Définition : L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés | | | i | et | | | j | .

1/13

CALCUL INTÉGRAL

Les exercices sont ceux du chapitre 7 du livre.

Dans tout le cours, le plan est rapporté à un repère orthogonal (O ; i , j ).

Définition : L'unité d'aire (u.a.) est l'aire du rectangle de côtés | ^{| | i} | ^et | ^{| | j} | ^.

f est une fonction continue sur un intervalle I contenant deux réels a et b et (C ) est la courbe représentative de f.

I. Intégrale d'une fonction continue et positive sur un intervalle.

Dans tout ce paragraphe, on suppose a  b.

1. Aire et intégrale.

Définition : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b ]. On appelle intégrale de a à b de f et on note  

a

b

f (x) dx l'aire en unités d aire de la surface D délimitée par la courbe (C ), l'axe des abscisses et les deux droites d'équations x a et x b.

(C ) étant située au dessus de l’axe des abscisses, on dit souvent (par abus de langage) que D est « le domaine du plan situé sous la courbe (C) ».

L unité d aire est l aire du rectangle OIK J.

 

a

b

f (x)dx = aire du domaine hachuré

Exemples :

Calculer les intégrales suivantes : I

 

2

8

2dx I

 

1

3

( 2 t 8)dt 8

I

12

s

I

 

0 1

2 xdx

I

1

i j

O I

J K

a b

(C)

Remarques :

a et b sont les bornes de l intégrale.

La variable x est dite muette.

Pour tout réel a,  

a

a

f( x)dx 0

2. Une fonction ayant pour dérivée f.

Théorème : Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a b]. Soit la fonction F définie sur [a b ] par : F( x)  

a

x

f(t )dt. Alors F est dérivable sur [ a b ] et F f . Exemple :

Soit f définie sur [ 1 3] par f (x ) 2x 2.

Soit x un réel de [ 1 3].

Soit F(x )  

1

x

f (t )dt . Exemple traité en classe

Ce qui est noté en bleu est destiné à être dit à l oral. Ce n est dont pas toujours parfaitement rigoureux.

Démonstration dans le cas où f est croissante sur [a ; b]:

Les démonstrations sont importantes dans le cas où vous vous dirigez vers des études avec beaucoup de mathématiques (prépa, écoles d ingénieurs, licence de maths …)

Soit f une fonction continue, positive et croissante sur un intervalle [a b ].

Soit x

un réel de I, h un réel non nul tel que x

h appartienne à [a b ].

Soit F la fonction définie sur [a b ] par F (x )  

a

x

f (t )dt .

F ( ^x

h ) aire sous la courbe entre l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations x a et x x

.

F ( ) ^x

aire sous la courbe entre l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations x a et x x

h.

Alors F ( ^x

^h ) ^F ( ) ^x

aire sous la courbe entre l axe des abscisses, la courbe et les droites d équations x x

et x x

h.

Si h > 0 : f est croissante sur [ ^x

^x

^h ] ^{donc f} ( ) ^x

f ( ^x

^h ) ^.

F(x

+ h) F(x

) est compris entre les aires des rectangles HSVW et HSTU.

Aire de HSV W h f ( ) x0 et Aire de HST U h f ( x 0 h . )

On a donc f ( ) ^{x0 F} ( ^x

^h ) ^F ( ) ^x

h f ( ^{x 0 h} )

Si h 0 : On a de même f ( ^x

^h ) ^F ( ^x

h ) F ( ) ^x

h f ( ) ^x

Or f est continue en x

donc lim

h 0

f ( ^x

^h ) ^f ( ) ^x

Alors, d après le théorème des gendarmes : lim

h 0

F ( ^x

^h ) ^F ( ) ^x

h f ( ) ^x

^.

F est donc dérivable en x

et on a F ( ) ^x

f ( ) ^x

Ce résultat est vrai pour tout x

de [a b] donc F est dérivable sur [a b] et F f .

3/13 II. Intégrale d une fonction continue de signe quelconque.

1. Intégrale d’une fonction continue et négative sur un intervalle.

Définition : Soit f une fonction continue et négative sur un intervalle I. On appelle intégrale de a à b de f l'opposé de l'aire du domaine D délimité par la courbe de f, l'axe des abscisses et les deux droites

d'équations x a et x b . Cette intégrale se note

( ) d

a

f x x



Ici,

 

2

4

f(x )dx aire du domaine hachuré.

