ELAGAGE D’UN ARBRE ALEATOIRE CONTINU DE LEVY

ELAGAGE D’UN ARBRE ALEATOIRE CONTINU DE LEVY

G.Voisin

Universit´e d’Orl´eans

02/09/08

Romain ABRAHAM, Jean-Fran¸cois DELMAS et Guillaume VOISIN.

Pruning a L´evy continuum random tree.

pr´epublication 2008.

D´efinition

Un processus de branchement `a espace d’´etats continu (CSBP) est un processus de Markov (Yt)t≥0 `a valeurs dansR+ tel que

Y_t^{x+y (d)}= Y_t^x+ ˜Y_t^y avec Y ⊥Y˜

E h

e^−λYti

=e^−xut(λ) o`u ut est l’unique solution positive de

∂u

∂t =−ψ(u) avecu0(λ) =λ

D´efinition

Un processus de branchement `a espace d’´etats continu (CSBP) est un processus de Markov (Yt)t≥0 `a valeurs dansR+ tel que

Y_t^{x+y (d)}= Y_t^x+ ˜Y_t^y avec Y ⊥Y˜

E h

e^−λYti

=e^−xut(λ) o`u ut est l’unique solution positive de

∂u

∂t =−ψ(u) avecu0(λ) =λ

Th´eor`eme (Lamperti 1967, Grimvall 1974, Duquesne-Le Gall 2002)

Il existeγp→+∞et un processus de Galton-Watson Y^p avec Yo^p =p tels que

•

1 pY_[γ^p

pt]

t≥0

−→L (Y_t)_t≥0

•

1 γp

H_[pγ^p

pt]

t≥0

−→L (H_t)_t≥0 o`u H est le processus des hauteurs.

Th´eor`eme (Lamperti 1967, Grimvall 1974, Duquesne-Le Gall 2002)

Il existeγp→+∞et un processus de Galton-Watson Y^p avec Yo^p =p tels que

•

1 pY_[γ^p

pt]

t≥0

−→L (Y_t)_t≥0

•

1 γp

H_[pγ^p

pt]

t≥0

−→L (H_t)_t≥0 o`u H est le processus des hauteurs.

On consid`ere un CSBP critique ou sous-critique de m´ecanisme de branchement

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl

π(dl)

avecα≥0,β ≥0, π mesure de L´evy σ-finie sur ]0,+∞[, positive telle que

Z

]0,+∞[

(1∧l²)π(dl)<+∞.

E h

e^−λXt i

=e^tψ(λ) On suppose aussi :

Z

]0,+∞[

(l∧l²)π(dl)<+∞

β >0 ou

Z

]0,1[

lπ(dl) = +∞

On consid`ere un CSBP critique ou sous-critique de m´ecanisme de branchement

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl

π(dl)

avecα≥0,β ≥0, π mesure de L´evy σ-finie sur ]0,+∞[, positive telle que

Z

]0,+∞[

(1∧l²)π(dl)<+∞.

E h

e^−λXt i

=e^tψ(λ) On suppose aussi :

Z

]0,+∞[

(l∧l²)π(dl)<+∞

β >0 ou

Z

]0,1[

lπ(dl) = +∞

On consid`ere un CSBP critique ou sous-critique de m´ecanisme de branchement

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl

π(dl)

avecα≥0,β ≥0, π mesure de L´evy σ-finie sur ]0,+∞[, positive telle que

Z

]0,+∞[

(1∧l²)π(dl)<+∞.

E h

e^−λXt i

=e^tψ(λ) On suppose aussi :

Z

]0,+∞[

(l∧l²)π(dl)<+∞

β >0 ou

Z

]0,1[

lπ(dl) = +∞

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

Le processus des hauteurs (H_t)t≥0 repr´esente la g´en´eration de l’individut dans l’arbre al´eatoire continu (CRT).

D´efinition

Processus d’explorationρ `a valeurs dansM_f (R+) d´efini par : ρt(dr) =β1_[0,Ht](r)dr + X

0≤s≤t Xs−<I st

(I_t^s −Xs−)δ_Hs(dr)

AvecI_t^s = inf

u∈[s,t]X_u. Propri´et´es

• ρ est `a trajectoires c`ad-l`ag

• ρ est Markov fort

• hρ_t,1i=X_t−I_t

• Supp(ρ_t) = [0,H_t]

D´efinition

Processus d’explorationρ `a valeurs dansM_f (R+) d´efini par : ρt(dr) =β1_[0,Ht](r)dr + X

0≤s≤t Xs−<I st

(I_t^s −Xs−)δ_Hs(dr)

AvecI_t^s = inf

u∈[s,t]X_u. Propri´et´es

• ρ est `a trajectoires c`ad-l`ag

• ρ est Markov fort

• hρ_t,1i=X_t−I_t

• Supp(ρ_t) = [0,H_t]

Elagage d’un arbre continu

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl π(dl)

