Fonctions propres et valeurs propres de l'opérateur de Liouville du rotateur linéaire rigide

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Submitted on 1 Jan 1966

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Fonctions propres et valeurs propres de l’opérateur de Liouville du rotateur linéaire rigide

Louis Galatry, Jean-François Le Men

To cite this version:

Louis Galatry, Jean-François Le Men. Fonctions propres et valeurs propres de l’opérateur de Liouville du rotateur linéaire rigide. Journal de Physique, 1966, 27 (3-4), pp.241-245.

�10.1051/jphys:01966002703-4024100�. �jpa-00206395�

FONCTIONS PROPRES ET VALEURS PROPRES

DE

L’OPÉRATEUR

DE LIOUVILLE DU ROTATEUR

LINÉAIRE

RIGIDE

Par LOUIS GALATRY et

JEAN-FRANÇOIS

^LE

MEN,

Faculté des Sciences de Rennes.

Résumé. ²⁰¹⁴

Après

avoir déduit une relation

générale

^{relative à}

l’orthogonalité

des fonctions propres de

l’opérateur

^de

Liouville,

^on calcule les valeurs _propres et fonctions _propres de

l’opérateur

^de Liouville relatif à un rotateur linéaire

rigide.

^Les fonctions propres ^sont obtenues dans

l’espace

^de

configuration (03B8, ~)

^du rotateur, pour ^une orientation et une

longueur

données du vecteur moment

angulaire.

^{On étudie}

l’orthogonalité

^{de ces fonctions} propres qui constitue ^un cas

particulier

de la relation obtenue auparavant ^et

qui

permet ^de

traiter,

comme cas

particulier,

^{le cas du rotateur}

plan.

Abstract. ²⁰¹⁴ A

general

^{relation on the}

orthogonality

^of

eigenfunctions

^{of the Liouville}

operator ^{is first deduced. Then one} obtains the

eigenvalues

^and

eigenfunctions

of the Liou- ville operator ^{for a}

rigid

^{linear rotator. The}

eigenfunctions

^{are obtained in the}

configuration

space

(03B8, ~)

^{for a}

given angular

^{momentum. The}

orthogonality

^{of the}

eigenfunctions,

^which

is a

special

^{case of the}

general

^{relation obtained}

above,

is then studied and this allows the connexion of these wave functions with those of a

plane

rotator to be

pointed

^out.

PHYSIQUE

1. Introduction. ^- La

mécanique statistique classique

^des processus de

non-équilibre peut

^être formulée à

partir

^du

développement

^{de la fonction}

de distribution dans

l’espace

^de

phase (p(q,

^... qrr, Pl ^... prr,

t))

^{dans une base} constituée par les fonc- tions propres d’un

opérateur

^de Liouville défini dans ce même espace de

phase.

Cette formulation ^a été

systématiquement développée

^par

Prigogine [1] ;

elle ^a été

plus particulièrement appliquée

^{par cet}

auteur et ses collaborateurs aux cas où le

système

étudié est un ensemble d’oscillateurs

harmoniques couplés [2]

^{ou un} ensemble de

particules

^dont

l’évolution des

degrés

de liberté de translation ^est soumise à l’influence de forces

interparticulaires ~3~.

Les

opérateurs

de Liouville attachés ^aux

systèmes

non

perturbés correspondants (et

dont les fonctions propres ^sont choisies comme base de

représentation

de

p( t))

^se

rapportent ainsi,

^{soit à un ensemble}

d’oscillateurs

harmoniques indépendants,

^{soit à un}

ensemble de

particules ponctuelles

^{en mouvement}

rectiligne

^{et uniforme. La} résolution des

équations

aux valeurs propres de ^ces

opérateurs

de Liouville fournit des

expressions analytiques particulièrement simples

pour les fonctions _propres et les valeurs propres

[1].

Si l’on veut étudier à l’aide du formalisme

évoqué plus

haut la relaxation attachée aux

degrés

^{de liberté}

de rotation d’une molécule

diatomique

^{en contact}

avec un

thermostat,

^{on est} naturellement conduit à

prendre

^{comme base de}

représentation

^le

produit

d’une fonction _{propre de}

l’opérateur

^{de Liouville du}

bain par ^une fonction propre cpm de

l’opérateur

^de

Liouville attaché à un rotateur linéaire

rigide.

^Cette

note est consacrée à l’étude de ces fonctions _pro-

pres ^et des valeurs _propres

correspondantes.