C est donc un nombre négatif.

Remarque : Cette intégrale I est appelée l’aire algébrique de D (en u.a.).

2. Cas général.

Définition : : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle intégrale de a à b de f la somme des aires algébriques des domaines définis par les intervalles où la fonction f garde un signe constant.

Cette intégrale se note

( ) d

a

f x x



 

2

8

f( x)dx Aire de D

Aire de Aire de D

Aire de D

Aire des domaines rouges Aire des domaines bleus

III. Primitives d une fonction continue.

1. Définition et existence.

Définition : f est une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f toute fonction F dérivable sur I dont la dérivée F' est égale à f.

Remarque : si f est une fonction continue et positive sur un intervalle [a b ]. La fonction F définie sur [a b ] par : F( x)  

a

x

f(t )dt est une primiti ve de f sur [ a b ] d après le théorème du I.

Théorème : f est une fonction définie sur un intervalle I.

On suppose qu'il existe une primitive F de f sur I. Alors :

 L'ensemble des primitives de f sur I est l'ensemble des fonctions G définies sur I par G (x ) F( x) C où C est un réel.

 Pour tout x

de I et tout y

de , il existe une unique primitive G de f sur I telle que G ( ) ^x

^y

^.

Démonstration :

Les démonstrations sont importantes dans le cas où vous vous dirigez vers des études avec beaucoup de mathématiques (prépa, écoles d ingénieurs, licence de maths …)

 F est dérivable sur I et F' = f.

- Si G est définie sur I par G(x) = F(x) + C, alors G est dérivable sur I (car F l'est) et G' = F' (C est une constante). Donc G est une primitive de f sur I.

- Soit G une primitive de f sur I. Alors G est dérivable sur I et G' = f.

G  F est dérivable sur I et (G  F)' = G'  F' = 0 donc G  F est constante sur I : pour tout x de I, G(x)  F(x) = C, où C est un réel. Ainsi G(x) = F(x) + C, où C est un réel.

 G ( ) ^x

^y

^{ F} ( ) ^x

^{C y}

^{ C y}

^F ( ) ^x

. La constante C est déterminée par la donnée de x

et y

Conséquence : Si la fonction f admet une primitive sur I, alors elle en admet une infinité.

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f( x) 3x ².

1) Déterminer les primitives de f sur .

On remarque que f est la dérivée de la fonction cube (car la dérivée de x

est 3 x²) Alors

Les primitives de f sur sont les fonctions de la forme x x

C , où C est une constante réelle.

2) Déterminer une primitive H de f sur .

On choisit une primitive parmi celles que l on a trouvé avant en choisissant une valeur de C au hasard (souvent 0).

Il y a donc une infinité de réponses correctes à cette question. En voici trois : La fonction F

définie sur par F

(x ) x

est une primitive de f sur . La fonction F

définie sur par F

(x ) x

1 est une primitive de f sur . La fonction F définie sur par F ( x) x

est une primitive de f sur .

3) Déterminer la primitive H de f sur qui prend la valeur 2 en 1.

La différence avec la question précédente est qu on a une condition (condition initiale en général en physique) et que l on cherche l UNIQUE primitive de f qui vérifie cette condition.

D après l exemple ci-dessus, on sait que H (x ) x

C avec C un réel.

On cherche maintenant à déterminer C.

H(1) 2 donc 1

C 2 donc C 3. H est définie sur par H( x) x

3.

Il n y a qu une réponse correcte à cette question.

Il faut donc être attentif à la question : si on cherche LES primitives, on a C à la fin Si on cherche UNE primitive, on choisit une valeur de C

Si on cherche UNE primitive vérifiant une condition donnée, il faut chercher la valeur de C qui convient.

Méthode : pour prouver qu une fonction F est une primitive d une fonction f, on calcule la dérivée de F et on montre que F f .

Exemple : f est définie sur par f( x) (x 1)e

2.

1. Montrer que la fonction F définie sur par F (x ) (x 2) e

2x est une primitive de f sur . 2. Déterminer la primitive G de f sur dont la courbe passe par l origine du repère.

Essayez de chercher l exemple avant de regarder la correction.

5/13 1. F est dérivable sur . Pour tout réel x, F ( x) e

( x 2) e

2 e

2 f( x) donc F est une

primitive de f sur .

