Nombre de factorisations d'un grand cycle

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Submitted on 12 Sep 2011

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Nombre de factorisations d’un grand cycle

Philippe Biane

To cite this version:

Philippe Biane. Nombre de factorisations d’un grand cycle. Seminaire Lotharingien de Combinatoire,

Université Louis Pasteur, 2004, 51 (1), 10pp. �hal-00622733�

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Nombre de factorisations d’un grand cycle

Philippe Biane

R´ esum´ e. On donne une d´ emonstration simple d’une formule de Goupil et Schaeffer qui compte le nombre de factorisations d’un cycle de longueur maximale dans S

n

en produit de deux permuta- tions de classes de conjugaisons donn´ ees.

Dans la suite on utilise les notations du livre de Macdonald [M].

Soit c

ⁿ_λµ

le nombre de factorisations dans S

_n

d’un cycle de longueur n en un produit de deux permutations de classes de conjugaison λ et µ. La th´ eorie des caract` eres donne la formule

(1) c

^ν_λµ

= n!

z

_λ

z

_µ

X

ρ`n

χ

^ρ_λ

χ

^ρ_µ

χ

^ρ_ν

χ

^ρ₁n

.

pour le nombre de d´ ecompositions d’une permutation de classe ν en produit de deux permutations de classes λ et ν. La somme porte sur les partitions de n et les χ

^ρ

sont les caract` eres du groupe sym´ etrique, tandis que z

_λ

= Q

i

α

_i

! i

^αⁱ

si λ = 1

^α¹

2

^α²

. . . n

^αⁿ

.

Lorsque ν = (n), un cycle de longueur maximale, on a χ

^ρ_ν

= 0 sauf si ρ est une ´ equerre, c’est-` a-dire un diagramme de la forme 1

^r

(n − r), et on obtient

(2) c

ⁿ_λµ

= n z

_λ

z

_µ

n−1

X

r=0

(−1)

^r

r! (n − 1 − r)! χ

¹_λ^r^(n−r)

χ

¹_µ^r^(n−r)

.

qui est la formule (4) de [GS]. Cet article se poursuit par une analyse combinatoire de cette formule, pour la transformer en une expression ne contenant que des termes positifs. Nous allons suivre une voie plus alg´ ebrique et introduire une fonction g´ en´ eratrice pour ces quantit´ es en utilisant les fonctions sym´ etriques p

_λ

(cf. [M]). L’utilisation de telles fonctions g´ en´ eratrices est un outil puissant dans ce genre de probl` eme, cf. par exemple [J] pour des r´ esultats voisins.

2000 Mathematics Subject Classification. Primary 05A15; Secondary 05E05.

1

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2 PHILIPPE BIANE

On consid` ere donc la fonction g´ en´ eratrice ψ(x, y) = X

n

1 n

X

λ,µ`n

p

_λ

(x)p

_µ

(y)c

ⁿ_λµ

.

D’apr` es (2) elle est donn´ ee par

ψ(x, y) = X

n n−1

X

r=0

(−1)

^r

r! (n − 1 − r)! X

λ,µ`n

p

_λ

(x)p

_µ

(y)

z

_λ

z

_µ

χ

¹_λ^r^(n−r)

χ

¹_µ^r^(n−r)

.

D’apr` es [M, I. (7.6) et I.3 example 9], on a

ψ(x, y) = X

n n−1

X

r=0

(−1)

^r

r! (n − 1 − r)! s

(n−r−1|r)

(x)s

(n−r−1|r)

(y).

Les s

_λ

sont les fonctions de Schur, et (a|b) = (a + 1, 1

^b

) suivant la notation de Frobenius. D’apr` es [M, I.3 example 14], on a

Y

i

1 + vx

_i

1 − ux

i

= 1 + (u + v) X

a,b≥0

s

_(a,b)

u

^a

v

^b

.

