1Constructiond’AFD TD1–Langages,AFDetAFN

Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2019-2020

26 septembre 2019 NathanGrosshans

TD 1 – Langages, AFD et AFN

1 Construction d’AFD

Exercice 1.Pour chacun des langages suivants, donner un automate fini déterministe (AFD) le re- connaissant.

1. Les mots sur l’alphabet {a, b}contenant le facteur aab ou aaab.

2. Les mots sur l’alphabet {a, b}contenant un nombre pair de aet impair de b.

3. Les mots sur l’alphabet {a}de longueur multiple de3.

4. Pour chaqued∈Nles mots sur l’alphabet{a} de longueur multiple ded.

5. Les représentations binaires d’entiers pairs. Ici entier est entendu au sens positif et les nombres sont donnés dans l’ordre gros-boutiste (c’est-à-dire l’ordre normal de lecture des nombres : 1 puis 0puis 1 puis0 puis1 puis 0c’est le nombre binaire 101010 soit42 en décimal).

6. Pour chaqued∈N, les représentations binaires des entiers multiples ded.

7. Pour chaque(d, c)∈N², les représentations binaires des entiers de la formec+k·dpourk∈N.

Solution 1.

1. On construit l’automate suivant :

start 1 2 3 4

a b

a b

a b

a, b

. 2. On construit l’automate suivant :

start 1 2

3 4

a

b

a a b b

a

b

.

3. On construit l’automate suivant : start 0

1 2

a a a

.

4. On distingue trois cas :

1

— d= 0 :

start 1 a 2

a

.

— d= 1 :

start 1

a

.

— d≥2 :

(Q,{a}, δ, q₀,{q₀})avec Q={q₀, . . . , qd−1} etδ(q_i, a) =q_{(i+1) modd} pour tousi∈[[0, d−1]]

eta∈Σ.

5. On construit l’automate suivant :

start 1 0 2 3

1 0

1

0 1

. 6. On distingue trois cas :

— d= 0 :

start 1 0 2 3

1 0

1 0,1

.

— d= 1 :

start 1 0,1 2

0,1

.

— d≥2 :

(Q,{0,1}, δ, s,{q₀}) avec Q={s, q₀, . . . , qd−1}etδ:Q×Σ→Q telle que :

— δ(s, b) =q_b pour tous b∈ {0,1};

— δ(q_i, b) =q_{(2i+b) modd} pour tousi∈[[0, d−1]]etb∈ {0,1}. 7. On distingue deux cas :

— d= 0 :

(Q,{0,1}, δ, s,{q_c}) avec Q={s, q₀, . . . , qc, qc+1} etδ:Q×Σ→Qtelle que :

— δ(s, b) =q_b pour tout b∈ {0,1};

— δ(q_i, b) =

(q_2i+b si2i+b≤c

q_c+1 sinon pour tousi∈[[0, d−1]]etb∈ {0,1}. 2

— d≥1 :

(Q,{0,1}, δ, s,{q_{c,c modd}}) avec Q = {s} ∪ {q_t,r | (t, r) ∈ {0, . . . , c} × {0, . . . , d−1}} et δ:Q×Σ→Q telle que :

— δ(s, b) =

(qb,b modd sic≥1

q_{c,b modd} sinon pour toutb∈ {0,1};

— δ(qt,r, b) =

(q2t+b,(2r+b) modd si 2t+b≤c

q_{c,(2r+b) modd} sinon pour tous(t, r)∈ {0, . . . , c} × {0, . . . , d−1}

etb∈ {0,1}.

2 Puzzles

Exercice 2.Pour tout alphabetΣ, donner l’ensemble des mots (x, y)∈(Σ^∗)² tels que xy=yx.

Solution 2.Il s’agit de l’ensemble de toutes les paires de mots(x, y)∈(Σ^∗)²telles qu’il existeu∈Σ^∗ eti, j∈Ntels que x=uⁱ ety=u^j.

La démonstration se fait par récurrence sur |xy|, en observant que soitx =ε ou y=ε, soit, sans perte de généralité, |x| ≥ |y| et on peut montrer qu’alors x = yz avec z ∈ Σ^∗, ce qui implique que zy =yz avec |zy|<|xy|.

Exercice 3.Expliciter la forme des langages rationnels unaires (c’est-à-dire, sur un alphabet à une lettre).

Solution 3.SiΣ = {a} est l’alphabet, ce sont les langages qui sont des unions finies, pourk∈Net p ∈ N>0 fixés, de langages de la forme {aⁱ} pour i∈ N, i < k et{a^j |j ∈ N, j ≥k∧j ≡r modp}

pour r∈[[0, p−1]].