^On

précisera

^d’abord

(paragraphe II) quelques

pro-

priétés générales

des fonctions _propres et valeurs propres ^{en vue} de leur utilisation au cas

particulier

du rotateur

qui

^{sera abordé au}

paragraphe

^III.

Il. Généralités. ^- A ^un

système physique

^dont

l’état est

repéré,

^en

mécanique classique,

par N

coordonnées q1

^{.. , qN et} par N ^moments

conjugués,

est attaché

l’opérateur

^{de Liouville}

(hermitique) :

où ^... qN, p1 ...

pN)

^est la fonction d’Hamil-

ton du

système.

L’équation

^{aux valeurs propres de L s’écrit :}

Des solutions de

(2)

^{on ne} doit retenir _que les solutions

uniformes,

^cette restriction

provenant

^du

caractère nécessairement uniforme de la fonction de distribution _{p que} l’on

développe

^en série des _pk.

On

peut

^{alors montrer}

[1]

que si l’on pose :

où

Ak

^et xk ^sont

réels,

le module et la

phase

^ainsi

définis satisfont aux

équations :

Puisque

^{L est}

égal (au

facteur i

près)

^à

l’opéra-

teur

dldt agissant

^{sur une} fonction des _p et

des q

Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphys:01966002703-4024100

242

explicitement indépente

^du

temps,

^{on déduit de}

(4)

que

Ak

^{est une fonction}

(arbitraire)

^des

intégrales premières

^{du mouvement}

[1J.

Si l’on exclut les

intégrales premières

^{à trans-}

formée de Fourier

singulière [4],

^{il n’existe}

d’après

le théorème de

Poincaré,

que

sept intégrales

pre- mières

développables

^{en série de} l’intensité des interactions entre

particules

^du

système.

^Soient

...

P N)

^...

(X7( ql

^...

py)

^ces

intégrales

pre- mières

(énergie

^et

projections

^{des moments ciné-}

tique

^et

angulaire

^{totaux sur trois axes fixes et}

rectangulaires).

^Ainsi

Am peut prendre

les formes suivantes :

~= Cte), Am(OCl, ^oc,),

^...,

-A m (%

’,- o- 2...

rf..7)’

Soit,

par

ailleurs, Xk(ql

^...

pN),

^une solution de

(5).

Si l’on introduit _p

( 7) intégrales premières

dans on

peut

^{alors choisir ces}

intégrales

pre- mières comme variables

indépendantes

^et

exprimer

ainsi _p des variables initiales

(soit

par

exemple,

pour

simplifier

^les

notations,

q1 ^...

qp)

^{en fonction}

de ^... _xp, qp+l ^...

pN).

La fonction propre cpk

peut

^ainsi

présenter

les formes suivantes :

Ces diverses formes de la kème fonction _propre de L

correspondent

^aux différents

degrés

^d’infor-

mation _que l’observateur

possède

^{sur l’état}

dyna- mique global

^du

système physique (indétermination totale,

détermination

partielle

^{due à} la connaissance de la valeur

numérique

^de

1, 2,

^{..., 7}

intégrales premières).

^Les

possibilités

^{de choix des} cpk

qui apparaissent

^dans

(6) permettent

donc de déve-

lopper p(t)

^{sur diverses}

projections

^de

l’espace

^de

phase

^{où ces}

intégrales premières gardent

^une

valeur

numérique

constante ; ^ces différents _cpk sont

donc attachés aux diverses

probabilités

^condition-

nelles _que l’on

peut

introduire en

imposant

^des

valeurs fixes à ces

intégrales premières.

ORTHOGONALITÉ DES FACTEURS DE PHASE. ^-

L’opérateur

^{L étant}

hermitique,

^{on a}

^donc,

^pour

Ak # A :

Cette

orthogonalité peut

^{se mettre sous la forme}

suivante, compte

^{tenu des}

équations (6)

^et

après

^le

changement

^{de variables}

Puisque

les fonctions

Ak

^et

Ai

^sont

arbitraires,

^{il en résulte} que l’on a nécessairement les relations suivantes

d’orthogonalité

des facteurs de

phase :

Enfin,

^{dans le cas où une ou}

plusieurs

^variables

(ou moments) J

^ne

figurent

pas dans

H,

la dérivée

partielle

^par

rapport

^{aux moments}

(ou variables) conjugués

^ne

figure

pas dans

l’équation (2)

^{et ces}

moments

(ou variables) apparaissent

^{donc comme}

des

paramètres,

^{à la fois dans} la fonction _{propre cpk}

et dans la valeur _propre Dans ce cas les condi- tions

d’orthogonalité (6)

^ou

(7) s’appliquent toujours

mais seulement dans le sous-espace déduit de l’es- pace de

phase

par

suppression

^{des moments}

(ou variables) jouant

^{le rôle de}

paramètres.

