Reconnaissance Fractionn´ee de Droites et Plans Discrets

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Reconnaissance Fractionn´ ee de Droites et Plans Discrets

Thomas Fernique

Laboratoire d’Informatique Fondamentale CNRS & Univ. Aix-Marseille

EJCIM Chamb´ery, 29 mars 2010

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Introduction

Reconnaissance de droites ou plans discrets : étape élémentaire du processus devectorisationd’un objet acquis numériquement.

d’une droite ou d’un plan contenant un objet discret (points). Plusieurs approches (r´ef. [1] des notes de cours).

(3)

Introduction

Principe: d´eterminer les/des param`etres (pente, vecteur normal) d’une droite ou d’un plan contenant un objet discret (points).

Plusieurs approches (r´ef. [1] des notes de cours).

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Principe: d´eterminer les/des param`etres (pente, vecteur normal) d’une droite ou d’un plan contenant un objet discret (points).

Plusieurs approches (r´ef. [1] des notes de cours).

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Introduction

On peut distinguer deux types d’approches : Enprofondeur d’abord :

D´eterminer totalementles param`etres d’une partiede l’objet.

Enlargeur d’abord :

Déterminer partiellement les paramètres de latotalité de l’objet.

Reconnaissance fractionn´ee: en largeur d’abord.

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On peut distinguer deux types d’approches : Enprofondeur d’abord :

D´eterminer totalementles param`etres d’une partiede l’objet.

Enlargeur d’abord :

Déterminer partiellement les paramètres de latotalité de l’objet.

Reconnaissance fractionn´ee: en largeur d’abord.

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Courbes et droites Substitutions Fractions continues Reconnaissance (I) Reconnaissance (II)

Le cas des droites

1 Courbes et droites en escalier

2 Substitutions sturmiennes

3 D´eveloppement en fraction continue

4 Reconnaissance fractionn´ee (I)

5 Reconnaissance fractionn´ee (II)

(8)

Le cas des droites

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D´ efinitions de base

Mot : s´equence de lettres dans l’alphabet{1,2, . . .}.

Un mot peut ˆetre

fini de longueur |u|=p :u= (u_i)1≤i≤p=u₁u₂· · ·u_p; infini : u = (u_i)_i∈N=u0u1· · · ;

biinfini : u= (ui)i∈Z =· · ·u−1.u0u1· · ·.

Sous-s´equence v deu index´ee par un intervalle : facteur vu On note|u|_j le nb. d’occurences dej dans un mot finiu.

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Rel` evement d’un mot (informel)

Rel`evement du motu =1211212112 :

(11)

Rel` evement d’un mot (informel)

Rel`evement du motu = 1211212112 :

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Rel` evement d’un mot (informel)

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Rel` evement d’un mot (informel)

(14)

Rel` evement d’un mot (formel)

Soit (~e₁, . . . , ~e_d) la base canonique deR^d.

~x∈Z^d et 1≤i ≤d ; (~x,i),segment reliant~x `a~x+~e_i.

Z-module G: sommes formelles de segments, `a coefficients dansZ.

Rel`evementγ(u)∈Gd’un mot u surd lettres : γ(u₁· · ·u_p) =

p

X

i=1

(~f(u₁· · ·u_i−1),u_i), o`u~f(u) = (|u|₁, . . . ,|u|_d)∈Z^d.

(15)

Courbe et droite en escalier

Courbe en escalier : rel`evement d’un mot biinfini sur deux lettres.

Soit~α∈[0,1]²\{~0} (irrationnel ou non).

D´efinition (Droite en escalier D_~_α)

D_~_α est la courbe en escalier incluse dans la “bande”R~α+ [0,1[².

α

D_(1,α) : rel`evement du mot sturmienuα de pente α et intercept 0.

(16)

Le cas des droites

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Substitution

Substitution: morphisme non-effa¸cant du mono¨ıde des mots,i.e., l’image d’une lettre est un mot non vide ;

l’image d’une concat´enation est la concat´enation des images.

Exemple (substitution de Fibonacci) : σ :

1 → 12

2 → 1 ; σ(121) =σ(1)σ(2)σ(1) = 12112.

S’´etend naturellement aux mots infinis ou biinfinis.

