Langages formels, calculabilité et complexité ENS Paris – A1S1 2019-2020
26 septembre 2019 NathanGrosshans
TD 1 – Langages, AFD et AFN
1 Construction d’AFD
Exercice 1.Pour chacun des langages suivants, donner un automate fini déterministe (AFD) le re- connaissant.
1. Les mots sur l’alphabet {a, b}contenant le facteur aab ou aaab.
2. Les mots sur l’alphabet {a, b}contenant un nombre pair de aet impair de b. 3. Les mots sur l’alphabet {a}de longueur multiple de3.
4. Pour chaqued∈Nles mots sur l’alphabet{a} de longueur multiple ded.
5. Les représentations binaires d’entiers pairs. Ici entier est entendu au sens positif et les nombres sont donnés dans l’ordre gros-boutiste (c’est-à-dire l’ordre normal de lecture des nombres : 1 puis 0puis 1 puis0 puis1 puis 0c’est le nombre binaire 101010 soit42 en décimal).
6. Pour chaqued∈N, les représentations binaires des entiers multiples ded.
7. Pour chaque(d, c)∈N2, les représentations binaires des entiers de la formec+k·dpourk∈N.
2 Puzzles
Exercice 2.Pour tout alphabetΣ, donner l’ensemble des mots (x, y)∈(Σ∗)2 tels que xy=yx. Exercice 3.Expliciter la forme des langages rationnels unaires (c’est-à-dire, sur un alphabet à une lettre).
3 Rationalité
Exercice 4.Étant donné un langage rationnelLsur un alphabetΣ, prouver que les langages suivants sont rationnels.
1. Init(L) ={u∈Σ∗ | ∃v∈Σ∗, uv∈L}.
2. M in(L) ={w∈L|@u∈L, u préfixe propre dew}. 3. M ax(L) ={w∈L| ∀u∈Σ∗, wu∈L⇒u=ε}. 4. Cycle(L) ={uv ∈Σ∗ |vu∈L}.
5. 12L={u∈Σ∗ | ∃v∈Σ∗, uv∈L∧ |v|=|u|}.
4 Caractérisations
Soit Σun alphabet.
Étant donné un AFD A = (Q,Σ, δ, q0, F), un état q ∈ Q est dit co-accessible si et seulement s’il existew∈Σ∗ vérifiantδ(q, w)ˆ ∈F; il est appelépuitslorsqueδ(q, a) =q pour touta∈Σ. On dira de plus queq se trouve dans un circuit lorsqu’il existe w∈Σ+ tel queδ(q, w) =ˆ q.
Exercice 5.Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un langage sur Σsoit reconnu par un AFD dont les états co-accessibles non puits ne se trouvent dans aucun circuit.
Exercice 6.Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’un AFD sur Σ reconnaisse un langage fini ou cofini.
1