Nous allons donner une repr´ esentation int´ egrale de cette expression en utilisant l’identit´ e

1 π

Z

C

u

^k

u ¯

^l

e

^−|u|²

du = δ

_kl

k!.

On obtient ψ(x, y) = 1

π

²

Z

C

Z

C

Q

i 1−vx_i 1−ux_i

− 1 u − v

! Q

i 1+¯vyi

1−¯uyi

− 1

¯ u + ¯ v

!

e

^−|u|²^−|v|²

du dv

= 1

π

²

Z

C

Z

C

exp P

r u^r−v^r

r

p

r

(x)

− 1 u − v

!

×



 exp

P

r

¯ u^r−(−¯v)^r

r

p

r

(y)

− 1

¯ u + ¯ v



 e

^−|u|²^−|v|²

du dv.

Faisons le changement de variables u = a + b, v = a − b. L’int´ egrale ne

converge pas, mais le d´ eveloppement en s´ erie des p

_λ

converge terme ` a

terme, et ce changement de variable est une fa¸con rapide d’obtenir des

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relations entre les coefficients de ce d´ eveloppement. On trouve

ψ(x, y) = 2 π

²

Z

C

Z

C



 exp

P

r

(a+b)^r−(a−b)^r

r

p

_r

(x)

− 1 2b





×



 exp

P

r

(¯a+¯b)^r−(¯b−¯a)^r r

p

r

(y)

− 1 2¯ a



 e

^−2|a|²^−2|b|²

da db.

Or le polynˆ ome Q

r

(a, b) = (a + b)

^r

− (a − b)

^r

a tous ses coefficients positifs, par cons´ equent quand on d´ eveloppe cette expression en termes des p

_λ

(x)p

_µ

(y) on trouve des coefficients positifs. Plus pr´ ecis´ ement, si on note

R

λ

(a, b) = 1 b

Y

i

Q

_i

(a, b)

^αⁱ

i

^αⁱ

α

_i

! = 1

z

_λ

b Y

i

Q

λi

(a, b)

pour λ = 1

^α¹

2

^α²

. . ., qui est un polynˆ ome homog` ene de degr´ e n − 1, alors on a

c

ⁿ_λ,µ

= n2

⁻ⁿ⁻¹

π

²

Z

C

Z

C

R

_λ

(a, b)R

_µ

(¯ b, ¯ a)e

^−|a|²^−|b|²

da db,

ou encore, en appelant r

^kl_λ

le coefficient de a

^k

b

^l

dans R

_λ

, (qui est positif) on obtient l’expression

c

ⁿ_λ,µ

= n2

⁻ⁿ⁻¹

X

k,l

r

^kl_λ

r

^lk_µ

k! l!,

qui est ´ equivalente ` a la formule de Goupil et Schaeffer.

Plusieurs questions naturelles sont soulev´ ees par le calcul pr´ ec´ edent.

Tout d’abord on peut essayer de retrouver la formule plus g´ en´ erale dˆ ue

`

a Poulalhon et Schaeffer [PS], qui compte des factorisations en un nombre arbitraire de facteurs, mais l’int´ egrale qu’on obtient contient plus de deux variables et il ne semble pas qu’un simple changement de variable permette de la simplifier suffisamment. Une autre piste est d’essayer de compter les factorisations de permutations ayant deux cyles. Dans le cas de la classe de conjugaison 1

¹

(n−1) on peut mettre la fonction g´ en´ eratrice sous forme d’un int´ egrale double mais l’int´ egrand contient un terme polynomial de signe non constant, et je ne vois pas comment en tirer une expression avec des termes positifs.

Bibliographie

[GS] A. Goupil, G. Schaeffer, Factoring N -cycles and counting maps of given genus.

Eur. J. Combinatorics 19 (1998), 819–834.

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4 PHILIPPE BIANE

[J] D. M. Jackson, Counting cycles in permutations by group characters, with an application to a topological problem. Trans. Amer. Math. Soc. 299 (1987), no. 2, 785–801.