(18)

Rel` evement d’une substitution

Rel`evementE1(σ) d’une substitutionσ : endomorphisme de Gt.q.

E₁(σ)◦γ =γ◦σ.

E₁(σ) agit sur le relev´e d’un mot comme σ agit sur ce mˆeme mot.

E₁(σ)(~x,i) = X

j|σ(i)=p·j·s

(M_σ~x+~f(p),j), o`u (Mσ)i,j :=|σ(i)|_j est la matrice d’incidencedeσ.

Exemple:σ(1) = 12,σ(2) = 1.

(19)

Rel` evement d’une substitution

E₁(σ)◦γ =γ◦σ.

On calcule :

E₁(σ)(~x,i) = X

j|σ(i)=p·j·s

(M_σ~x+~f(p),j), o`u (Mσ)i,j :=|σ(i)|_j est la matrice d’incidencede σ.

Exemple:σ(1) = 12,σ(2) = 1.

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Rel` evement d’une substitution

E₁(σ)◦γ =γ◦σ.

On calcule :

E₁(σ)(~x,i) = X

j|σ(i)=p·j·s

(M_σ~x+~f(p),j), o`u (Mσ)i,j :=|σ(i)|_j est la matrice d’incidencede σ.

Exemple:σ(1) = 12,σ(2) = 1.

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Substitution sturmienne

Substitutionsturmienne: envoie les sturmiens sur des sturmiens.

Théorème (Berstel-Séébold 1993

Une substitution est sturmienne ssi c’est une composition de : E :

1 7→ 2

2 7→ 1 , φ:

1 7→ 12

2 7→ 1 , φ⁰ :

1 7→ 21 2 7→ 1 En particulier,σ sturmienne⇒ M_σ unimodulaire.

(22)

Action sur les droites discr` etes

Proposition

Siσ une substitution sturmienne, alors E1(σ)(D_~_α) =D_M_σ_~_α.

En terme de mots sturmiens : si^t(1, β)∝M_σ ^t(1, α), alors σ(u_α) =u_β.

~f(σ(u)) =M_σ~f(u).

; Interprétation géométrique de l’action deM_σ sur [0,1[².

(23)

Action sur les droites discr` etes

Proposition

Preuve : raisonner sur les fr´equences de chaque lettre en remarquant :

~f(σ(u)) =M_σ~f(u).

(24)

Action sur les droites discr` etes

Proposition

Preuve : raisonner sur les fr´equences de chaque lettre en remarquant :

~f(σ(u)) =M_σ~f(u).

(25)

Le cas des droites

(26)

Approximabilit´ e

On veut approcherrapidementun r´eel par une suite de rationnels.

D´efinition (R´eelδ-approchable)

Un r´eel α est dit δ-approchable,δ∈R, s’il existeCα t.q.

#

(p,q)∈Z×N^∗ t.q.

α−p q

< Cα

q^d

= +∞

α−bqαe q

≤ 1 2q.

Tout rationnel ^p_q est infiniment approchable (par (kp,kq), k ≥1).

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Approximabilit´ e

On veut approcherrapidementun r´eel par une suite de rationnels.

D´efinition (R´eelδ-approchable)

Un r´eel α est dit δ-approchable,δ∈R, s’il existeCα t.q.

#

(p,q)∈Z×N^∗ t.q.

α−p q

< Cα

q^d

= +∞

Tout r´eel est 1-approchable. En effet, pour toutq :

α− bqαe q

≤ 1 2q.

Tout rationnel ^p_q est infiniment approchable (par (kp,kq), k ≥1).

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Borne inf´ erieure

Théorème (Dirichlet) Tout réel est 2-approchable.

on partage [0,1[ enQ tiroirs (intervalles) de taille 1/Q; on y range lesQ+ 1 chaussettes{qα},q= 0, . . . ,Q. Il y a donc deux chaussettes{q₁α} et{q₂α}dans le mˆeme tiroir :

|{q1α} − {q2α}| ≤ 1

Q ; |(q1−q2)α−p| ≤ 1

Q ; |α−p q| ≤ 1

qQ ≤ 1 q². Si nb. fini de ^p_qⁱ

i convenant : contradiction pour _Q¹ <min|qiα−pi|. Remarque: ne marche pas pour toutq (ex :α = _2q¹ ).

