La relation étoile-triangle d'un modèle elliptique ZN

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Submitted on 1 Jan 1991

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La relation étoile-triangle d’un modèle elliptique ZN

M. Gaudin

To cite this version:

M. Gaudin. La relation étoile-triangle d’un modèle elliptique ZN. Journal de Physique I, EDP Sciences,

1991, 1 (3), pp.351-361. �10.1051/jp1:1991137�. �jpa-00246328�

J

Phys.

I 1

(1991)

351-361 MARs 1991, PAGE 351

Classification

PhysicsAbswttctg

05.20 oZ9o

La relation 4toile-triangle d'un mod41e elliptique ZN

M. Gaudin

Service de

Physique th6Orique(*)

de

Saclay,

F-91191 Gif-sur-Yvette

Cedex,

France

(Received

16

July

199f

ttccepted

20

November1990)

R£sum6. On donne _une preuve ^{de la} relation

6toile-triangle

_{pour une}

g6n6raliSation elliptique

du moddle de Fateev _et Zamolodchikov de

Sym6trie ZN.

Abstract. We

give

a

proof

Of the

Star~triangle

relation for _an

elliptic generalisation

of the Fateev and Zamolodchikov model with Symmetry

ZN.

Pour _un mod61e de faces

(IRF~

_en

mdcanique statistique

des rdseaux bidimensionnels

ii, _2]

l'6quivalent

de la rdation de

Yang-Baxter

cst la relation de

l'hexagone

entre les

poids

assoc16s _aux vertex, fonctions des variables des faces

adjacentes.

Cette relation temaire est traduite fid61ement par ^les sch6mas ci-dessous _et

s'exprime

ainsi:

~ _(ablU3lgc) (gclU2led) (ag lull fe)

+

ij (bclUilgd) (ablU2l fg) (fg lU3led).

V

a,b,c,d,e,f

E

ZN (1)

(*)

Laboratoire de l'lnstitut de Recherche Fondamentale du Commissariat I

l'Energie Atomique.

Chacun des trois

poids U«(a

₌

1, 2, 3)

cst fonction de

quatre

^variables sun

ZN.

a a

~ ^b u j

U~ U~

u U~

i

c U~ e C ~

d d

a a

~ U

f b f

~ ~l ^~

~3

c ~

c e

d

d

Faisons

l'hypoth6se

de factorisation des

poids Uo,

de sorte que ^{les variables} se

d6couplent

selon les deux

diagonales

d'un vertex. Nous posons, ^de

fawn asym6trique

(ab lU3lgc)

₌

W3(a,C) V3(g, b) (ablUilgc)

=

Wi(c,a) Vi(b,g) (2)

(ablU2lgc)

₌

W2(b,g) %(a,C),

de sorte

que

^{la rdation de}

l'hexagone (I)

se

d6compose

en deux rdations

6toile-triangle ittd6pen-

dantes

possddant

une invariance circulaire formelle

~ _V3(e, g)Vl(c,g)V2(a,g)

_#

W3(a,c)Wl(e,a)W2(c,e). (3)

~

L v3(g,b)vi(g, f)v2(g,d)

₌

W3(f,d)Wi(d,b)W2(b,f). (4)

g

oh

fit

_{est une} cottstante

(ind6pendante

des varhbles sun

ZN).

Los relations

(3)

et

(4)

se r6duisent I _unc

seule,

si _nous faisons

l'hypothdse

de

sym6trie

two(a,b) _((a,b)

⁼

^W«(b,a)

^~~~

=

((b,a)

Nous _nous

proposons

^{de trouver} une solution de la relation

6toile-triangle

du

type d'onsager (3), qu'on pouvait

d'aieurs

prendre

comme

poittt

de

d6part.

^{Nous I'£crirons} sous la forme

NW (ai a~a3)

₌ 4~

(ai a2a3) (6)

N°3

RELAJTON#TOILE~TWANGLE

₃₅₃

Soit

fifwl _(a2> a3) _{W2 (a3>}

_al

WI (al, a2)

_"

£

_VI

_{(al a)}

_V2

_(a21a)

_V3

_{(a3> a)} (7)

a

oh _nous

supposcrons

que ^les

arguments

a«, a varient _sun des ensembles

ZN

^translat6s _par des

paramdtres

ind6termittds _{u, u« E} C

a = lt+n

,

n E

ZN

(~)

au = lta+nu

, no E

ZN.