2. On sait alors que toutes les primitives de f sur sont de la forme F C où C est une constante.

On a alors :

G( x) F (x) C où C est une constante réelle, c'est-à-dire G( x) (x 2)e

C où C est un réel.

La courbe de G passe par l origine du repère donc G(0) 0.

Alors (0 2) e

2 0 C 0 donc C 2.

G est donc définie sur par G (x ) ( x 2) e

2 x 2.

Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives.

Démonstration dans le cas où l intervalle est de la forme [a ; b]:

Les démonstrations sont importantes dans le cas où vous vous dirigez vers des études avec beaucoup de mathématiques (prépa, écoles d ingénieurs, licence de maths …)

Pré requis : On admet que toute fonction continue sur un intervalle [a b ] admet un minimum sur cet intervalle.

Soit f une fonction continue sur un intervalle [ a b]. D après le pré-requis, f admet un minimum m sur [a b ].

Pour tout x de [a b], f(x) m, c'est-à-dire f(x) m 0.

Soit g la fonction définie sur [a b] par g (x) f(x ) m.

g est une fonction continue et positive sur [ a b] donc la fonction G : x  

a x

g( t ) dt est une primitive de g sur [ a b] d après le théorème du I.

Posons F(x ) G(x ) mx.

G est dérivable sur [a b] donc F est dérivable sur [ a b] et F ( x) G (x) m g(x ) m f(x) F est donc une primitive de f sur [a b].

f admet donc une primitive sur [a b] et donc une infinité de primitives sur [ a b] puisqu il suffit de rajouter une constante C pour en obtenir une autre.

On peut ainsi démontrer l existence de la fonction ln, comme primitive de la fonction inverse (puisque ln (x ) 1 x ) Ce n est pas parce qu on a montré l existence de primitive qu on peut en trouver une.

Exemple : La fonction x e

est continue sur donc elle admet des primitives sur mais on ne connaît pas d expression "explicite" pour ces primitives. Même les mathématiciens n en connaissent pas.

Ex 1 p200, ex 67

2. Primitives à connaître.

Ce tableau, obtenu à partir de celui des dérivées mais dans l autre sens, est à connaître par cœur !!!!

a. Fonctions usuelles.

Fonction f : x  ... Une primitive F : x  ... Sur l intervalle k (fonction

constante) k kx

x

n  1

n 1 x

1

n

x

x



^{n entier,}

n 2

1 n 1 1

x

]   ; 0 [ ou ] 0 ; +  [ 1

x 2 x ] 0 ; + [

1

x ln( x ) ]0 ; + [

ex ex

cos(x ) (sera étudiée plus tard) sin( x)

sin(x) (sera étudiée plus tard) cos(x) b. Primitives et opérations sur les fonctions.

Dans le tableau ci-dessous, u et v sont des fonctions dérivables, à dérivées continues sur l intervalle I.

Fonction Une primitive

u + v U + V où U est une

primitive de u et V une primitive de v

ku avec k ϵ k U où U est une

primitive de u u   u

avec n ϵ . 1

n 1 u

u

u

u   u

, n ϵ *, n  1 et, pour tout x de I, u (x) ≠ 0

1 n 1

1 u

u

u avec u (x) > 0  x ϵ I 2 u

u

u avec u strictement positive sur I

ln(u)

u e

e

u sin(u)(sera étudiée plus

tard) cos(u)

u cos( u )(sera étudiée plus

tard) sin(u)

Attention : il n existe pas de formule pour déterminer une primitive de u v ou de u v . Exemples :

Trouver toutes les primitives sur I des fonctions suivantes : 1. f( x) x ² 3x 1 ; I = .

2. g( x) 5 x

3

x ; I = ]0 ; + [ 3. p( x) 3x ²

x

7 ; I

4. h( x) x

3x ² 2

1 ; I =

5. n( x) (x 2)( x² 4x 1)

; I =

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la primitive sur qui vaut 1 en 0 : 6. g( x) e

1 2x

7. h( x) 2x 3

(x ² 3x 10)

8. m( x) 2 x

x² 1

Essayez de chercher les exemples avant de regarder la correction qui se trouve sur les pages suivantes.

Pour vérifier vos réponses, dérivez la fonction que vous avez trouvée et vérifier que vous obtenez bien la

fonction de l énoncé.

