∑∑ I – Paramètres statistiques STATISTIQUES ET LOIS DE PROBABILITE CONCOURS COMMERCE (IAE) MATHS ET LOGIQUE

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CONCOURS COMMERCE (IAE) MATHS ET LOGIQUE STATISTIQUES ET LOIS DE PROBABILITE

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I – Paramètres statistiques

Moyenne, médiane, variance et écart type, covariance 1) Moyenne

moyenne = somme des valeurs / nb valeurs ; en abrégé : E(X) = S/n ou encore : S = nE(X) On a les propriétés : (1) E(X+a) = E(X) + a ; (2) E(aX) = aE(X) ; (3) E(X+Y) = E(X) + E(Y)

* L’âge moyen de n frères est actuellement de x années. Quel sera leur âge moyen dans y années ? Aujourd’hui, x = S/n. (S : somme des âges)

Dans y années, la somme des âges vaudra S+yn et la moyenne : m = (S+yn)/n = S/n + y = x + y Plus rapidement : soit X la liste des âges actuels. Avec la propriété (1) : E(X+y) = E(X) + y = x + y

* Soit un groupe de dix personnes dont la moyenne d’âge est 22ans et 7 mois. Un couple de jumelles les rejoint et cette moyenne tombe à 20 ans et 6 mois. Quel est l’âge des jumelles?

Notons S la somme des âges des 10 personnes et 2s l’âge total des deux sœurs.

On a : S = (22+7/12)×10 et S+2s = (20+1/2) ×12.

Par différence : 2s = (20+1/2) ×12 – (22+7/12)×10 = 246 – 220 – 70/12 = 26 – 72/12 + 2/12 = 20 + 2/12 L’âge des jumelles est donc la moitié : 10 ans + 1 mois.

* Un étudiant a les notes suivantes avec le coefficient correspondant : Notes 15 8 11 7 9 8

coefficients 2 2 5 6 1 2

De combien doit-il améliorer sa plus mauvaise note pour obtenir une moyenne égale à 10 ? Une moyenne de 10 sur un coef total de 18 signifie obtenir 180 points.

Notons x la note qui remplacera sa plus mauvaise (qui est 7, avec un coef de 6).

Le nombre de points obtenus est alors : 30 + 16 + 55 + 6x + 9 + 16. S’il doit atteindre 180, il faut x = 9.

Sa plus mauvaise note doit augmenter de 2 points.

* Un groupe de 12 enfants dont la taille moyenne est 100 cm se mélange à un groupe de 10 enfants dont la taille moyenne est 122 cm. Quelle est la taille moyenne du nouveau groupe ainsi formé ?

(12×100 + 10×122) / 22 = 2420 / 22 = 2200/22 + 220/22 = 100 + 10 = 110 cm.

2) Médiane

médiane = valeur centrale d’une liste ordonnée : M départage la population en deux groupes égaux

* Quelle est la médiane de 209 ; 232 ; 178 ; 231 ; 229 ? -> réponse : 229 (il faut classer les valeurs)

3) Variance et écart type

variance = moyenne des carrés des écarts à la moyenne = moyenne des carrés – carré de la moyenne

( )

¹

( ( ) )

² ¹ ²

^{( )}

²

( )

²

^{( )}

²

V X x_i E X x_i E X E X E X

n n

=

∑

− =

∑

− = − ^.

On a les propriétés : (4) V(X+a) = V(X) ; (5) V(aX) = a²V(X) ; (6) V(X+Y) = V(X) + V(Y) Ecart type = racine carrée de la variance

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* Soit X une variable aléatoire à valeurs réelles dont l’espérance vaut 3 et la variance vaut 2. L’espérance de la variable aléatoire Y = X² a pour valeur … ?

Par définition, ^{V X}

( )

⁼^{E X}

( )

² ⁻^{E X}

^{( )}

²^{. Donc :}^{E X}

( )

² ⁼^{V X}

^{( ) ( )}

⁺^{E X} ²^{= + =}² ⁹ ¹¹

* Soit X une liste de valeurs donnée. Si on multiplie chaque valeur par 3, la nouvelle liste présente une variance égale à 36. Quel était l’écart type de la liste X ?

