45% des fran¸cais poss`edent au moins un chien ou un chat. Peut-on en d´eduire le nombre de fran¸cais qui ont au moins un chien et un chat ? qui n’ont ni l’un ni l’autre ?
3. Pour tout entier n, on note An = 0,n1
, An = 0,n1
, Bn =
−1 +1n,1−n1 et Bn=
−1 +n1,1−n1
. D´eterminer les r´eunions et les intersections de ces 4 familles de parties de R.
4. Soitf :R→Rd´efinie parf(x) = sin(1/x) six6= 0 etf(0) = 0. D´eterminerf−1([−1/2,1/2]).
5. Soit E un ensemble et A, B, C trois parties de E. Montrer que si A∪ B = A ∪C et A∩B =A∩C, alorsB =C.
6. Soit E un ensemble etA,B deux parties de non vides de E. On consid`ere l’application f :P(E) → P(A)× P(B)
X 7→ (A∩X, B∩X)
Trouver une condition n´ecessaire et suffisante pour quef soit injective (resp. surjective, resp.
bijective). Expliciterf−1 lorsquef est bijective.
2