Dans _un

premier temps cependant,

nous relaxons la stricte

p£riodicit6

^N

qu'irnpliquent (8)

_pour

V et

W,

en la

rempla§ant

_{par une}

quasi-p6dodicit6,

c'est I dire que ^V

(a«,_

est

multipl16

_{par un}

facteur constant darts _une translation N.

( (an

₊

N, a)

₌

^e'~~~

Vn

(an, a) (9)

Nous

supposons que

^le

produit fl~ ( (an, a)

est eflectivemcnt de

p6riode

N _{en a,} afin que ^la

somme soit d6finic. Il sulfira ensuite d'eflectuer la transformation

V«

_-

~ _exp -An

_{an pour}

obtcnir _une solution _sun

ZN

,

ou

N~p6riodique

en an.

Dans cette

hypoth6se,

suivant _une m6thode de double r6currence

analogue

darts _son

principe

celle uti1is6e _en

(3)

et

(6),

mars

portant

sun des

objets difl6rents,

_nous allons montrer l'existence d'une solution

de(?),

telle

quc V,

^{W soicnt des fonctions}

paires

et

sym6triques

de lcurs

arguments,

ainsi d6finies

[2,

6]

Vi

(al, a)

₌

fl

_G

l~

⁺

⁽ⁱ

^{+ al + a}

⁽¹⁰⁾

~ 2

WI (a2, a3)

_"

il

_G

()

_{+ % + a2} +

3) (11)

~

ok

to,

_~o

d6signent

six

paramdtres suppldmentaires. ~ (Wa)

est un

produit

de 4 fonctions G _et

se

pr6sente

donc _{commc un}

produit

du

type g(a

+

b)g(a _b)

oh _g est

paire.

La fonction

m6romorphe G(z), qui

est une

g6n6ralisation elliptique

de la fonction Gamma

d'Eulcr,

est essentiellement d6finie par ^la r£currence

G(z

+

I)

₌

°i ()) _G(z)

=

°(z)G(z) (12)

ok

91(z jr)

est la fonction thdta

irnpaire

de

"pdriodes"

_x et xr. Los

prem16res propr16tds

de

G, appdde rr,N

en r6f6rence

[4],

sent lcs relatiotts fonctionnelles _:

G(z)G(i z)91(KzlNr)CN(r)

= 1,

(13)

G(z

+

N)G(I z)

₌

(14)

Nous introduisons maitenant les fonctions auxifiaires _sun

ZN

,

not6es

v et _w rdsultant de

l'applica~

lion de

l'op£ratcur

translation Y sun V et W

,

Y

f(a)

₌

f(a

+

1).

U(a, _b)

₌

~(j( ^~~~

=

U(-a, _b)

₌

U~~(a,-b i), (is)

W(a,b)

₌

~'(j( ^~~~

=

W(-a, _b). (16)

Ce sent des fonctiotts

paires

^{de leur}

premier _argumenL

Prettve de la relation

NW

= 4~.

L'id6e est de montrer que ^{tv et} 4~ ob6issent _am trois mdmes relations de r6currence

lo

_4~

= 0

sur

chaque paire

de

variables,

et sent donc

proportionnelles

si la

cyclicit6

^{entraine l'unicit6} de l'6tat "invariant" solution de

k«4l

= 0.

d'apr6s (10, II), (15)

et

(16),

nous avons

9

(a

^{+ al +}

⁽ⁱ

⁺

))

h

(al ^>fi

^{+ a +}

j)

~~

~~~'~~ ~

9

(a

^{+ al}

^fi

^{+ h}

(al, ^-fi

^{+ a +}

~~~~

2 2

w~ ~~~ ~~~

j

^°

²

^{+ ~3 + ~i +}

)

_h

^~3

~i + _~2 +

)~

,

ji~j

~ _~~ ~ _{~~ ~} ~

2

~ _{~~' ~} ~ _~~ ~

2

ok la fonction h de

p6riode

N dans _ses deux variables

est

paire

et

antisym6trique

c'est

l'analogue elliptique

de la forme

z~ y~.

Identitk.

