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Arti

PanaM

Introd

Héron d Ayant v l’empire mettant utilisant etc.

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Maths

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Wikipédia :

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ar le babylo ment (1896)

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[1-12]

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L

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L

L

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⎜ ⎟

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L a <

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L 2L

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L ' < L .

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L 2L

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0

n

x x

⎧ ⎪

⎨ ⎪

⎩

.panamat de Héron

[3-12]

L ' L

a < a <

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*

1

1 2 x

+

+

∈

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⎝

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L ' < L

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es dont les l carré de cô

n

a x

⎞ ⎟

⎠

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2 L

⎛ + a ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ ^e illés orange

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L et L a (bo et L '

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in 2012

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nt

Résultats préliminaires

Notons d’abord que pour un entier naturel n quelconque fixé, si x

est strictement positif, alors il en va de même pour

n

a

x et, de fait, pour x

. On a x

> 0 .

Il découle de ce qui précède que la suite ( ) x

est une suite à termes strictement positifs.

Il va (presque) de soi que l’on exclut la possibilité x

= a car elle sous-entendrait que l’on connaît la réponse à notre problème !

D’un point de vue mathématique, si x

= a , on a :

0

1 1

2 2

a a

x x a a

x a

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ = ⎜ ⎝ + ⎟ ⎠ = ^. On montre alors facilement par récurrence que l’on a : ∀ ∈ n , u

= a .

Plus précisément, s’il existe un rang N tel que x

= a alors on a : ∀ ∈ n , x

= a . En effet, d’après l’observation précédente, si N = 0 , le résultat est immédiat.

Supposons donc N > 0 .

On a immédiatement : ∀ ≥ n N x ,

= a .

Mais on a aussi :

1

1

N

2

N

x a x a

−

x

−

⎛ ⎞

= = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ^.

D’où

1

2

N

a x a

−

x

−

= + , soit : ^x

^{− 2 a x}

^{+ = a} ( ^x

^{− a} )

^{= 0 .}

Enfin : x

= a .

Finalement : ∀ ≤ n N x ,

= a et ∀ ∈ n , x

= a .

Dans l’étude qui suit, on suppose donc : x

≠ a et on sait alors que tous les termes de la suite ( ) x

seront différents de a .

Etude de l’algorithme de Héron

Etude d’une fonction

La suite étudiée est une suite récurrente de la forme x

= f x ( )

où f est la fonction définie sur

par : 1

: 2

f x x a x

⎛ + ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ .

www.panamaths.net L’algorithme de Héron d’Alexandrie

PanaMaths [5-12] Juin 2012

La fonction f est dérivable en tant que fonction rationnelle et on a, pour tout x réel strictement positif :

( )

( )( )

2 2 2

' 1 1

2 2 2

x a x a

a x a

f x

x x x

− +

⎛ ⎞ −

= ⎜ ⎝ − ⎟ ⎠ = =

Comme on a x > 0 , il vient immédiatement 2 x

> 0 et x + a > 0 . Ainsi, ^{f '} ( ) ^x est du signe de x − a . Il vient donc :

• Si x ∈ ⎦ ⎤ 0 ; a ⎡ ⎣ , x − a < 0 et ^{f '} ( ) ^{x < 0 .}

• ^{f '} ( ) ^{a = 0 .}

• Si x > a , x − a > 0 et ^{f '} ( ) ^{x < 0 .}

On déduit de ce qui précède que la fonction f est strictement décroissante sur l’intervalle 0 ; a

⎤ ⎤

⎦ ⎦ et strictement croissante sur l’intervalle ⎡ ⎣ a ; + ∞ ⎡ ⎣ .

La fonction f admet donc un minimum global strict en a et on a ^f ( ) ^{a = a .}

Voici la courbe représentative de la fonction f.

Il en résulte que pour tout x réel de l’ensemble 0 ; ⎤ ⎦ a ⎡ ⎤ ⎣ ⎦ ∪ a ; + ∞ ⎡ ⎣ , on a : ^{f x} ( ) ^{> a .}

Etude de la suite ( ) x

D’après l’étude précédente, si x

appartient à l’intervalle 0 ; ⎤ ⎦ a ⎡ ⎣ alors on aura

1

( )

x = f x > a .

Nous pouvons donc limiter notre étude au seul cas : x

> a .

Pour tout n entier naturel non nul, on a x

= f x ( )

> a . Par ailleurs, on a : x

> a .

En définitive, on a : ∀ ∈ n , x

> a . Ainsi :

La suite ( ) x

est minorée par a .

Pour tout n entier naturel, on a :

( )( )

2 2 2

1

1 2

2 2 2 2

n n

n n n

n n n n

n n n n

a x a x

x a x a x

x x x a x

x x x x

+

− +

⎛ ⎞ + − −

− = ⎜ + ⎟ − = = =

⎝ ⎠

Comme x

> a > 0 , on a : a + x

> 0 et a − x

< 0 . Il vient donc : x

− x

< 0 .

