"Quels que soient les progrès des connaissances humaines, il y aura toujours place pour l’ignorance et par la suite pour le hasard et la probabilité." Emile Borel (1871-1956)

Probabilités

Leçon 7

Tale-Spé-Math- Lycée Gustave Eiel - Bordeaux Thierry Sageaux.

"Quels que soient les progrès des connaissances humaines, il y aura toujours place pour l’ignorance et par la suite pour le hasard et la probabilité." Emile Borel (1871-1956)

I Rappels

Dénition 7.1 Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat est dû au hasard. L'ensemble des résultats possibles forme l'univers noté Ω (ou U ). Un sous-ensemble E de l'univers est un évènement.

- S'il ne contient qu'un seul élément, on dit que l'évènement est élémentaire.

- Si E = ∅ l'évènement est dit impossible.

- Si E = Ω l'évènement est dit certain.

Dénition 7.2 Soient A et B deux évènements d'un même univers Ω . - L'évènement " A ou B " s'écrit A ∪ B .

- L'évènement " A et B " s'écrit A ∩ B . - L'évènement "non A " s'écrit A .

- L'évènement " A et non B " s'écrit A\B .

Plus généralement, si (A i ) _i∈I est une famille d'évènements de Ω , l'évènement "au moins un des A i " s'écrit

∪ i∈I A i et l'évènement "tous les A i " s'écrit ∩ i∈I A i .

Dénition 7.3 Deux évènements A et B sont dits incompatibles lorsque les ensembles correspondants sont disjoints (i.e. A ∩ B = ∅ ).

Dénition 7.4 Soit Ω un univers. On appelle probabilité dénie sur P (Ω) toute application p : P (Ω) −→ [0; 1]

A 7−→ p(A) vériant p(Ω) = 1 et p (∪ _i∈I A _i ) = P

i∈I

p(A _i ) pour toute famille nie ou dénombrable d'évènements deux à deux incompatibles (on dit que p est σ -additive).

Remarque: La dénition précédente est connu aussi sous le nom d'axiome de Kolmogorov. Les lois de probabilité s'inscrivent dans un cadre plus général de la théorie de la mesure dans laquelle on impose qu'elles soient des mesures positives de masse 1 .

Cette dénition est largement incomplète. Il nous faudrait introduire la notion de tribu pour la rendre cohérente.

Proposition 7.5 Soit Ω un univers muni d'une loi de probabilité. On a : i. p(∅) = 0 .

ii. p(A) = 1 − p(A) .

iii. p(A\B) = p(A) − p(A ∩ B) .

et d'une façon générale, si (A _i ) _i∈I est une famille nie de A , on a la formule du crible ou formule de Poincaré :

p (∪ _i∈I A i ) = P

i∈I p(A i ) − P

i6=j p(A i ∩ A j ) + P

i,j,k distincts p(A i ∩ A j ∩ A k ) + ... + (−1) ⁿ⁺¹ p (∩ _i∈I A i ) .

Théorème 7.6 Si Ω est ni et si tous les évènements élémentaires ont la même probabilité, il y a équipro- babilité et pour tout A ∈ T , on a

p(A) = ^Card _Card ^(A) _(Ω) .

Dénition 7.7 Soit Ω un univers muni d'une probabilité p . Soit (A, B) ∈ P (Ω) ² tel que p(B) 6= 0 . On a alors la probabilité conditionnelle :

p B (A) = ^p(A∩B) _p(B) . On note aussi parfois p(A|B) et on lit " p de A sachant B ".

Proposition 7.8 Formule des probabilités composées Soit (A _i ) _i∈I une famille nie d'évènements telle que p(A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n ) 6= 0 . On a alors :

p (∩ _i∈I A i ) = p(A 1 ) × p A

₁

(A 2 ) × p A

₁

∩A

2

(A 3 ) × ... × p A

₁

∩...∩A

n−1

(A n ) .

Proposition 7.9 Formule des probabilités totales Soit (A _i ) _i∈I un système complet d'évènements tel que ∀i ∈ I, p(A i ) 6= 0 alors, ∀B ∈ A :

p(B) = P

i∈I p A

_i

(B) × p(A i ) .