Entre les fonctions

h,

il est facile de prouver ^{l'identit6 suivante} :

£ _{eie2h (a,}

_{al +}

_(i)

h

(a,

_a2 +

f2)

h

(al fi,

_a2

f2)

₊ 0

(20)

ei,e~

La somme sun les

signes

_{El e2,} "indus" dans

(1, f2, comprend

4 termes.

Apr6s

mise _en facteur de

la

quantit6

fl _{9((a)9( (al}

₊

_{fi 9( (a2}

₊

_f2)

ei e~

Il reste montrcr

£

El e2

(sn~

a

sn~ (al

+

fi )) (sn~

a

sn~ (a2

+

(2))

~~~~

(21) (sn~ (al (i sn~ (a2 f2))

₊

0,

ce

qu'on

v6riIie imm6diatement pour ^les coefficients de

sn4, sn~,

_et du _{terme constant.}

Nous 6tablissons maintenant trots rdations cntre les _vo

(a, ).

Posant par commodit6

a[

" au +

§>

(22)

N°3 RELAJTON

#TOILE~TWANGLE

355

nous avons

d'apr~s (17)

vi

(a, al)

_" h

(a,fi

+

a[) /h (a, -fi

+

a[) (23)

Divisant les

quatrc

termes de l'identit6

(20),

avec a~ -

al,

_par h

(a, -fi

+

a[)

.h

(a, -f2

+

a[),

nous obtenotts de

(20)

et

(23)

la relation cntrc vi et v2

R3(a)

= VI

(a, al)

_U2

la, _a2)

h

(a~ fl> _a~ f2)

+ h

(a~

+

fl>

_~~ +

f2)

(24)

~Ul

la,

_al h

(a~ fl _a~

+

f2)

_~2(~>

~2)

~

(~~

~

fl

_~~

f2)

" 0

Nous _avons ainsi trots identit6s

Ra(a)

₊ 0

(25)

Consid6rons alors la

quantit6

16 donnde

par

^{le second membre de}

(7). D'apr~s (25)

nous avons 6videmment

£ R3(a) Vi (al, a)

V2

(a2, a)

V3

(a3, a)

_% 0

(26)

a

et

d'aprds (15)

et

(24)

h

(a[ fi, a[ f~) £ _{Vi (ai}

_{+ ~,}

_{a) 16 (a2}

_{+ ~,}

_{a) I (a3, a)}

_{+ e 0}

₍₂₇₎

a

soit

1i34l

= 0

(28)

oh

k3 d6signe l'op6rateur agissant

_sun les fonctions de _{al, a2}

k31b

_e h

(a[ fi, a[ f2) YiY21b

~ ~

(~~

~

~l,

_~~ ~

f2)

_~b

(29)

-h(a[ -fi,a[+f2)Yilb-h(a[+fi,a[-f2)Y21b

La fonction 16

(ai a~a~)

^v6rifie donc les trots relatiotts de r6currence

kolb

= 0

,

a ₌ ~,

2,

3.

(30)

Les relatiotts r6currentes

(29),

ou les

op6rations k s'expriment

_sous une forme int6ressante _en introduisant la translation t telle

quc

tilb (al)

"16

(al

⁺ ₂ ^ou

^S

⁼

^{t$, (3~)}

posant

^16' = ii

t2t31b

₌ 16

(al

i

al al)>

k3

=

ii t2R3 (32)

la relation

(29)

^s'£ctit

R34l'e £ _{eie2h (al fi,}

a2

f2)t[~ t[~ ^lb'=

⁰

(33)

ei,e2

avec

l'exprcssion

des nouveaux

op6ratcurs

R3

₌

QiP2 Q2Pi

et circ.

(34)

ok

(Q«, Pa ddsignent

trots

couples d'op6rateurs

s'6crivant

d'aprds (19)

_:

loo

⁼

^{91(a~ t«) i~ ol (a«}

⁺

^{t~) iii} j~~~

~o

_{" 9~}

(~a ~o)

~° ~~

(~a

~

~°) ~a~

On

peut

noter incidemment que ce

"spineur",

_pour les valeurs du

param6tre (, (

+ une demi

p6riode, joue

un r61e dans la construction du '~vecteur"

S«,

base de

l'algdbre

de

Sklyanirt~) (une

deformation

elliptique

des

quatemions)

_en vertu de la formule

ho(z, y)

_{= e«}