7/13 Correction des exemples :

1. Pour une somme ou une différence, on traite chaque terme séparément.

f( x) x ² 3x 1 ; I = . Pour x ² : une primitive est 1

3 x

car on utilise la deuxième ligne du tableau 1 avec n 2.

Lorsqu il y a une constante multipliée par une fonction, on garde la constante et on cherche une primitive de la fonction.

Pour 3x, on garde le 3 (constante multiplicative) et on cherche une primitive de x. C est à nouveau la deuxième ligne du tableau, avec n 1.

Une primitive de x est 1

2 x² donc une primitive de 3 x est 3 1

2 x ², c'est-à-dire 3 2 x².

Enfin, une primitive de 1 est x (première ligne du tableau 1 avec k 1).

On ajoute enfin ces trois primitives et, puisqu on cherche toutes les primitives de f, on ajoute une constante C.

Les primitives de f sur sont donc les fonctions F définies sur par F (x ) 1 3 x

3

2 x² x C où C est un réel.

2. g( x) 5 x

3

x ; I = ]0 ; + [ 5

x² 5 1

x² donc une primitive de 5 x² est 5

 

  1

x , c est à dire 5

x . ( 5

ligne du tableau 1) 3

x 3 1

x donc une primitive de 3

x est 3 ( ^{2 x} ) , c est à dire 6 x ( 4

ligne du tableau 1) Les primitives de g sur ]0 [ sont donc les fonctions G définies sur ]0 [ par

G( x) 5

x 6 x C où C est un réel.

3. p( x) 3x ² x

7 ; I On repère la forme u

u qui est dans le tabl eau 2, avec u (x ) x

7

Attention : il faut bien vérifier que la dérivée de x

7 est bien 3 x². C est bien le cas.

Les primitives de p sur + sont donc les fonctions P définies sur + par P ( x) ln ( x3 7 ) C où C est un réel.

4. h( x) x

3x ² 2

1 ; I =

On essai e de fai re apparaître l a form e u

u qui est dans le tableau 2.

Ici, u (x ) est forcément égal à 3x² 2 puisqu on a 3x ² 2 . Alors u (x) 6 x.

Il faut donc faire apparaître 6x 3x ² 2 .

Pour cela, on peut multiplier et diviser la fonction par le même nombre pour faire apparaître ce que l on cherche.

On a h (x ) x 3x ² 2

? 6x

3x² 2 On voit qu il faut remplacer le ? par 1

6 pour avoir l égalité : h( x) x 3x² 2

1 6

6x

3 x² 2

D après le tableau 2, une primitive de 6 x 3 x² 2

, qui est de la forme u

u est 2 u , c est à dire 2 3 x ² 2 .

On garde alors la constante multiplicative 1

6 puis on utilise la primitive que l on vient de trouver.

Les primitives de h sur sont donc les fonctions H définies sur par H( x) 1

6 2 3x ² 2 C 1

3 3 x² 2 C où C est un réel.

5. n( x) (x 2)( x² 4x 1)

; I =

On essai e de fai re apparaît re l a form e u u

qui est dans le tableau 2.

Ici, u (x ) est forcément égal à (x² 4x 1) et n 5 puisqu on a (x ² 4x 1)

Alors u (x) 2 x 4.

Il faut donc faire apparaître (2 x 4)( x² 4 x 1)

.

Pour cela, on peut multiplier et diviser la fonction par le même nombre pour faire apparaître ce que l on cherche.

On a n (x ) (x 2)( x² 4x 1)

? (2x 4)( x ² 4 x 1)

On voit qu il faut remplacer le ? par 1

2 pour avoir l égalité : n (x ) (x 2)( x² 4x 1)

1

2 (2x 4)(x ² 4 x 1)

D après le tableau 2, une primitive de (2 x 4)( x² 4 x 1)

, qui est de la forme u u

est 1

n 1 u

, c est à dire 1

5 1 (x² 4 x 1)

ou encore 1

6 (x ² 4x 1)

. On garde alors la constante multiplicative 1

2 puis on utilise la primitive que l on vient de trouver.

Les primitives de n sur sont donc les fonctions N définies sur par N( x) 1

2 1

6 ( x² 4x 1) 6

C 1

12 ( x² 4x 1 )

C où C est un réel.

Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer la primitive sur qui vaut 1 en 0 :

Dans ces exemples, il faudra d abord chercher toutes les primitives de la fonction puis ensuite chercher la valeur de C pour laquelle l image de 0 est 1 (F vaut 1 en 0 signifie F (0) 1).