111.

Éléments

propres de L pour le rotateur

linéaire

rigide.-

^{Pour un rotateur linéaire}

(moment

d’inertie

I) repéré

par les

angles polaires 0,

cp

(moments conjugués

po,

p,), (fig. 1~,

^{on a :}

L = - ip0 d - i pq d

I

d0 I sin 2 0 dq

- i 1

-0 ¿(Jo (8)

I sin2 0 tg 6 bpe’ ’ ’ ⁾

Puisque

^{L n’est} pas ^un

opérateur

différentiel

FIG. ~..

en p~, les valeurs _propres

dépendent

^de peu.

L’équa-

tion aux valeurs _propres relatives à L n’étant _pas

séparable,

^{il est}

préférable

^de

remplacer

^{sa résolution}

par celle des deux

équations (4)

^et

(5)

déterminant le module et la

phase

de~s solutions propres.

a)

^MODULE

^Ak.

^{- Dans le cas}

qui

^{nous intéresse}

ici,

^{il n’existe} que trois

intégrales premières.

^On

peut choisir,

par

exemple, l’énergie

^{F, = la}

projection

p, du moment

angulaire

^{P sur l’axe ver-}

tical et

l’angle polaire

y

repérant

l’orientation _par

rapport

^{aux axes fixes}

(oxyz)

^du

plan

^{vertical conte-}

nant P. Pour

chaque

^solution cpk, il existe donc

quatre possibilités

pour le module :

où oc2

...)

^{est une} fonction arbitraire.

(On

peut,

pour des raisons de convenance attachées au

problème particulier étudié,

^choisir pour les

Ak

^un

jeu

de fonctions

orthogonales.)

b)

PHASE Xk. ^-

L’équation (5)

^n’est pas, contrai-

rement à

(2),

^une

équation

^{aux valeurs} propres, mais une

équation

^{aux dérivées}

partielles,

^linéaire

et du

premier

^ordre.

Néanmoins, parmi

^ses

solutions,

seules devront être retenues celles

qui

^{sont uniformes.}

Dans

l’équation (5),

la variable _y est

séparable

de l’ensemble des variables

6,

po, ^ce

qui conduit,

^en

posant :

à l’ensemble des deux

équations :

où 1~ est une constante.

De

l’équation (11),

^{on tire :}

(la

^constante

d’intégration

^{a été}

prise égale

^{à zéro}

car elle ne

pourrait

^{influer que sur} le processus de normalisation de

L’équation (12) conduit, après

^le

changement

^de

variables u ^{= -}

(2

^sin2

0)-1, v

^{- au} sys- tème

caractéristique :

du ⁼ d v

La

première

^des

équations (14) s’intègre

pour donner :

Or, d’après

la définition de ⁱⁱ et v, ^{cette constante} n’est ^autre _que

l’intégrale première oc

⁼

introduite

plus

^{haut :}

Compte

^{tenu de}

(15),

la seconde

équation s’intègre

pour donner : ^-.

(~

^{est une constante}

arbitraire).

La solution

générale

^de

l’équation (12)

^{est de la}

forme

F(a, ~)

^{= 0 où F est une} fonction arbitraire.

On choisira

ici,

pour

F,

la fonction linéaire :

qui permet

^de satisfaire à la condition

d’uniformité,

comme on va le voir 4-dessous.

Puisque

^{la rela-}

tion

(17) exprime

^en fonction de

l’intégrale première

^{oc, cette}

intégrale première

^{sera choisie}

comme variable et le module

Ak

^{sera donné} par

(9c).

On a ainsi :

244

Ces fonctions _propres s’introduisent donc dans le

développement

^{de la}

probabilité

conditionnelle d’observer le rotateur dans la

configuration (0, cp),

sachant que ^son

énergie

^{et la}

projection

^{sur Oz de}

son moment

angulaire

^sont

respectivement

p, ocll

et po.

c)

CONDITIONS D’UNIFOR’MITÉ. ^- Introduisons

sur la

sphère S,

de rayon

unité,

^le

point

^P

repéré

par les

angles polaires

^{0 et (p.}

Puisque 1 ell

^et

doivent être

1,

^{la fonction}

cpt,_(18),

n’est pas définie sur les deux calottes

sphériques

^{0 0}

^8~,

7t -

8m

8 _1t, avec a ⁼

1/2 ^{sin2 0m} (fig. 2).