(29)

Borne inf´ erieure

Principe de Dirichlet (pigeonhole principle) :

on partage [0,1[ enQ tiroirs (intervalles) de taille 1/Q; on y range lesQ+ 1 chaussettes{qα},q= 0, . . . ,Q.

Il y a donc deux chaussettes{q₁α} et{q₂α}dans le mˆeme tiroir :

|{q1α} − {q2α}| ≤ 1

Q ; |(q1−q2)α−p| ≤ 1

Q ; |α−p q| ≤ 1

i convenant : contradiction pour _Q¹ <min|qiα−pi|. Remarque: ne marche pas pour toutq (ex :α = _2q¹ ).

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Borne inf´ erieure

|{q1α} − {q2α}| ≤ 1

Q ; |(q1−q2)α−p| ≤ 1

Q ; |α−p q| ≤ 1

qQ ≤ 1 q².

Remarque: ne marche pas pour toutq (ex :α = _2q¹ ).

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Borne inf´ erieure

|{q1α} − {q2α}| ≤ 1

Q ; |(q1−q2)α−p| ≤ 1

Q ; |α−p q| ≤ 1

i convenant : contradiction pour _Q¹ <min|qiα−pi|.

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Borne inf´ erieure

|{q1α} − {q2α}| ≤ 1

Q ; |(q1−q2)α−p| ≤ 1

Q ; |α−p q| ≤ 1

i convenant : contradiction pour _Q¹ <min|qiα−pi|.

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Borne sup´ erieure

Nb. algébrique: racine d’un polynôme à coefficients entiers.

Degré d’un algébrique α : degré de son polynôme minimalP_α. Théorème (Liouville)

Un alg´ebrique de degr´ed ≥2 est au plus d-approchable.

Soit (p,q)∈Z×N^∗. On a :|Pα(p/q)| ≥1/q^d. Soit [a,b]⊃ {α,^p_q} etM= sup

[a,b]

|P_α⁰|. Th. des accroissements finis :

∃x ∈]a,b[ t.q. P_α⁰(x) =Pα(p/q)−Pα(α) p/q−α

; p q −α

=|Pα(p/q)−Pα(α)|

|P_α⁰(x)| =|Pα(p/q)|

|P_α⁰(x)| ≥ 1 Mq^d.

Remarque: le nb. d’or ¹⁺

√5

2 a la pire constante d’approximation.

(34)

Borne sup´ erieure

Soit (p,q)∈Z×N^∗. On a :|Pα(p/q)| ≥1/q^d.

[a,b]

; p q −α

|P_α⁰(x)| =|Pα(p/q)|

|P_α⁰(x)| ≥ 1 Mq^d.

√5

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Borne sup´ erieure

[a,b]

; p q −α

|P_α⁰(x)| =|Pα(p/q)|

|P_α⁰(x)| ≥ 1 Mq^d.

√5

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Borne sup´ erieure

[a,b]

; p q −α

|P_α⁰(x)| =|Pα(p/q)|

|P_α⁰(x)| ≥ 1 Mq^d.

Remarque: le nb. d’or ₂ a la pire constante d’approximation.

(37)

Borne sup´ erieure

[a,b]

; p q −α

|P_α⁰(x)| =|Pα(p/q)|

|P_α⁰(x)| ≥ 1 Mq^d.

√5

(38)

D´ eveloppement en fraction continue

Application de GaussT de ]0,1] dans [0,1] : T(α) = 1

α − 1

α

.

En posantan+1:=

j 1 Tⁿ(α)

k

, on peut ´ecrire :

α= 1

a₁+T(α)= 1 a1+ 1

a₂+T²(α)

=. . .

D´efinition (D´eveloppement en fraction continue)

La suite (an)n≥1 est le d´eveloppement en fraction continuede α.

(39)

Approximation

Len^`^eme convergent ^p_qⁿ

n = [a1, . . . ,an] deα est d´efini par [a1] = 1

a1

et [a1, . . . ,an] = 1

a1+ [a2, . . . ,an] Th´eor`eme (2-approximation)

∀n,

α−p_n q_n

≤ 1 q²_n.