Proposition 7.10 Formule de Bayes Soit (A _i ) _i∈I un système complet d'évènements tel que ∀i ∈ I, p(A _i ) 6= 0 . Soit B ∈ A tel que p(B) 6= 0 . Alors, ∀j ∈ I , on a :

p B (A j ) = p(A j ∩ B)

p(B) = p A

_j

(B) × p(A j ) P

i∈I p A

_i

(B)p(A i )

Remarque: On voit que dans le cas d'un seul évènement B, la formule de Bayes ¹ se résume à p _B (A) = p A (B ) × p(A)

p(B) . Exercice 1. ˇ “(

Dans une population donnée, un individu sur 10 est porteur d'un virus V. On dispose d'un test mais : - un individu malade a 9 chances sur 10 d'être détecté.

- un individu non-malade a 5 chances sur 100 d'être déclaré positif.

Quels sont les risques d'erreur du test ?

II Indépendance en probabilités

Dénition 7.11 Soit (Ω, A, p) un espace probabilisé.Soient A et B dans A . Les évènements A et B sont indépendants si et seulement si la sorite suivante est vériée :

i. p(A ∩ B) = p(A) × p(B) . ii. p A (B) = p(B) .

iii. p B (A) = p(A) .

1. Le théorème de Bayes a été publié à titre posthume en 1763 par crainte du sacrilège : En eet, Thomas Bayes était

ecclésiastique et pensait que l'application de sa formule à la recherche des causes ultimes d'un évènement aurait pu conduire à

probabiliser l'existence de Dieu...

Exercice 2. ˇ “)

Montrer que si A et B sont indépendants, alors A et B sont indépendants.

Remarque: Il faut faire la diérence entre évènements indépendants et évènements incompatibles. Ce dernier est ensembliste quand le premier dépend de la loi considérée.

Exercice 3. ˇ “(

On jette deux dés (un rouge, un vert). On considère les évènements : S , "la somme des résultats est 7" ; Q , "le dé rouge donne 4", T , "le dé vert donne 3".

1) Les évènements S et Q sont-ils incompatibles ? indépendants ? 2) Idem avec S et T .

3) Les évènements S et Q ∩ T sont-ils indépendants ? Exercice 4. ˇ “

On se demande ici quelle est la probabilité p n pour que dans un groupe de n personnes choisies au hasard, deux personnes au moins aient le même anniversaire (on considère ici une année de 365 jours et les jours de naissance sont équiprobables - ce qui n'est pas vrai dans la réalité ! ² )

1) Déterminer p n .

2) Montrer que pour n ≥ 23 , on a p n ≥ ¹ ₂ . 3) Montrer que p n = 1 −

n−1

Q

k=1

1 − k

365

.

4) Montrer que si x ∈ [0; 1[ , on a − ln(1 − x) > x . 5) Déterminer le plus petit n tel que p n ≥ 0, 9 .

III Généralités sur les variables aléatoires

Dénition 7.12 On appelle variable aléatoire discrète X toute application dénie sur Ω à valeurs dans R. L'ensemble image X(Ω) = {x i , i ∈ I} est l'ensemble des valeurs prises par X .

Si cet ensemble est dénombrable (i.e. I = N) ou ni et on dit dans ce cas que X est une variable aléatoire discrète nie.

X : Ω −→ R ω 7−→ x

Notation : (X = x) = X ⁻¹ (x) = {ω ∈ Ω / X (ω) = x} .

Dénition 7.13 On appelle loi de probabilité de X l'application : p : X (Ω) −→ [0, 1]

x _i 7−→ p(X = x _i ) = p _i

On la dénit donc via les probabilités des évènements élémentaires.

Dénition 7.14 On appelle espérance mathématique de X le réel : E(X ) = X

i∈I

x _i p _i

2. En eet, le jour de l'année qui compte en moyenne le plus grand nombre de naissances en France est le 23 septembre...

...soit 9 mois après la Saint Sylvestre !