FIG. 2.

La condition

d’uniformité

impose

^alors que la

quantité

reprenne la ^même valeur

(à 2Krprès) après

^tout

parcours fermé r du

point représentatif P(O, cp)

^sur

la

région permise

^{de la}

sphère

^S

fig. 2).

Cette condi- tion est évidemment réalisée pour ^tous les parcours

où E1

^{et E2 ne}

^passent

^{pas par les}

^{valeurs + 1,}

^à

condition toutefois que

(Cette

^«

quantification

^» du nombre 1~ est

imposée

par la condition d’uniformité _pour le _parcours r

identique

^{à un}

parallèle

^{de la}

sphère

^S

passant

par le

point ^P,

^sur

lequel

cp varie de 2n et 0 reste cons-

tant.)

Dans le cas

où el

^{et E2}

^passent

^{par les}

^{valeurs + 1,}

les fonctions Arc ~1 ^et Arc _E2 ne sont

plus

^elles

mêmes uniformes et la détermination finale de _pk peut différer de sa détermination initiale. Cette éventualité se

produit chaque

fois que le parcours r coupe

l’équateur,

^{ou est}

tangent

^à l’un des cercles

0 ⁼

8m,

⁰ == 7~ 2013-

8m qui

limitent les zones inter- dites de S.

Considérons,

par

exemple,

le parcours de la

figure

^{2. Il est} facile de se rendre

compte

qu’après

^{un tel} parcours, la

phase

^{a varié de :}

Puisque k

^{est un entier}

(équation 20~,

^{et que}

doit être

égal

^à

^2Kr (,~ entier)

^ceci

impose que 1

^soit

lui-même un nombre

entier,

^{d’où :}

Cette ^«

quantification »

^{du nombre l}

impose

^donc

que l’on

repère

^{les fonctions} propres ^avec deux nombres ^«

quantiques

^{», soit}

La valeur propre Xi ^est

indépendante

^{de n. Elle}

est donc caractérisée _par une

dégénérescence

^d’ordre

infini.

d)

ORTHOGONALITÉ DES FONCTIONS PROPRES. ^-

Cette

propriété

^découle

automatiquement

^{du fait}

que L est

hermitique ;

^{néanmoins il est}

possible

^de

la démontrer à

partir

^de

l’expression (18), après

^un

changement

^{de variable}

qui exprime

^{la fonction}

propre ^à l’aide des trois

intégrales premières

^du

mouvement

(soit,

par

exemple :

^{le moment} angu- laire total de

longueur

po ⁼

iP!

^{et les deux}

^{angles Z}

et 7) repérant

^{la direction de ce vecteur}

P).

^La

seule variable

qui

^n’est pas

intégrale première

^est

alors

l’angle 0

^{de rotation dans le}

plan

^{normal à la}

direction de P

(fig. 1).

La fonction propre

(18)

^{devient alors :}

Le calcul des

expressions

^Arc s. ^et Arc _s~ utili-

sant les relations

géométriques

^{existant entre}

^0., 0,

p

et ~,

~,

1>,

^{conduit à :}

D’où

l’expression

^{des fonctions propres :}

On a de

plus, d’après (21) :

Ainsi le nombre k

perd

^{son utilité et on obtient}

des fonctions _propres

proportionnelles

^{aux f onc-}

tions propres de

l’opérateur

^{de Liouville du rota-}

teur

plan (H

⁼

p~ j2I ; §n = (i l§/2)

^exp

(ino),

n

entier).

^{C’est un résultat}

auquel

^on

pouvait

s’attendre

puisque

le fait de se

fixer Z et -1

^revient

à considérer un rotateur en mouvement dans ^un

plan

^connu.

L’orthogonalité

des fonctions propres,

exprimées

^selon

(22),

résulte alors directement de ce

que le Jacobien de la transf ormation

ne

dépend

pas de

l’angle

^(D.

En effets

l’équation (7)

^s’écrit

alors,

^{dans le cas}

particulier

du rotateur, ^en utilisant la nouvelle

forme

(22) prise

par les fonctions

exprimées

^{à l’aide}

des variables

(0,

^po,

~, q) :

Cette relation constitue un

exemple particuliè-

rement

simple

^{de la}

propriété d’orthogonalité

^des

facteurs de

phase

des fonctions propres, ^sur la variété de

l’espace

^de

phase

^{où sont} constantes les

intégrales premières

^{du mouvement} naturel du

système.

Manuscrit _reçu le 15

juin

^1965.

BIBLIOGRAPHIE

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(I.), Non-equilibrium

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^53.