~i(z)qo+i _~b(y) (a

₌

o,

~,

2, 3)

aVeC

~i(Y)

lb(Y)

"

~((Y)~

i16 "

~~'21b>

fu #

(~, ~,i, ~),

f«qo+i =

fl, j _{(ik«~ «3),} j

(I«~ k«3), 1)

pour

^k =

0,

_q se r6duit h

q~ =

ii,

_{-«3, «2,}

al)

L'indice de

reprdsentation

de

l'alg6bre So,

_{v =} I +

j,

est donn6 par

2f

_{= v,} modu?o _une

p6riode.

Prettve de

ktv

= 0.

Ayant

6tabli les r£currences

(30), k4l

=

0,

_nous montrons que ^le

premier

membre de

(7)

v6rifie ces mdmes

r6currences,

c'est 3 dire

kit

= 0.

(36

D'apr~s

la d6finition

(16)

nous avons

~~

_{'°2 ~~3>}

~l~'°3 ~~2'~l~'~

j~2~i _# WI ~~3>~2~ W3 ~~l<

~2~.~i (~~)

YiY2il

_{= w3}

(a2

+

1, al)

_w3

(aia2)

_w2

(a3ai)

_wi

(a3, a2)

iV

(38)

Utilisant les

expressions (18)

des _w

nous avons

W3

(a2

+

1,

_{ai w3}

(aia~)

+ q2

(ai

+

a~)

+

fl

^~

~

~

~

_{~ ~~ ~}

j

(40)

+ 9

aj+aj-~3+-

2

N°3

RELAJTON#TOILE-TWANGLE

357

L'6galit6

3

prouvcr (36),

s'6crit donc

d'apr6s (29), (37-38)

et

(40)

i~

(al

+ a2 W2

(a3al

_WI

(a3a2)

h

(a~ fl, _a~ f2

+ ~ (~~ ^~

fl

_~~ ~

f2

~W3

(a2<

al W2

(a3<

al h

(a~ fl, _a~

+

f2) (~~)

-w3

(al, a2)

_wi

(a3, a2)

h

(a[

+

fi, al f2)

_" 0.

ou,

apr~s

substitution des

expressions (39)

_{pour les} w

~2

(al

+

a2)

h

(a3, a[

₊

_~2)

h

(a3, al

_{+ ~i} h

(a[ fi, al f2)

+ h

(a3, _a~ ~2)

^h

(a3 a~

~l h

(a~

~

~l, a~

~ ~2

~~)

~W3

(a2,

_al h

(a3> a~

^~

~2)

^h

(a3 a~

_~l ^h

(~~ fl,

_~~ ~

f2

-w3

(ai, a2)

h

(a3, a[ _~2)

h

(a3, al

_{+ ~i} h

(al

+

fi, al _f2

" 0.

Or

l'6galit6 (42)

coincidera _avec l'identit6

(20)

£

_{El e2} h

(a3, a[

+

~2)

^h

(a3, al

_{+ ~i} h

(a[

_~2,

al

_{~i +}

0, (43

s'il existe _une fonction C

(al,

_a2 telle que l'on ail la

proportion

~2

(al

+

a2)

h

(a[ fi, al f2)

_" C-h

(a[

_~2,

al ~i)

~

(~~

~

fl

_~~ ~ ~2 " C.h

(~~

~ ~2, ~~ ~ ~l ~

~)

w3

(a2,

_al h

(a[ (i, a[

₊

(2)

_" C-h

(a[

_~2,

al

_{+ ~i}

w3

(al, a2)

h

(a[

+

fi, a[ f2)

" C-h

(a[

_{+ ~2,}

a[

_~i

On obtient de

(44-2)

9

(a[

+

al

+

fi

+

f2

(45)

~l~~~~~

9

(a[

+

a[

+ _~i +

~21'

3 condition de choisir la relation

fl

_{+ ~l}

"

f2

+ _~2.

(~~)

On obtient ensuite de

(44-1)

qui

c

de ~2onnde

(40), tion

de

~~ ~

~

~

~~

~ ~~ _~ ~3 ~

f«

_{+ ~o}

=

Eta

= ~

£

~« =

).

^~~~~

« o

Il restc enfin I v6rifier que ^les relations

(44-3)

et

(44-4)

sont coh6rentes _avec

l'cxpression (39)

des w3,

compte

^{tenu des conditions}

(49).

Nous avons donc d6montr6 que, ^{si les trois}

param~tres f«

sont lids par ^la relation

~ f~

₌ ~, dans

l'hypoth6se

_que le

produit fl~

V

(an,

_a soit de

p6riode

N _{en a,} les fonctions 4l et lV ob6issent

au mEme

sysdme

de double r6currence