Dénition 7.15 On appelle variance de X le réel

V (X ) = X

i∈I

(x _i − E(X)) ² p _i

On appelle écart type de X le réel σ(X) = p

V (X)

Théorème 7.16 (Formule de König-Huygens)

V (X) = E(X ² ) − (E(X )) ²

Procédé mnémotechnique: Un moyen simple de s'en souvenir et de le dire à haute voix en français : "La moyenne des carrés moins le carré de la moyenne". C'est joli, ça sonne bien, en tout cas beaucoup mieux que le contraire : "Le carré de la moyenne moins la moyenne des carrés" dans laquelle l'allitération des trois

"m" sonne mal.

Dénition 7.17 On appelle fonction de répartition de X l'application F : R −→ [0, 1]

x 7−→ p(X ≤ x) Remarques: • F est croissante sur R.

• lim

x→−∞ F (x) = 0 et lim

x→+∞ F(x) = 1 .

• F (x) = P

x

_i

≤x

p i

• P (X = x _i ) = F(x _i ) − F(x _i−1 ) . Exercice 5. ˇ “

1) Soit X une variable aléatoire à valeurs dans [[1, n]] . Montrer que E(X ) =

n

P

k=1

p(X ≥ k) .

2) On tire deux jetons simultanément dans un sac contenant 10 jetons numérotés de 1 à 10 . On appelle X la variable aléatoire désignant le minimum des numéros tirés. Calculer l'espérance de X .

III.1 Couples de variables aléatoires

Exercice 6. ˇ “(

Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires dont la loi est dénie par le tableau suivant :

Y, X 0 1

0 p ¹ ₂ − p

1 ¹ ₃ − p ¹ ₆ + p

1) A quel intervalle doit appartenir p pour que ces données soient acceptables ?

2) Déterminer E(X ) , E(Y ) , V (X ) , V (Y ) et le coecient de corrélation linéaire entre X et Y . 3) Déterminer p pour que X et Y soient indépendantes.

Remarque: La loi de probabilité d'un couple (X, Y ) s'appelle loi conjointe de X et de Y alors que les variables aléatoires X et Y s'appellent les lois marginales.

Exercice 7. ˇ “

Montrer que si deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes, alors E(XY ) = E(X )E(Y ) .

Dénition 7.18 On appelle covariance de X et Y le réel

Cov (X, Y ) = E(XY ) − E(X ) × E(Y ) Nota Bene : Cov (X, X) = V (X) .

Remarque: La covariance permet d'évaluer le sens de variation de deux variables aléatoires. Si les deux variables sont indépendantes, alors la covariance est nulle. (La réciproque est fausse).

Exercice 8. ˇ “

Montrer que V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 Cov (X, Y ) .

IV Variables composées

Soit X une variable aléatoire et φ une fonction de R dans R. Alors φ(X) = φ ◦ X est aussi une variable aléatoire que l'on note dans la suite Y = φ(X) . Si X(Ω) = {x 1 , x 2 , . . . , x n } , alors

Y (Ω) = φ(X)(Ω) = {φ(x 1 ), . . . , φ(x n )} = {y 1 , . . . , y m } ,

cet ensemble étant de cardinal inférieur ou égal à n (cela dépend de l'injectivité de φ ). On note I _j = {i ∈ [[1, n]], φ(x _i ) = y _j } , ce qui veut dire que l'on découpe [[1, n]] en sous-ensembles sur lequel φ est constante. En utilisant la réunion disjointe qui en découle, on trouve

p(Y = y _j ) = P

i∈I

j

p(X = x _i ) .

Proposition 7.19 (Théorème de transfert) Soit X une variable aléatoire et φ une fonction de R dans R.

On a

E(φ(X )) =

n

P

i=1

φ(x _i )p(X = x _i ) . Exercice 9. ˇ “

Démontrer cette formule.

En particulier, on

Corollaire 7.20 Avec les conditions précédentes, si φ est ane du type φ(x) = ax + b , alors E(aX + b) = aE(X) + b, V (aX + b) = a ² V (X ) et σ(aX + b) = |a|σ(X ) . Exercice 10. ˇ “(

Faire la démonstration.