La suite ( ) x

est strictement décroissante.

Puisque la suite ( ) x

est décroissante et minorée, elle converge.

Notons L sa limite.

Comme on a : ∀ ∈ n , x

> a , il vient immédiatement : L ≥ a . En tant que fonction rationnelle, la fonction f est continue sur

. On a donc classiquement : lim

lim ( )

( )

n x

L u

f u f L

→+∞ →+∞

= = = .

On va donc résoudre l’équation ^{f x} ( ) ^{= x} sur l’intervalle ⎡ ⎣ a ; + ∞ ⎡ ⎣ . On a :

( ) ^{1 2}

2

x a x a

x a x a

x a

a a

f x x x x x x a x

x x

⎧ ≥ ⎧ ≥

⎧ ≥ ⎧ ≥

⎪ ⇔ ⎪ ⇔ ⎪ ⇔ ⎪ ⇔ =

⎨ = ⎨ ⎛ + ⎞ = ⎨ + = ⎨ ⎪ =

⎪ ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎩

⎩ ⎩ ⎝ ⎠ ⎩

www.panamaths.net L’algorithme de Héron d’Alexandrie

PanaMaths [7-12] Juin 2012

On a donc : L = a .

La suite ( ) x

converge vers a .

Sur la convergence de l’algorithme

Une suite de rationnels

Supposons que a soit un rationnel.

Soit n un entier naturel quelconque fixé.

Supposons que x

soit rationnel. Il en va alors de même pour

n

a

x et

1

n

2

n

x x a

+

x

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ^.

Si x

est un rationnel, on en déduit immédiatement que la suite ( ) x

est une suite de rationnels ( ( ) x

∈ ).

Ce résultat est extrêmement intéressant : l’algorithme de Héron permet donc d’approcher des irrationnels, par exemple 2 , par des suites de rationnels (prendre pour cet exemple a = 2 donc et x

quelconque dans

).

Ainsi, avec a = 2 et x

= 1 , on obtient :

1

2

3

4

3 1, 5 2

17 1, 416 666 667 12

577 1, 414 215 686 408

665 857

1, 414 213 562 470 832

x x x x

= =

=

=

=

La convergence est très rapide (voir la partie suivante) : avec x

on dispose déjà des 9

premières décimales de l’écriture décimale de 2 .

Evidemment, si x

est plus grand, une telle précision sera atteinte moins vite ! Par exemple, avec x

= 7 , on obtient :

1

2

3

4

51 3, 642 857 143 14

2 993

2, 095 938 375 1 428

13 036 417

1, 525 082 452 8 548 008

316 085 049 734 017

1, 418 243 479 222 870 793 614 672

x x x x

= =

=

=

=

Rapidité de la convergence de l’algorithme de Héron

On s’intéresse ici classiquement à la différence : ε

= x

− a (écart du terme courant x

à la limite de la suite ( ) x

).

En tenant compte de la définition de la suite ( ) x

, on a :

( )

1 1

2

2

2

1 2

2 2

2 2

n n

n n

n n

n

n n n

n

x a

x a a

x

x x a a

x

x a

x x ε

ε

+

=

−

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟ −

⎝ ⎠

− +

=

= −

=

Comme lim

n

x a

→+∞

= , on a :

2

1

2 2

lim lim 2 lim 1

2 2

n

n n

n n n

n n n

x a

x

a a

ε ε

ε

ε

→+∞

=

=

= , c'est-à-dire :

2

1

2

n

n

a

ε

∼ ε .

2

1

2

n

n

a

ε

∼ ε

www.panamaths.net L’algorithme de Héron d’Alexandrie

PanaMaths [9-12] Juin 2012

La suite

n

ε ε

⎛ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠ étant convergente, on qualifie la convergence de la suite ( ) x

de

« quadratique ». Une telle convergence est très rapide.

La suite ( ) x

converge quadratiquement vers a

Comportement asymptotique de x _n − x _{n + 1}

On a vu précédemment que l’on avait : ( )( )

1

2

n n

n n

n

a x a x

x x

+

x

− +

− = .

En utilisant ε

= x

− a , il vient alors :

( )( ) ( )

( )

1

2 1 2

2 2 1

n

n n n n

n n n

n n n

x a a x a a

x x

x a

a ε ε ε

ε ε

+

ε

− + + +

− = = =

+ +

Comme lim

0

n

ε

→+∞

= , il vient immédiatement : lim

1

n n

x x ε

→+∞

− = , soit, finalement :

1

n n n

x − x

∼ ε

Comme 0 ε

> pour tout n entier naturel, on a également : 1 1 1 2

n n

a a

ε ε

< + < + .

Il en découle :

1 2 1

1

n

n

a a ε ε +

<

+

et, finalement :

1

n n n

x − x

< ε

Mise en œuvre de l’algorithme

Pour une mise en œuvre complète, on se reportera au document PanaMaths correspondant.