(30), (36).

Los

poids

V et

W,

formules

(10)

et

(11), correspondent

auk fonctions _v et _w donn6es par h

la, ^fi

^{+ al +}

~ ~~ ~

2

l 1

h _a,

-fi

+ _al +

(50)

2

~ ~~ ~

h

(a3,

_a2

fi

+ ~)

~' ~ h

(a3,

_a2 +

fi

Que

reste~t~il

prouver pour

^condure

que

^{4l est}

proportionnclle

lV ?

(relation (6)).

Il est dair que, ^{si 4l et iV} ob6issent _aux mdmes

recurrences,

il _en sera de mdme pour ^{les fonctions} 4lA _et iVA modifi6es par ^le mdme facteur

exponentiel

4l~ (aia2a3)

_"

e~(~i~i+~2~?+~3°314l (aia2a3) (5~) Supposons

_que ^les constantes

A~

et les

param6tres

_{ua, u}

puissent

due choisis de sorte que

4l~

soit de

p6riode

N dans

chaquc

variable _a~. Alors les nob

op6ratcurs

de r6currence modifids sent

reprdsent6s _par

des matrices

finies,

de dimension N _x N _x ~. L'unicitd du _vectcur

propre

commun

4l~,

relatif la valeur

propre z6ro,

_{ou encore} la

non-d6g6n6rescence

de cette valeur

propre, 6quivaut

l'existence d'un seul "invariant" _ou stat dent le moment

d6form6,

R

=

Q

A

P,

est nul

[7j.

La

compatibilit6

des 3 conditions _est assur6e par ^{les relations de} commutation issues de

(34)

et

(35)

_:

~Ri R2]

₌

[Q3, P3] R3

et circ.

(52)

Dans cette seule

hypothdsc, qui

est

probablement

^v6rifide en

position g6n6rale

des

param6tres,

il sulfit

d'imposer quatre

^conditions

cydiques ZN,

_{pour prouver} la relation

(7),

^ok

^fit

est

ind6pen-

dant des _{n, n~.}

Conditions

cycliqttes.

La

premidre

est la condition sun le sommand de 4l :

fl~

V~

(a~, a)

₌

N-p£riodique

_{en a.}

Or,

nous avotts

~

j~j~ ~ll~

= vi

jai,

_a +

n) (53)

1>

n=o

et, en vertu des formules

(13)

et

(14),

V

jai,

_a +

N)

~

~

^°~

~' ("

^~ "~ ~ ~~ ~

2

~~j

~ ~~~ ~~

j~~~

+ 91

l~ _Iv

^{+ vi}

^<i

⁺

l

Nrl

La

premi~re

^condition

cydique

s'6crit donc

3

9N (u

^{+ no +}

^fa

⁺

RR

=

155)

o=1+

9N u+u«-fo+j)

N°3 RELAJTON

#TOILE-TWANGLE

₃₅₉

off l'on _a

adopts

la notation

rapide 9N(u)

₌

91(Ku (NT).

Reste

expdrner _que

e~~W~WV

(a~, a)

est de

p6riode

N _{en a~, ou} autrement

dir, _que

les fonc- tions 4l et iV ant les mdmes

multiplicateurs

dans les trattslatiotts N. Ce

qui

nous donne les trois

conditions

cydiques supp16mcntaires

:

fl ^{~N (Ul}

^{+ U2}

^{f3) 9N (Ul}

^{+ U3}

^f2)

~

fl ^~~

~~

~ _~ ~ ~~ ~

~

~NAI ($6)

~

~~

_~~~ ~ _~~ ~ ~~~

~~

_{~~~ ~ ~~ ~~~~}

~

~'~ ~~

~ _~ ~~ ~

lblles sent les

quatre

^relations entre les 4

param~tres

_{no, n,} les

fa

6tant donn6s. On

peut

encore

dcrire _ces conditions de

sym6trie ZN

_sous la forme

hN (u

⁺

^(«

⁺ ,

u«I

fl ⁱ

" 1.

(57)

«

hN (-u

⁺

^(~

⁺ 2-,

uo)

ii _{iii ii iii ii}

iii ii iii Ii