Cette approximation est quasi-optimale car on montre :

α−p q

≤ 1

2q² ⇒ ∃n t.q. p q = pn

q_n.

(40)

Approximation

Len^`^eme convergent ^p_qⁿ

n = [a1, . . . ,an] deα est d´efini par [a1] = 1

a1

et [a1, . . . ,an] = 1

a1+ [a2, . . . ,an] Th´eor`eme (2-approximation)

∀n,

α−p_n q_n

≤ 1 q²_n.

Cette approximation est quasi-optimale car on montre :

α−p q

≤ 1

2q² ⇒ ∃n t.q. p q = pn

q_n.

(41)

Finitude et p´ eriodicit´ e

On peut aussi montrer : Th´eor`eme

Le d´eveloppement en fraction continu d’un r´eel α est : fini ssi α est rationnel

p´eriodique ssiα est quadratique r´eduit (Galois)

ultimement p´eriodique ssi α est quadratique (Lagrange).

Cas d´elicats : r´eciproques des points 2 et 3. Dans la suite : essentiellement point 1 (trivial).

(42)

Finitude et p´ eriodicit´ e

On peut aussi montrer : Th´eor`eme

Le d´eveloppement en fraction continu d’un r´eel α est : fini ssi α est rationnel

p´eriodique ssiα est quadratique r´eduit (Galois)

ultimement p´eriodique ssi α est quadratique (Lagrange).

Cas d´elicats : r´eciproques des points 2 et 3.

Dans la suite : essentiellement point 1 (trivial).

(43)

Formulation matricielle

Rappel :

T(α) = 1 α −

1 α

= 1 α −a₁. Matriciellement :

1 α

=

a₁ 1 1 0

1 T(α)

.

On introduit, pour la suite, la matrice unimodulaire Ba:=

a 1 1 0

.

(44)

Le cas des droites

(45)

Interpr´ eter un d´ eveloppement sur une droite

Introduisons, poura≥1, la substitution β_a :

1 7→ 1^a2 2 7→ 1

On aM_β_a =Ba. On v´erifieβa = (φ◦E)^a◦φ; sturmienne.

La carac. de l’action des substitutions sturmiennes assure donc : uα=βa1(u_T(α)) =βa1◦βa2(u_T²_(α)) =. . . .

(46)

Interpr´ eter un d´ eveloppement sur une droite

Introduisons, poura≥1, la substitution β_a :

1 7→ 1^a2 2 7→ 1

On aM_β_a =Ba. On v´erifieβa = (φ◦E)^a◦φ; sturmienne.

La carac. de l’action des substitutions sturmiennes assure donc : uα=βa1(u_T(α)) =βa1◦βa2(u_T²_(α)) =. . . .

(47)

D´ evelopper une droite

Peut-on calculer le développement deα directement suru_α? On a besoin de “lire”, à chaque étape, l’information partiellean. Définition (Palier)

i-palier de longueurk d’un mot : facteur i^k, aveck maximal.

u_2/7=. . .211112111211112111211112111211112111211112. . .

Proposition

Les 1-paliers du mot sturmienuα ont pour longueur₁

α

et ₁

α

.

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D´ evelopper une droite

u_2/7=. . .211112111211112111211112111211112111211112. . .

α

et ₁

α

.

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D´ evelopper une droite

u_2/7=. . .211112111211112111211112111211112111211112. . .

Proposition

α

et ₁

α

.

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D´ evelopper une droite

u_2/7=. . .211112111211112111211112111211112111211112. . .

α

et ₁

α

.

(51)

D´ evelopper une droite

u_2/7=. . .211112111211112111211112111211112111211112. . .

Proposition

α

et ₁

α

.

(52)

D´ evelopper une droite

D’o`u le calcul du d´eveloppement deα directement suruα :

1 Lirea₁ =b_α¹c sur u_α (longueur du plus petit 1-palier).

uα =. . . βa1(v−1)βa1(v0)βa1(v1). . .=βa1(u_T(α)).

3 Itérer le procédé suru_T(α) pour obtenir a₂, puis a₃ etc.

4 Cas d’arrˆet ´eventuels : pas de 1-palier fini :

u0=. . .1111111. . . et u₀⁺ =. . .1112111. . .