V Lois usuelles

V.1 Loi uniforme : U (n)

C'est le cas d'un tirage équiprobable parmi n objets, X étant le numéro de l'objet tiré.

En supposant que X (Ω) = {1, ...n} et p(X = k) = _n ¹ pour tout k ∈ {1, ..., n} . On a alors : E(X ) = ⁿ⁺¹ ₂

V (X ) = ⁿ

²

₁₂ ⁻¹

V.2 Loi de Bernoulli : B(p)

Il s'agit du cas très simple où l'expérience aléatoire n'a que deux issues possibles appelées succès (avec une probabilité p ) et échec (avec une probabilité q = 1 − p ).

On a alors X(Ω) = {0, 1} et

E(X ) = p V (X) = pq

V.3 Loi binomiale : B(n, p)

Ici, on réalise n épreuves aléatoires identiques et indépendantes de Bernoulli. On a alors un arbre de probabilité de valence 2 (i.e. deux branches de plus à chaque ramication). En appelant X la variable aléatoire qui recense le nombre de succès, on a X (Ω) = {0, 1, ..., n} et on a la

Proposition 7.21 Avec les mêmes hypothèses p(X = k) =

n k

p ^k q ^n−k et

E(X) = np V (X ) = npq

Exercice 11. ˇ “(

Démontrer ces formules en utilisant une somme de variables aléatoires.

Solutions des exercices

Exercice 1.

On note M l'évènement "l'individu est malade" et T + l'évènement "le test est positif". On a alors p = p(P ∩ S) + p(P ∩ S) = ₂₀₀ ¹¹ .

Exercice 2.

Utiliser A = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ B) car {B, B} forment un système complet d'évènements. On a alors p(A ∪ B) = p(A) − p(A ∪ B) = p(A) − p(A) × p(B) = p(A)(1 − p(B)) = p(A) × p(B)

Exercice 3.

1) Non, ils ne sont pas incompatibles car en notant (a, b) les résultats des deux dés (le rouge en a et le vert en b ), on trouve que {(4, 3)} = S ∩ Q , donc les deux évènements ne sont pas incompatibles.

On calcule les probabilités : L'univers a pour cardinal card (Ω) = 6 ² et comme card (S ) = 6 , on a p(S) = ¹ ₆ . De la même façon, p(Q) = ¹ ₆ et p(S ∩ Q) = ₃₆ ¹ et comme p(S ∩ Q) = p(S) × p(Q) , les deux évènements sont indépendants.

2) On a p(T) = ¹ ₆ et p(S ∩ T ) = ₃₆ ¹ . Donc S et T sont eux aussi indépendants.

3) On trouve p(Q ∩ T ) = ₃₆ ¹ et p (S ∩ (Q ∩ T )) = ₃₆ ¹ 6= p(S) × p(Q ∩ T ) = ₂₁₆ ¹ Exercice 4.

1) Si n > 365 , on a clairement (d'après le principe de Dirichlet), p n = 1 .

Pour la modélisation, on place dans l'urne les 365 dates possibles et on tire n dates (autant que de personnes). L'univers est donc avec remise (deux personnes peuvent naître le même jour) et avec ordre (les personnes étant distinctes), soit card (Ω) = 365 ⁿ .

On pose q _n la probabilité contraire de p _n , à savoir que les n personnes ont des dates d'anniversaires distinctes. Le tirage est alors sans remise et on obtient :

p n = 1 − q n = 1 − A ⁿ ₃₆₅ 365 ⁿ .

2) Il sut de voir que p n est une fonction croissante de n et de calculer p 23 ' 0, 5073 3) Il sut d'écrire

p n = 1 − 365 × 364 × ...(365 − n + 1)

365 ⁿ = 1 −

n−1

Q

k=1

365 − k 365 =

n−1

Q

k=1

1 − k

365

. 4) On a

− ln(1 − x) = Z x

0

dt 1 − t ≥

Z x

0

dt 1 − 0 = x

5) Or si 1 ≤ k ≤ n − 1 avec n < 365 , alors ₃₆₅ ^k ∈ [0; 1[ et on peut appliquer la formule précédente :

p _n ≥ 0, 9 ⇔

n−1

Y

k=1

1 − k

365

≤ 0, 1

⇔

n−1

X

k=1

ln

1 − k 365

≤ ln 0, 1

⇔

n−1

X

k=1

− ln

1 − k 365

≥ ln 10.