Le cœur de l’algorithme ne pose pas, d’un point de vue calculatoire, de problème particulier (on obtient facilement x

à partir de x

et ce calcul est effectué un certain nombre de fois dans un boucle). En revanche, on doit se poser une question essentielle : combien d’itérations doit-on effectuer dans la boucle ?

Ce qui nous intéresse, c’est de pouvoir majorer la différence ε

= x

− a .

En étudiant sur

la fonction ( )

( )

2 :

2

x x a

f x

x a

+

+ on peut conjecturer puis montrer que l’on

a : ( ) ⁰

2 f x − > x .

A partir de ( )

( )

1

2 2

n n

n n

n

a x x

a ε ε

+

ε

− = +

+ , on a, de façon équivalente :

( ) ( )

( )

( )

( )

2 1

2

2

2 2 2

2 2

2

n n n n

n n

n

n n n n

n

n n

x x a

a

a a

a a

a

ε ε ε ε

ε

ε ε ε ε

ε ε ε

+

− − = + −

+

+ − +

= +

= +

Or, pour tout entier naturel n, on a :

( ) ⁰

2

n n

a a ε

ε + ^> . On en déduit : (

) 0

2

n

n n

x x ε

−

− > , soit : ε

< 2 ( x

− x

) .

Cette majoration est essentielle puisque la différence x

− x

est directement accessible à chaque étape de la boucle.

Si on souhaite que la différence ε

= x

− a soit inférieure à une valeur ε fixée d’avance, il suffira d’avoir

n n

2

x x ε

−

< pour que l’on ait effectivement ε

< ε .

Ainsi, la boucle du calcul de x

devra être répétée tant que la différence x

− x

est supérieure ou égale à

2 ε .

Dans l’algorithme ci-après, la variable A correspond au réel strictement positif dont on

cherche la racine carrée, la variable EPSILON à la majoration de ε

= x

− a et les variables

X et Y à x

et x

respectivement.

www.panamaths.net L’algorithme de Héron d’Alexandrie

PanaMaths [11-12] Juin 2012

Nombres réels : A, X, Y, EPSILON

Lire A Lire X

Lire EPSILON Y Å 0.5*(X+A/X)

Tant que X – Y supérieur ou égal à EPSILON/2 faire X Å Y

Y Å 0.5*(X+A/X) Fin Tant que

Afficher Y

Autour de l’algorithme

L’algorithme de Newton

L’algorithme de Newton est un algorithme classique et très performant visant à résoudre des équations de la forme ^{f x} ( ) ^{= 0} sur un intervalle [ ^{a b ;} ] où la fonction f est dérivable et strictement monotone.

L’algorithme est défini comme suit :

[ ] ( ) ( )

0

1

; '

n

n n

n

x a b

x x f x

f x

+

⎧ ∈ ⎪

⎨ = −

⎪ ⎩

Avec la fonction f x : x

− a , on obtient :

( ) ( )

2 2

1

1 1 1

2 2

' 2 2 2 2

n n n

n n n n n n n

n n n n n

f x x a x a a a

x x x x x x x

f x x x x x

+

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− −

= − = − = ⎜ − ⎟ = ⎜ − + ⎟ = ⎜ + ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

On retrouve la relation de récurrence qui caractérise l’algorithme de Héron ! Celui-ci est donc un cas particulier de l’algorithme de Newton, cas particulier obtenu en appliquant ce dernier à la fonction x x

− a .

L‘algorithme de Héron est obtenu en appliquant

l’algorithme de Newton à la fonction x x

− a .

Au-delà de la racine carrée

En utilisant encore l’algorithme de Newton mais en l’appliquant cette fois à la fonction

:

f x x − a où p est un entier naturel supérieur ou égal à 2 et a un réel strictement positif, on va pouvoir résoudre numériquement l’équation x

= a , c'est-à-dire extraire la racine pième du réel a. Comme ^{f '} ( ) ^{x = p x}

, on obtient cette fois la relation de récurrence suivante :

( ) ( ) ( ) ( )

1 1 1 1

1 1

' 1

p p

n n n

n n n p p n p

n n n n

f x x a p x a a

x x x p x

f x p x p x p x

+ − − −

− + ⎡ ⎤

= − = − − = = ⎢ − + ⎥

⎣ ⎦

On dispose ainsi de la suite récurrente suivante permettant d’obtenir la racine pième d’un réel strictement positif :

( )

* 0

1 1

1 1

n n p

n

x

x p x a

p x

+

+ −

⎧ ∈ ⎪

⎡ ⎤

⎨ = ⎢ − + ⎥

⎪ ⎣ ⎦

⎩

Par exemple pour p = 5 :

* 0

1 4

1 4

n

5

n

x

x x a

x

+ +

⎧ ∈ ⎪

⎡ ⎤

⎨ = ⎢ + ⎥

⎪ ⎣ ⎦

⎩ On notera que :

• pour p = 2 , on retrouve l’algorithme de Héron.

• Ici encore, lorsque le premier terme de la suite est rationnel, il en va de même pour

tous les autres.