La formule (5) nous dit que la variance de 3X vaut 9 fois celle de X. La variance de X est donc égale à 4, et ainsi son écart type vaut 2.

4) Covariance

covariance de deux variables X et Y = moyenne des produits croisés des écarts à la moyenne = moyenne des produits – produit des moyennes

( )

^, ¹

( ( ) ) ( ( ) )

¹

( ) ( )

cov X Y x_i E X y_i E Y x y_i _i E X E Y

n n

=

∑

− − =

∑

−

.

On a les propriétés : (7) cov(X+a, Y+b) = cov(X, Y) ; (8) cov(aX, Y) = cov(X, aY) = a×cov(X, Y) (9) cov(aX, bY) = ab×cov(X, Y) ; (10) cov(X+Z, Y) = cov(X, Y) + cov(Z, Y)

* Calculer la covariance des deux listes :

X 2 4 3 7

Y 11 8 9 8

( )

^, ¹

( ) ( )

¹

( )

¹³⁷ ⁷

cov X Y E X E Y 22 32 27 56 4 9 36

4 4 4

i i

n x y

=

∑

− = + + + − × = − =−

* On sait que la covariance des séries A et B est de -1. Quelle est la valeur manquante ?

A 1 3 4 4

B 4 2 1 ?

( )

^, ¹

( ) ( )

¹

( )

⁷ ¹

cov X Y E X E Y 4 6 4 4 3 1,75

4 4 4

i i

x y x x x

n

=

∑

− = + + + − × + = − + ^.

Donc 1

4x vaut 0,75 et donc x vaut 3.

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II – Lois discrètes

1) Loi binomiale

E(X) = np ; V(X) = npq p : proba de succès, q : proba d’échec = 1 – p

* Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(4 ; p). Le paramètre p est inconnu, on sait cependant que l’espérance de X est égale à 1. prob(X = 1) vaut ?

E(X) = np, donc 4p = 1. prob(X = 1) =

3 1

4

1 3 1 27 27

4 4 4 4 64 64

C  

× ×  = × × =

 

* Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(5 ; 1/2). Prob(X ≤ 4) vaut ? Prob(X ≤ 4) = 1 – p(X = 5) =

5 0 5

5 5

1 1 1 1 31

1 1 1 1 1

2 2 2 32 32

C      

− ×  ×  = − ×  × = − =

     

* Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(9 ; 0,5). Alors Prob(X = 10) vaut ?

Le paramètre 9 de la loi indique qu’une expérience a été tentée 9 fois. La probabilité d’avoir 10 succès est donc nulle (c’est celle d’un événement impossible…)

* Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(12 ; 0,3). Que vaut p(X = 5) divisée par p(X = 4) ?

p(X = 5) =

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

5 7

5 12

4 8

4 12

12 11 10 9 8 8

0,3 0,3

p X 5 0,3 0,7 5 4 3 2 1 5 8 3 24

12 11 10 9

p X 4 0,3 0,7 0,7 0,7 5 7 35

4 3 2 1 C

C

× × × × × ×

= = × × = × × × ×× × × = = × =

= × × × ×

× × ×

2) Loi hypergéométrique

p = a/N E(X) = np ; V(X) = npq(N-n)/(N-1) a : nb d’éléments succès, N : nb total d’éléments

( )

Prob X

k n k

a N a

n N

C C

k C

−

× −

= = n : nb d’éléments à piocher, k : nb succès souhaité

* Suite à un déménagement, Robert a rangé dans un carton les 57 livres qu'il possède, parmi lesquels 6 sont dédicacés. Juste après avoir ouvert le carton, Robert y a choisi au hasard 4 livres pour les ranger dans sa bibliothèque. Quelle est la probabilité que parmi ces 4 ouvrages, il y en ait exactement 2 qui soient dédicacés ? Il s’agit d’un tirage sans remise, de 4 éléments parmi 57, dont l’ordre d’arrivée n’importe pas.

L’ensemble de départ est partagé en deux catégories : sur les 57 livres, 6 sont dédicacés (succès) et 51 ne le sont pas (échecs).

( )

⁶² 4 ⁵¹²

51

p X 2 C C

C

= = ×