6. g( x) e

1 2x

On essai e de fai re apparaître l a form e u e

qui est dans le tableau 2.

Ici, u (x ) est forcément égal à 1

2 x. Alors u (x ) 1 2 Il faut donc faire apparaître 1

2 e

1 2x

.

Pour cela, on peut multiplier et diviser la fonction par le même nombre pour faire apparaître ce que l on cherche.

On a g (x ) e

1 2x

?  

  1 2 e

1 2x

On voit qu il faut remplacer le par 2 pour avoir l égalité : g (x ) e

1 2x

( 2)  

  1 2 e

1 2x

puisque 2

 

  1

2 1

D après le tableau 2, une primitive de

 

  1 2 e

1 2x

, qui est de la forme u est e

, c est à dire e

1 2x

On garde alors la constante multiplicative 2 puis on utilise la primitive que l on vient de trouver.

9/13 Les primitives de g sur sont donc les fonctions G définies sur par

G( x) 2e

1 2x

C où C est un réel.

On cherche m aint enant C pour que G (0) 1 car on cherche LA primitive qui vaut 1 en 0 G(0) 1  2e

C 1  2 1 C 1  C 3.

La pri mi tive d e g qui vaut 1 en 0 est la fonction G définie sur par G (x) 2e

1 2x

3.

7. h( x) 2x 3

(x ² 3x 10)

On véri fi e que h est définie sur :

On résout x ² 2x 10 0 : 0 donc le trinôme n a pas de racine et il n y a pas de valeur interdite. h est donc définie et continue sur et elle admet donc des primitives sur .

On repère la forme u

u

qui est dans le tabl eau 2, avec u (x ) x² 3 x 10.

Attention : on vérifie bien que u (x) 2 x 3 et c est bien ce qu on a au numérateur.

Les primitives de h sur sont donc les fonctions H définies sur par H( x) 1

4 1

1

( x² 3x 10)

C 1 3

1

(x ² 3 x 10 )

C où C est un réel.

On cherche m aint enant C pour que H (0) 1 car on cherche LA primitive qui vaut 1 en 0 H(0) 1  1

3

1

(0² 3 0 10)

C 1  1

3000 C 1  C 1

3000 . La pri mi tive d e h qui vaut 1 en 0 est la fonction H définie sur par

H( x) 1

3

1

(x ² 3 x 1 0)

1 3000 .

8. m( x) 2 x x² 1

Pour tout réel x, x² 1 0 donc m est définie et continue sur et elle admet donc des primitives sur .

On repère la forme u

u qui est dans le tabl eau 2, avec u( x) x² 1.

Attention : on vérifie bien que u (x) 2 x et c est bien ce qu on a au numérateur.

Les primitives de m sur sont donc les fonctions M définies sur par M( x) ln(x ² 1) C où C est un réel.

On cherche m aint enant C pour que M (0) 1.

M(0) 1  ln(0² 1) C 1  C 1.

La pri mi tive d e m qui vaut 1 en 0 est la fonction M définie sur par M( x) ln ( x² 1 ) 1.

69, 70, 6, 8, 10, 17

IV. Calcul d intégrales.

Théorème : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I. Alors, pour toute primitive F de f, on a :  

a

b

f (x )dx F( b) F (a).

Démonstration dans le cas où f est positive sur I.

Les démonstrations sont importantes dans le cas où vous vous dirigez vers des études avec beaucoup de mathématiques (prépa, écoles d ingénieurs, licence de maths …)

F est une primitive de f sur I et on a vu que G : x  

a

x

f(t )dt est une autre primitive de f sur I.

Il existe donc un réel C tel que pour tout x de I, F (x ) G (x) C.

G( b)  

a

b

f(x )dx et G (a )  

a

a

f(t )dt 0.

F( b) F (a) G( b) C G( a) C  

a

b

f (x)dx Exemples :

1. Calculer  

0 1

x²dx Rédaction 1 (version longue)

On cherche d abord une primitive de la fonction à intégrer : Soit f la fonction définie sur par f( x) x ². f est continue sur . Les primitives de f sur sont les fonctions définies par F (x ) 1

3 x

C où C est un réel.

En général, on choisit C 0 pour simplifier les calculs puisqu il suffit d avoir UNE primitive.