Mais

n−1

P

k=1

− ln

1 − k 365

≥ ⁿ⁻¹ P

k=1

k

365 = n(n − 1) 730 D'où

n(n − 1)

730 ≥ ln 10 ⇔ n ² − n − 730 ln 10 ≥ 0 ⇔ n ≥ 1 + √

1 + 2920 ln 10 2

Or 1 + √

1 + 2920 ln 10

2 ' 41, 5 .

On sait donc que si n ≥ 42 , cela fonctionne, on a bien p _n ≥ 0, 9 , mais on n'a pas d'équivalence du fait de la minoration. Il faut donc vérier pour les valeurs plus petites. on trouve n ≥ 41 .

Exercice 5.

1) Ecrire p(X ≥ k) = p((X = k) ∪ (X = k + 1) ∪ · · · ∪ (X = n)) qui sont incompatibles et sommer.

2) On a card (Ω) = ¹⁰ ₂

= 45 avec équiprobabilité sur chaque paire. Donc p(X = k) =

11−k 2

10 2

. Donc

E(X ) =

9

P

k=1 11−k

2

10 2

=

9

P

k=1 11−k

2

10 2

=

2 2

+ ³ ₂

+ · · · + ¹⁰ ₂

45 =

11 3

45 = 11 3 . Exercice 6.

1) 0 ≤ p ≤ ¹ ₃ .

2) La loi de X est la première loi marginale du couple et il s'agit d'une loi de Bernoulli B( ² ₃ ) . Ainsi, E(X ) = ² ₃ et V (X ) = ² ₉ .

Idem Y suit B( ¹ ₂ et E(Y ) = ¹ ₂ , V (Y ) = ¹ ₄ . D'autre part, E(XY ) = P

i,j

p[(X = i) ∩ (Y = j)] = p[(X = 1) ∩ (Y = 1)] = ¹ ₆ + p . Donc Cov (X, Y ) = E(XY ) − E(X )E(Y ) = p − ¹ ₆ et

ρ _X,Y = Cov (X, Y ) σ X σ Y

= 3 √

2(p − ¹ ₆ ) .

3) Pour que X et Y soient indépendantes, il est nécessaire que Cov (X, Y ) = 0 , donc que p = ¹ ₆ . Il faut ensuite vérier que les deux variables sont indépendantes sous cette condition....

Exercice 7.

On a

E(XY ) =

r

X

i=1 s

X

j=1

x i y j p((X = x i ) ∩ (Y = y j )) =

r

X

i=1 s

X

j=1

x i y j p(X = x i ) × p(Y = y j )

=

r

X

i=1

x i p((X = x i )

s

X

j=1

y j p(Y = y j ) = E(X )E(Y )

Exercice 8.

Il sut d'écrire :

V (X + Y ) = E (X + Y ) ²

− (E(X ) + E(Y )) ²

= E(X ² ) + 2E(X × Y ) + E(Y ² ) − E(X) ² − E(Y ) ² − 2E(X) × E(Y )

= E(X ² ) − E(X ) ²

| {z }

V (X)

+ E(Y ² ) − E(Y ) ²

| {z }

V (Y )

+2[E(X × Y ) − E(X) × E(Y )

| {z }

Cov (X,Y )

]

Exercice 9.

Il sut de calculer

E(φ(X)) =

m

P

j=1

y j p(Y = y j ) =

m

P

j=1

y j P

i∈I

j

p(X = x i ) =

m

P

j=1

P

i∈I

j

φ(x i )p(X = x i ) =

n

P

i=1

φ(x i )p(X = x i ) .

Exercice 10.

V (X) = E((aX + b − E(aX + b)) ² ) = E((aX − aE(X )) ² ) = E(a ² (X − E(X)) ² ) = a ² V (X) .