ii _i , I

158~

avec la d6finition

hN(z,

_{Y) =}

°i(KzlNr)°i(KYINr) ₍₅₉₎

=

9j(xziNr)9j(xyiNr) _{jsn2 (21<Nz kN)} sn~ (21<NY kN )i

_x

kN

Elles admettent des solutions 6vidcntes _{comme no}

= u = 0 et no = u =

),

mais il _en existe

probablement

d'autres

qu'on

doit

pouvoir

suivre par ^continuit6

partir

de l'une _ou l'autre limite circulaire.

Limite circttlaire.

Los relations limites

(q

_-

0,

r - cc, 91 -~ sin

Ku)

nous donnent

fl(cos

2x

(u

+

to)

+ cos

2xu«)

=

(u

_-

-u).

«

~°~~

(cos

2x

(ui f3)

_cos

2xu2) (cos

2x

(ui f2)

_cos

2xu3)

_x

(60)

x

(cos

2x

(ui fi

+ cos

2xu)

₌

(ui

- -ui

et circ.

En dehors des deux solutions

ho16es,

_{uo = u =} 0

(ou ),

mcntionn6es

plus haut,

_{nous avons}

obtenu, apr~s

un calcul _un peu

long,

la

param~trisation

suivante des 4 conditions

cydiques

cos

2xuo.cos 2xf«

_{= p} cos 2xu

(6~)

p(2p

+

~)

cos

~2xu

=

flcos _2xfo.

2

~

(62)

~

~

cos 2xu

=

flcos _2xu«.

2P

+

~

oh,

les

to

slant donn6s avec

~ to

₌ ~, _p et u« restent fonctions du

param6tre

_u. On

peut

encore

£ctire les relations

(61)

_sons la forme

sin

~x (uo

+

f«)

₊ sin

~x (u« f«) 2p

sin

~xu

= I p.

(63)

La constante

An (u«, u)

est donn6e par

l'cxpression

th ₂

NAa)

^{= ~}

^{tg 2xuo tg}

^2x

^{to. (64)}

P +

de sorte que ^le

poids V~, N-p6riodique

darts les deux

arguments,

est

V~ (a«, a)

₌

e~~WA«("W>"I-°AW(">"«lV (an, a) (65)

On a

~~ A« (u,

_{uo =} 0 _en vertu de

(55).

ll serait utile d'examiner

proprement

^{les divers} cas limites et la

correspondance

avec les _mo- d6les _connus.

Signalons

la limite

Im _{u =} Im _u~

= -cc, p -

~

(66)

lim

u~

u

-)

₌ v«

2

e2~;(u~+j~j

_~

~2~i(u~-j«1

=

(67)

,

qui

est la "courbc de Fermat" d'un _cas self-dual

[2, 4, 8, 10].

^la

g6n6ralisation elliptique

de

(61)

ou

(63) _pour param6triscr

lcs conditions

cydiques (56)

^n'cst

_pas

dvidente. Pour _p

=

I, eNA

₌

I,

la

gdn6ralisation

de

(63)

serait

sn~

_21<

(ua

⁺

^f«

⁺ ₂ ⁺

^sn~

^21<

(u« ^f~

⁺ ₂ ^{= 2}

^sn~

^21<u

⁽⁶⁸⁾

avec la notation

kN sn~ in kN)

"

(9)/9() (~

(NT)

^ce

qui correspond l'dquation

5.17 _en 2

ref6rence

(4),

si l'on idcntifie les

paramdtres

2u du

pr6sent

travail avec

(u/2(), ((N

= Ii

),

^du

pr6cddent

_;

(vi /2()

et

(u-1/2() correspondant

I

2(u

₊

f)

et

2(u f),

mars rien n'est encore

v6r1fi6 _ce

sujeL

Le lien entre les

poids

ici construits et

l'interchangeur

A construit _en

(10)

selon la m6thode de Bazhanov _[9] reste aussi I

pr£ciser.

N°3

RELAJTON#TOILE-TWANGLE

₃₆₁

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Cet article a 6t6

imprim6

avec le Macro

Package

"Editions de

Physique

Avril 1990".