La fonction F : x 1

3 x

est une primitive de f sur . D après le théorème,  

0

1

x²dx F(1) F (0) 1

3 1

1

3 0

1 3 . Rédaction 2 (version courte)

Une notation plus rapide est la suivante (qui évite de faire les phrases pour définir une primitive) : On cherche, de tête ou dans les questions précédentes, une primitive et on la note entre crochets avec les bornes de l intégrale à droite du crochet, en haut et en bas, comme ci-dessous. On remplace ensuite x d abord par le nombre du haut puis par le nombre du bas. On sépare les deux par un :

 

0 1

x²dx

 

  1 3 x

0

1

1

3 1

1

3 0

1

3 . On retrouve le résultat de l activité.

2. Calculer  

2

5

xe

dx Rédaction 1 (version longue)

Soit f la fonction définie sur par f( x) xe

. f est continue sur et admet donc des primitives sur . On essai e de fai re apparaître l a form e u e

qui est dans le tableau 2.

Ici, u (x ) est forcément égal à x ² Alors u ( x) 2x . Il faut donc faire apparaître 2 xe

.

Pour tout x de , f( x) 1

2 e

et on remarque que 2 xe

est de la forme u e

où u (x ) x².

La fonction F : x 1

2 e

est une primitive de f sur . Alors  

2

5

f (x )dx F (5) F (2) 1

2 e

1

2 e

1 2 e

1

2 e

. Rédaction 2 (version courte)

On cherche comme dans la version 1 une primitive de la fonction et on écrit :

11/13

 

2

5

xe

d x =

 

  1 2 e

2 5

= 1 2 e

1

2 e

1 2 e

1

2 e

. 23, 80 d), 82 b) (calc intégrales)

Plus intéressants : 26, 28, 91 ! V. Propriétés de l'intégrale.

Propriété (admise): Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a, b et c de I on a :

 

b

a

f( x)dx

 

a

b

f (x )dx Si on inverse l’ordre des bornes, on change le signe de l intégrale.

Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Pour tous réels a , b et c de I on a : ( ) d

b

a

f x x 

  

a

c

fxdx  

c

b

fxdx

Remarque : Dans le cas où f est positive et a  c  b ce théorème est évident, par définition de l’intégrale (en terme d’aire ….).

Démonstration : Soit F une primitive de f sur I.

 

a

c

fxdx +  

c

b

fxdx F( c) F( a) F( b ) F (c) F( b) F( a)  

a

b

f (x )dx .

Linéarité de l'intégrale (admise) : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. Soit a et b deux éléments de I. Pour  et  réels quelconques on a :

 ^{( ) ( ) d} 

a

 f x   g x x 

 ^ _ ^{ }

a

b fxdx + 

 

 a

b gxdx

On peut "sortir une constante multiplicative de l intégrale" et "couper l intégrale en deux s il y a une somme"

Par exemple,  

a

b

3 f( x) 2 g( x)dx 3  

a

b

f (x)dx 2  

a

b

g (x )dx

Théorème (admise) : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I.

Si a  b et f  0 sur [ a b], alors

( ) d

a

f x x

 ^{ 0}

Si a  b et f  0 sur [ a b], alors

( ) d

a

f x x

 ^{ 0}

Si la fonction est positive, son intégrale est positive, si la fonction est négative, son intégrale est négative.

Si la fonction est positive, son intégrale est positive, si la fonction est négative, son intégrale est négative.

Conséquence : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a  b. Si pour tout réel x de [a b ], f (x)  g ( x), alors

 

 a

b fxdx 

 

 a

b gxdx

VI. Applications du calcul intégral.

1. Calcul d aires.

Théorème : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle [ a b], telles que f g sur [ a b ].

Alors l aire du domaine compris entre les courbes de f et g est donnée par A  

a

b

[g (x ) f (x )]dx .

Illustration dans le cas de deux fonctions positives :

Aire entre les deux courbes aire de la partie hachurée en rose aire de la partie hachurée en violet

 

0 4

g(x) dx

 

0 4

f(x) dx

 

0 4

(g(x) f(x)) dx.

Exemple :

f et g sont les fonctions définies sur par f( x) x ² et g (x ) 1 2 x.

C

et C

sont les courbes représentatives de ces fonctions dans le repère orthonormal ( O i j ) (unité graphique 1,5 cm).

Calculer l aire A en cm² du domaine coloré.

