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Mécanique Analytique , Série d'exercices 5 Assistants : jaap.kroes@ep .ch & benjamin.audren@ep .ch

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Academic year: 2022

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(1)

2010-2011

Mécanique Analytique , Série d'exercices 5

Assistants : jaap.kroes@ep.ch & benjamin.audren@ep.ch

Exercice 1 : Problème de la brachistochrone

Sous l'action de la pesanteur un point matériel glisse sans frottement sur un rail de masse négligeable situé dans le plan vertical (x, y) . Si le point matériel est initialement immobile à l'origine O , trouver la courbe donnant la forme du rail pour que le point matériel se déplace de l'origine au point P(x

0

, y

0

) en un temps minimal.

Indications :

◦ Utiliser la conservation de l'énergie pour obtenir la vitesse v de la masse en un point quelconque de la trajectoire en fonction de y .

◦ Choisir la paramétrisation (x(y), y) ou (x, y(x)) .

◦ Utiliser une quantité conservée pour résoudre le système.

◦ Est-il possible que la forme idéale du rail passe par un point plus bas que y

0

?

Exercice 2 : Problème de la surface minimale de révolution

Considérer la surface de révolution obtenue en prenant une courbe dans un plan (x, y) passant par deux points extrêmes donnés, P (1, 0) et Q(cosh(2), 2) , et en la faisant tourner autour de l'axe y . Trouver la courbe pour laquelle l'aire de la surface est minimale. Tout comme dans l'exercice précédent, paramétriser la courbe selon (x(y), y) ou (x, y(x)) , et utiliser une quantité conservée pour résoudre le système.

Exercice 3 : Rotateurs couplés

Un point matériel de masse m

1

est contraint de se déplacer sur un cercle de rayon a . Un deuxième point matériel de masse m

2

est contraint de se déplacer sur un cercle de rayon b . Les deux cercles appartiennent à deux plans parallèles éloignés d'une distance z , tels que la ligne joignant les deux centres est perpendiculaire aux deux plans. Les deux masses sont attachées aux deux bouts d'un ressort de constante élastique k et de longueur au repos nulle.

1. Ecrire le Lagrangien du système et déterminer les constantes du mouvement à l'aide des symétries du problème.

2. Trouver le changement de coordonnées qui amène à une coordonnée cyclique correspondant à une

des quantités conservées.

Références

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