3 Rationalité

Exercice 4.Étant donné un langage rationnelLsur un alphabetΣ, prouver que les langages suivants sont rationnels.

1. Init(L) ={u∈Σ^∗ | ∃v∈Σ^∗, uv∈L}.

2. M in(L) ={w∈L|@u∈L, u préfixe propre dew}. 3. M ax(L) ={w∈L| ∀u∈Σ^∗, wu∈L⇒u=ε}. 4. Cycle(L) ={uv ∈Σ^∗ |vu∈L}.

5. ¹₂L={u∈Σ^∗ | ∃v∈Σ^∗, uv∈L∧ |v|=|u|}. Solution 4.

1. Soit A = (Q,Σ, δ, q0, F) un AFD qui reconnaît L, soit F⁰ l’ensemble des états co-accessibles, c’est à dire les états q∈Q tels qu’il existe w∈Σ^∗ vérifiantδ(q, w)ˆ ∈F.

On a que l’AFD(Q,Σ, δ, q₀, F⁰) reconnaît Init(L).

2. Soit A = (Q,Σ, δ, q₀, F) un AFD qui reconnaît L. On supprime juste toutes les transitions sortant des états deF pour obtenir un AFN reconnaissantM in(L).

3. Soit A = (Q,Σ, δ, q₀, F) un AFD qui reconnaît L. On limite les états finaux de A aux états finaux qui ne sont pas co-accessibles autrement que par le mot vide pour obtenir un AFD reconnaissant M ax(L).

4. Soit A= (Q,Σ, δ, q₀, F) un AFD qui reconnaîtL.

On suppose queε∈/ Σet on définit Q⁰ ={q₀} ∪Q×Q× {0,1}. On définitδ⁰:Q⁰×(Σ∪ {ε})→P(Q⁰) de la manière qui suit :

— pour tout a∈Σ,δ⁰(q0, a) =∅ etδ⁰(q0, ε) =∪_q∈Q{(q, q,0)};

3

— pour tous a∈Σ,q, p∈Q,δ⁰((q, p,0), a) ={(δ(q, a), p,0)} et

δ⁰((q, p,0), ε) =

(∅ si q∈/ F (q0, p,1) sinon ;

— pour tous a∈Σ,q, p∈Q,δ⁰((q, p,1), a) ={(δ(q, a), p,1)} etδ⁰((q, p,1), ε) =∅. On a que l’AFN(Q⁰,Σ, δ⁰, q₀,∪_q∈Q{(q, q,1)}) reconnaît Cycle(L).

5. Soit A= (Q,Σ, δ, q₀, F) un AFD qui reconnaîtL.

On suppose queε∈/ Σet on définit Q⁰ ={q₀} ∪Q³.

On définitδ⁰:Q⁰×(Σ∪ {ε})→P(Q⁰) de la manière qui suit :

— pour tout a∈Σ,δ⁰(q0, a) =∅ etδ⁰(q0, ε) =∪_q∈Q{(q₀, q, q)};

— pour tous a∈Σ,(q, p, r)∈Q³,δ⁰((q, p, r), a) =S

b∈Σ{(δ(q, a), p, δ(r, b))} etδ⁰((q, p, r), ε) =

∅.

On a que l’AFN(Q⁰,Σ, δ⁰, q0,∪_(q,r)∈Q×F{(q, q, r)})reconnaît ¹₂L.

4 Caractérisations

Soit Σun alphabet.

Étant donné un AFD A = (Q,Σ, δ, q0, F), un état q ∈ Q est dit co-accessible si et seulement s’il existew∈Σ^∗ vérifiantδ(q, w)ˆ ∈F; il est appelépuitslorsqueδ(q, a) =q pour touta∈Σ. On dira de plus queq se trouve dans un circuit lorsqu’il existe w∈Σ⁺ tel queδ(q, w) =ˆ q.

Exercice 5.Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un langage sur Σsoit reconnu par un AFD dont les états co-accessibles non puits ne se trouvent dans aucun circuit.

Solution 5.Il faut que le langage soit une union finie de langages de la forme {uv |v ∈Σ^∗} ou {u}

pour u∈Σ^∗.

Exercice 6.Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un AFD sur Σ reconnaisse un langage fini ou cofini.

Solution 6.Il faut que l’AFD vérifie que ses états co-accessibles non puits ne se trouvent dans aucun circuit et que ses états puits accessibles soient tous soit finaux, soit non finaux.

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