Cherchez l exemple avant de regarder la correction !

Sur [1 2], g (x ) f (x ) donc A  

1

2

f(x ) g(x )dx

 

1

2

x² ¹

2 x dx On cherche une prim itive de x ² 1

2 x . Comme c est une différence, on traite séparément chaque terme.

Une primitive de x ² est 1

2 1 x

1 3 x

Une primitive de x est 1

2 x² donc une primitive de 1

2 x est 1 2

1 2 x ² 1

4 x².

une primitive de x ² 1

2 x est donc 1 3 x

1

4 x².

Alors : A

 

  1

3 x

1 4 x²

1 2

 

  1

3 2

¹ 4 2²

 

  1

3 1

¹

4 1² 19

12 ua On cherche à convertir en cm². L unité est 1,5cm sur chaque axe donc 1 ua (1,5 1,5)cm² 2,25 cm²

19

12 2,25 3,5625

Donc l aire de la partie colorée est 3,5625 cm².

29 !, 30 !

2. Valeur moyenne

Définition : Soient a et b deux réels tels que a < b et f une fonction continue sur [a ; b].

On appelle valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [a ; b] le réel  = ¹

( ) d

a

f x x

b  a  ^.

Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a ; b]

La valeur moyenne de f entre a et b est la hauteur du rectangle ABCD dont l’aire est égale à celle du domaine du plan situé délimité par la courbe (C) de f, l’axe (Ox) et les droites d’équations respectives x a et x b.

On cherche en fait combien vaudrait en moyenne la fonction si elle était constante et si l aire sous la courbe était la même. On cherche la hauteur d un rectangle

i j

O b

a M

A B

C

D (C)

13/13

"correspondant" à l intégrale.

Exemple (retenir la méthode) :

On suppose que le nombre de personnes touchées par une maladie contagieuse est donné par la fonction f définie par f( t) 10

( ^{1 e}

) , où t désigne le nombre de jours depuis le début de l épidémie.

Déterminer le nombre moyen de malades par jour dans la première semaine de l épidémie.

On cherche M 1 7−0  

0

7

f(t )dt

On cherche une primitive de f. 10

est une constante multiplicative donc on la garde.

Une primitive de 1 est t (ici la variable s appelle t mais vous pouvez l appeler x si vous préférez).

Pour e

, on va utiliser la primitive de u e

avec u(t ) 0,2t et donc u (t ) 0,2.

e

? ( ^0,2e

) . On voit que le ? doit être remplacé par 1

0,2 5 : e

5 ( ^0,2e

)

Une primitive de 0,2 e

(de la forme u e

) est e

. Alors une primitive de e

5 ( ^0,2e

) ^{est 5e}

^.

Ainsi une primitive de f est 10

( ^t ( ^5e

) ) ¹⁰

( ^{t 5e}

)

I 1 7  

  10

( ^{t 5e}

)

0

7

1

7 ( ¹⁰

( ^{7 5e}

) ¹⁰

( ^{0 5 e}

) ) ¹⁰⁰⁰

7 ( ^{2 5 e}

) ⁴⁶²

Pendant la première semaine de l épidémie, il y a en moyenne 462 malades par jour.

Inégalité de la moyenne : Soit m et M deux réels donnés. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que a b. Si pour tout x de [ a b ], m f( x) M, alors

m( b a)

( ) d

a

f x x

 ^{M(b a )}

Démonstration :

Les démonstrations sont importantes dans le cas où vous vous dirigez vers des études avec beaucoup de mathématiques (prépa, écoles d ingénieurs, licence de maths …)

pour tout x de [ a b], m f ( x) M, donc  

a

b

mdx

( ) d

a

f x x

  

a

b

Mdx,

Or une primitive de m est mx donc  

a b

mdx

 

  mx

a b

mb ma m( b a) De même,  

a

b

M dx M (b a).

On a alors m (b a )

( ) d

a

f x x

 ^{M( ba ).}

Interprétation graphique dans le cas où f est continue et positive sur [a b ] et où m > 0 :

L aire de la partie hachurée

 

 

 

0,5

0,8

f (x )dx est comprise entre l aire du rectangle ABCD bleu (m (0,8 ( 0,5)) 1,3m) et l aire du rectangle ABFE contenant des points (M (0,8 ( 0,5)) 1,3M)

31, 33

130 (type bac)

Types bac