↓ ψ₀(λ) =α₀λ+βλ²+

Z

]0,+∞[

e^−λl −1 +λl π₀(dl) tel que

• il existe une mesure π1 σ-finie positive sur ]0,+∞[ telle que R

]0,+∞[lπ1(dl)<+∞ et

π =π0+π1

• α₁:=α₀−α− Z

]0,+∞[

lπ₁(dl)≥0

Elagage d’un arbre continu

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl π(dl)

↓ ψ₀(λ) =α₀λ+βλ²+

Z

]0,+∞[

e^−λl −1 +λl π₀(dl) tel que

• il existe une mesure π1 σ-finie positive sur ]0,+∞[ telle que R

]0,+∞[lπ1(dl)<+∞ et

π =π0+π1

• α₁:=α₀−α− Z

]0,+∞[

lπ₁(dl)≥0

Elagage d’un arbre continu

ψ(λ) =αλ+βλ²+ Z

]0,+∞[

e^−λl−1 +λl π(dl)

↓ ψ₀(λ) =α₀λ+βλ²+

Z

]0,+∞[

e^−λl −1 +λl π₀(dl) tel que

• il existe une mesure π1 σ-finie positive sur ]0,+∞[ telle que R

]0,+∞[lπ1(dl)<+∞ et

π =π0+π1

• α₁:=α₀−α− Z

]0,+∞[

lπ₁(dl)≥0

X =X⁰+X¹ avec

E h

e^−λXt0 i

=e^tψ0(λ) ψ0(λ) =α0λ+βλ²+

Z

]0,+∞[

e^−λl −1 +λl

π0(dl) , α0≥0

et

E h

e^−λXt1i

=e^−tφ1(λ) φ1(λ) =α1λ+

Z

]0,+∞[

1−e^−λl

π1(dl) , α1≥0

Marques sur les nœuds

m^nod_t (dr) = X

s∈J1 0≤s≤t

(I_t^s−Xs−)δ_Hs(dr)

avecJ₁ l’ensemble des temps de sauts deX¹.

Marques sur les nœuds

m^nod_t (dr) = X

s∈J1 0≤s≤t

(I_t^s−Xs−)δ_Hs(dr)

avecJ₁ l’ensemble des temps de sauts deX¹.

Marques sur les nœuds

m^nod_t (dr) = X

s∈J1 0≤s≤t

(I_t^s−Xs−)δ_Hs(dr)

avecJ₁ l’ensemble des temps de sauts deX¹.

Serpent de L´evy (Duquesne, Le Gall, 2002)

On construit un processus (ρ_t,W_t)t≥0 avec un processus de Poisson sous-jacent d’intensit´eα1, tel que :

• t fix´e, Cond. `aHt,

(Wt(s))_s∈[0,Ht]est un processus de Poisson d’intensit´e α1

• t ett⁰ fix´es, Cond. `aH_t et W_t,

Wt=Wt⁰ sur [0,Ht,t⁰] et Wt⁰ est un processus de Poisson d’intensit´e α1 partant deWt(H_t,t⁰−).

Marques sur le squelette

m^ske_t est la d´eriv´ee deWt

Serpent de L´evy (Duquesne, Le Gall, 2002)

On construit un processus (ρ_t,W_t)t≥0 avec un processus de Poisson sous-jacent d’intensit´eα1, tel que :

• t fix´e, Cond. `aHt,

(Wt(s))_s∈[0,Ht]est un processus de Poisson d’intensit´e α1

• t ett⁰ fix´es, Cond. `aH_t et W_t,

Wt=Wt⁰ sur [0,Ht,t⁰] et Wt⁰ est un processus de Poisson d’intensit´e α1 partant deWt(H_t,t⁰−).

Marques sur le squelette

m^ske_t est la d´eriv´ee deWt

Temps sous les marques : (m= (m^nod,m^ske)) At =

Z t

0

1ms=0ds

et son inverse continu `a droite :

Ct = inf{r >0;Ar >t}

On obtient le processus d’exploration ´elagu´e :

˜ ρ_t =ρ_Ct Th´eor`eme (Abraham, Delmas, V., 2008)

Le processus d’exploration ´elagu´e ˜ρt a la mˆeme loi queρ⁽⁰⁾ processus d’exploration d’un processus de L´evy d’exposant de Laplaceψ₀.

Temps sous les marques : (m= (m^nod,m^ske)) At =

Z t

0

1ms=0ds

et son inverse continu `a droite :

Ct = inf{r >0;Ar >t}

On obtient le processus d’exploration ´elagu´e :

˜ ρ_t =ρ_Ct Th´eor`eme (Abraham, Delmas, V., 2008)

Le processus d’exploration ´elagu´e ˜ρt a la mˆeme loi queρ⁽⁰⁾ processus d’exploration d’un processus de L´evy d’exposant de Laplaceψ₀.