∑∑ ∈===≤ Xxmi(x) h,m,i(xfxf ,,1010) àSujet )(Min LL Partant des conditions de K-K-T pour le problème

IFT 3512

Devoir 4 À remettre le 21 mars 2007 _______________________________________________________________________

1. Utiliser le Théorème 4.1 pour résoudre le problème suivant 1

à Sujet

Min ^{2 2}

−

= + +

y x

y x

2. Utiliser les conditions d’optimalité de K-K-T pour résoudre les problèmes suivants

a)

1

à Sujet

) 2 (

Min ^{2 2 2}

≥ + +

+ + +

z y x

xy z

y x

b)

. 0 , 0

2

à Sujet

) 6 2 2 2 (6

Min ^{2 2}

≥

≥

≤ +

− +

− +

y x

y x

x y xy x

3. Considérer le problème suivant (P1)

, , 1 0

1 0

) à Sujet

) ( Min

2 1

X x

m i

(x) h

,m , i (x

f x f

i i

∈

=

=

=

≤

L L

Partant des conditions de K-K-T pour le problème 1 0

) à Sujet

) ( Min

X x

,m , i (x

f x f

i

∈

=

≤ L

dériver celles pour le problème (P1) qui s’écrivent comme suit :

.

, , 1 0

) (

, , 1 0

) (

0 0 ) (

0 ) ( )

( )

(

2 1 1 1

2 1

X x

m i

x h

m i

x f

x f

x h x

f x

f

i i i

i i

m

i

i i i

m

i i

∈

=

=

⎪ =

⎭

⎪⎬

⎫

≤

≥

=

=

∇ +

∇ +

∇

∑ ∑

=

=

L λ L

λ

μ λ

4. Procéder comme en 3. pour dériver les conditions de K-K-T pour le problème

0

, , 1 0

) ( à Sujet

) ( Min

≥

=

≤ x

m i

x f

x f

i L

qui s’écrivent comme suit

. 0

, , 1 0

, , 1 0

) (

, , 1 0

) (

, , 1 0

) ( )

(

0 ) ( )

(

1 1

≥

=

≥

=

≤

=

=

=

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡∇ + ∇

≥

∇ +

∇

∑

∑

=

=

x

m i

m i

x f

m i

x f

n j

x f x

f x

x f x

f

i i i i

j i m

i i j

i m

i i

L L L L

π π

π π

5. Soit le problème

0

à Sujet

) ( Min

≥

≥ x

b Ax

x f

où et convexe sur . Démontrer que si x* est une solution optimale du problème de programmation linéaire suivant

C1

f ∈ Rⁿ

, 0

à Sujet

*) ( Min

^T

≥

≥

∇ x

b Ax

x x f

alors x* est une solution optimale du problème original.

(Note : lorsque les contraintes sont linéaires, alors les restrictions sur les fonctions de contraintes sont satisfaites en tout point ~ où

R x∈δ

{

}

~= x∈R Ax≥b x≥

R ⁿ .)